2015年湖南省高考文科数学试卷答案解析
2015年湖南省高考文科数学试卷答案解析
2015年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）（2015?湖南）已知=1+i （i 为虚
数单位），则复数z=（ ） A ． 1+i B ．
1﹣i C ．
﹣1+i D ．
﹣1﹣i
分析：
由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z 的值． 解答
：
解：∵已知=1+i （i 为虚数单位），
∴z===﹣1﹣i ，
故选：D ．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
点评： 本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．
3．（5分）（2015?湖南）设x ∈R ，则“x ＞1“是“x 3＞1”的（ ） A ．
充分不必要条件 B ．
必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
分析：
利用充要条件的判断方法判断选项即可． 解答： 解：因为x ∈R ，“x ＞1“?“x 3＞1”， 所以“x ＞1“是“x 3＞1”的充要条件． 故选：C ．
点评： 本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．
4．（5分）（2015?湖南）若变量x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最小值为（ ） A ． ﹣1 B ．
0 C ．
1 D ．
2
分析： 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 解答
： 解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知，最优解为A ， 联立
，解得A （0，1）．
∴z=2x ﹣y 的最小值为2×0﹣1=﹣1． 故选：A ．
点本题考查了简单的线性规划，考查了数形结
评
：
合的解题思想方法，是中档题．
5．（5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
A ．B
．
C
．
D
．
解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===
故选：B
点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
6．（5分）（2015?湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）
A ．B
．
C
．
D
．
分析：利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．
解答：解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，
﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，
解得=．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
7．（5分）（2015?湖南）若实数a，b 满足+=，则ab的最小值为（）
A ．B
．
2 C
．
2D
．
4
考
点
：
基本不等式．
专
题
：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值
解答：解：∵+=，
∴a＞0，b＞0，
∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．
点评： 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题
8．（5分）（2015?湖南）设函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），则f （x ）是（ ）
A ． 奇函数，且在（0，1）上是增函数
B ． 奇函数，且在（0，1）上是减函数
C ． 偶函数，且在（0，1）上是增函数
D ． 偶函数，且在（0，1）
上是减函数
考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
导数的综合应用． 分析：
求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 解答解：函数f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），函数的定义域为（﹣1，1），
： 函数f （﹣x ）=ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）=﹣[ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）]=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
排除C ，D ，正确结果在A ，B ，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；
x=时，f （）=ln （1+）﹣ln （1﹣）=ln3＞1，显然f （0）＜f （），函数是增函数，所以B 错误，A 正确． 故选：A ．
点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
9．（5分）（2015?湖南）已知A ，B ，C 在圆x 2+y 2=1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（ ） A ． 6 B ．
7 C ．
8 D ．
9
考点
圆的切线方程．
：
专
题
：
计算题；直线与圆．
分析：由题意，AC为直径，所以
||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．
解答：解：由题意，AC为直径，所以
||=|2+|=|4+|．
所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．
故选：B．
点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5分）（2015?湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）
A ．B
．
C
．
D
．
考
点
：
简单空间图形的三视图．
专
题
：
开放型；空间位置关系与距离．
分析：由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．
解答：解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为
；
其内接正方体的棱长为x ，则，解得x=，所以正方体的体积为，
所以原工件材料的利用率为：=；故选：A．
点评：本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2015?湖南）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（?U B）= {1，2，3}．
考
点
：
交、并、补集的混合运算．
专
题
：
计算题；集合．
分析：首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．
解答：解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，
所以?U B={2}，
所以A∪（?U B）={1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}．
点评：本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．
12．（5分）（2015?湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，则曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．
考
点
：
简单曲线的极坐标方程．
专
题
坐标系和参数方程．
：
分
析
：
直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．
解答：解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：
x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．
13．（5分）（2015?湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且
∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．
考
点
：
直线与圆相交的性质．
专
题
：
直线与圆．
分析：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．
解答：解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离
d=rcos =r，
即=r，
解得r=2，
故答案为：2．
点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．
14．（5分）（2015?湖南）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b ＜2．
考
点
：
函数的零点．
专
题
：
计算题；函数的性质及应用．
分析：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围
解答：解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2
点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
15．（5分）（2015?湖南）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．
考
点
：
正弦函数的图象；余弦函数的图象．
专
题
：
开放型；三角函数的图像与性质．
分析：根据正弦线，余弦线得出交点（（k 1，），（（k 2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．
解答：解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，
∴根据三角函数线可得出交点（（k 1，），（（k 2，），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴12=（）2+（）2，ω=
故答案为：
点评：本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．
三、解答题
16．（12分）（2015?湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
考
点
：
相互独立事件的概率乘法公式．
专
题
：
概率与统计．