数值计算方法复习提纲

数值计算方法复习提纲

第一章 数值计算中的误差分析 1.了解误差及其主要来源,误差估计;

2.了解误差(绝对误差、相对误差)与有效数字的概念及其关系;

3.掌握算法及其稳定性,设计算法遵循的原则。

1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字

绝对误差 E(x)=x-x *

绝对误差限ε

εε+≤≤-**x x x

相对误差

***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=

有效数字

m n a a a x 10.....021*?±=

若

n m x x -?≤

-102

1

*,称*x 有n 位有效数字。 有效数字与误差关系

（1） m 一定时,有效数字n 越多,绝对误差限越小;

（2）

*x 有n 位有效数字,则相对误差限为)1(1

1021

)(--?≤

n r a x E 。 选择算法应遵循的原则

1、 选用数值稳定的算法,控制误差传播;

例

?

=10

1dx e x e I x

n n

e

I nI I n n 11101

-

=-=- △!n x n

=△x 0

2、 简化计算步骤,减少运算次数;

3、 避免两个相近数相减,与接近零的数作分母; 避免

第二章 线性方程组的数值解法

1.了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法;

2.掌握矩阵的三角分解,并利用三角分解求解方程组; (Doolittle 分解;Crout 分解;Cholesky 分解;追赶法)

3.掌握迭代法的基本思想,Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法;

4.掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。

本章主要解决线性方程组求解问题,假设n 行n 列线性方程组有唯一解,如何得到其解？

??

???

?

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)

两类方法,第一就是直接解法,得到其精确解;

第二就是迭代解法,得到其近似解。

一、 Gauss 消去法 1、 顺序Ｇauss 消去法 记方程组为:

???????=+++=+++=+++)

1()1(2

)1(21)1(1)1(2

)1(22)1(221)1(21)

1(1)1(12)1(121)1(11......

......n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

消元过程:

经ｎ－１步消元,化为上三角方程组

??

????

?=+++=+=)()(2)(21)(1)

2(22

)2(221)2(21)1(11)

1(11......n n

n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a b x a

第ｋ步

若0)

(≠k kk

a

n k j i n k b a a b

b

a a a a

a

k k k kk

k ik

k i

k i

k kj k kk

k ik k ij

k ij

,....,1,1,...1)()()()()1()()()

()()1(+=-=-=-=++

回代过程:

??

?

??--=-

==∑+=n

i j i ii j i ij i i i

n nn

n n n n n i a x a b x a b x 1

)

()()()

()()

1,...2,1(/)(/

２、Ｇauss —Ｊｏｒｄａｎ消去法

避免回代,消元时上下同时消元 ３、Ｇauss 列主元消去法

例 :说明直接消元,出现错误

?

?

?=+=+32

200001.02121x x x x 由顺序Ｇauss 消去法,得0,112

≈≈x x ;

Ｇauss 列主元消去法原理: 每步消元前,选列主元,交换方程。 算法:

将方程组用增广矩阵

[]()(1)

ij n n A b a +=M 表示。 (1)消元过程: 对k=1,2,n-1,

选主元,找{,1,,}k

i k k n ∈+???使得

,max k i k ik

k i n

a a ≤≤=

如果,0k

i

k

a =,则矩阵A 奇异,程序结束;否则执行3。

如果k i k ≠,则交换第k 行与第k i 行对应的元素位置,

,,, 1.k kj i j a a j k n ?=+g g g

消元,对i=k+1,

L

,n,计算

,ik

ik kk

a l a =

对j=L+1, L

,n+1,计算

ij ij ik kj a a l a =-

(2)回代过程: 1.若0,nn

a =则矩阵A 奇异,程序结束;否则执行。

2

,1

;1,,2,1,n n n nn

a x i n a +=

=-L 对计算

,11n

i n ij j j i i ii

a a x x a +=+??

-∑ ??

?=

举例说明。 4、消元法应用

(1)行列式计算; (2)矩阵求逆。

二、利用矩阵三角分解求解线性方程组 1、求解原理

线性方程组写成矩阵形式为: AX=b

若A=LU,则LUX= b, 记UX=Y 则LY= b

若L 、U 为特殊矩阵,则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。 2、 Doolittle 分解

L 为下三角矩阵, U 为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一; 设L 或U 就是单位三角矩阵, 若能分解,则可分解唯一、 L 就是单位下三角矩阵,称为Doolittle 分解; U 就是单位上三角矩阵,称为Crout 分解;

定理: n 阶矩阵A 有唯一分解的充要条件为A 的前n-1阶主子式都不为0、 Doolittle 分解算法:

??

???

?

?

?

????????????????=

??????????????nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a ............1............11............

(222112)

1121212

1

2222111211 由矩阵乘法:

∑==n

k kj

ik ij u l a 1

得到:

∑-=+=-=11

;,...1,k r rj

kr kj kj n k k j u l a u

n k k i u u l a l k r kk

rk ir ik ik ,...1,/)(1

1

+=-=∑-=

算法特点:先计算U 的行,再计算L 的列,交替进行;存储时可用紧凑格式。 矩阵分解后,解两个三角方程组: LY= b,UX=Y

??

???

=-==∑-=1

111,...3,2i k k

ik i i n

i y

l b y b y

∑+=-=-

=n

i k ii

k ik

i i n n i u x u

y x 1

1,...1,/)(

3、Crout 分解

若L 为下三角矩阵,U 就是单位上三角矩阵,则称Crout 分解; 算法特点:先计算L 的列,再计算U 的行,交替进行。 4、正定对称矩阵的平方根法(Cholesky 分解) （1） 正定对称矩阵性质与判定:

定义:就是n 阶对称矩阵,若对任意非零向量

n R X ∈,有0>AX X T ,则称A 为正定对称矩阵;

判定:A 为n 阶正定对称矩阵充要条件A 的各阶顺序主子式大于0。 （2） Cholesky 分解

定理:设A 为n 阶正定对称矩阵,则存在唯一主对角线元素都就是正数的下三角阵L,使得T LL A =

、

Cholesky 分解算法:

??

???

??

?????????????????=

??????????????nn n n nn n n nn n n n n l l l l l ll l l l l l l a a a a a a a a a ..................

..................

(222112)

112

122

21112

1

2222111211 2

11

1

2

)

(∑-=-=j k jk

jj jj l a l

∑-=-=1

1

/)(j k jj

jk ik ij ij l l l a l

n

j j i n j ,...2,1;

,...2,1++==

5、 追赶法

三对角矩阵的特殊分解

??????

???

?

?

??

???????????????=????????

?

???????

?

?----n n C n n n

n n n u c u u c u l l l b a c b a c b a c b a c b 1-n 1

2

1

1

3211

13

332

2

211......

1......111....

2

n i c

l b u u a l b u i i i i

i i i ,...3,2/111

1=???

??-===--

三对角方程组的追赶法: 追的过程 LY=D

??

?

=-==-n i y l d y d y i i i i

,...3,2111 赶的过程 UX=Y

??

?--=-==+1,....,2,1/)(/1n n i u x c y x u y x i

i i i i n

n n §2 线性方程组的迭代解法

一、 Jacobi 迭代公式 例:

?????

-

=+=+21

2

12

1212121x x x x 其解为 1,121-==x x 方程变形得到迭代公式

??

???-

-=+-=++21212121)(1)1(2)(2)

1(1k k k k x x x x 给初值???? ??=00)0(X 计算,观察解的变化。 一般地,对线性方程组

??

???

?

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2211222221211)

1212111

若0≠ii

a ,则可从第i 个方程中解出i x ,得到Jacobi 迭代公式:

?????

??--=---=---=-+++nn k n nn k n n k n

ii k n in k i i k i

k n n k k a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x /)...(.../).......(.../)...()

(1)(11)1()

()(11)1(11)(1)(2121)1(1

简记为:

n i a x a b x

ii

n

i

j j k j

ij i k i

,...,2,1/)(1)

()

1(=-=∑≠=+

二、 Gauss--Seidel 迭代公式

n i a x a

x a b x

ii

i j n

i j k j ij k j

ij i k i

,...,2,1/)(1

1

1

)()

1()1(=-

-=∑∑-=+=++

三、 SOR 迭代公式 四、 迭代公式的矩阵表示

D

GX X k k +=+)()1(

§3 迭代公式的收敛性

一、 向量与矩阵的范数与性质 1、 向量范数

定义:向量

n R X ∈,对应非负实数X

,满足三条件:

(1)非负性

0,0,0==≥X X X

(2)齐次性

X

k kX =

(3)三角不等式

Y

X Y X +≤+

称

X

为向量范数

2、 常见向量范数

1范数

n

x x x X +++= (211)

2范数

2

22212

...n

x x x X

+++=

∞范数

i

x n

i X

≤≤=

∞

1max

3、 矩阵范数

定义:方阵

n n R A ?∈,对应非负实数A

,满足三条件:

(1)非负性

0,0,0==≥A A A

(2)齐次性

A

k kA =

(3)三角不等式

B A B A +≤+

(4)绝对值不等式

B

A A

B ≤

称

A

为矩阵范数;

向量范数与矩阵范数相容性:

X

A AX ≤

4、常见矩阵范数

1范数,列范数 :

∑=≤≤=n

i ij

n

j a A 1

11max

∞范数,行范数 :

∑=≤≤∞

=n

j ij

n

i a A

1

1max

2范数,谱范数 :

F 范数:

∑∑===

n

i n

j ij

F

a

A

11

2

举例计算

二、 迭代公式收敛性的判定 1、 向量的极限 2、 矩阵的谱半径:

i

i

n

i A λλρ≤≤=1max )(为特征值;

3、收敛性的判定 收敛的充要条件:

迭代公式

D GX X k k +=+)()1(收敛的充要条件为谱半径1)(

判定定理1:

若

,1

判定定理2:

若对方程AX=b 的系数矩阵A 为对角占优,则Jacobi 迭代公式,Gauss--Seidel 迭代公式收敛; 判定定理3:

若对方程AX=b 的系数矩阵A 为对称正定,则Gauss--Seidel 迭代公式收敛; Jacobi 迭代公式收敛与Gauss--Seidel 迭代公式收敛关系举例:

第三章 非线性方程的数值解法 1.了解二分法的原理与算法;

2.掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定 ;

3.掌握Newton 切线法、弦截法,并用它们求方程近似根的方法。

本章问题:求方程f(x)=0的根

§1 二分法

一、根的存在性

定理:函数f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)、f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]有根。 方程的根存在,不一定唯一,若在区间[a,b]上有唯一根,称区间[a,b]为根隔离区间。 二、二分法(区间逐次分半法)

原理:通过计算根隔离区间中点,将区间分半,缩小区间,得到方程近似根数列{}n x 。

[][][]...,....,,11????n n b a b a b a k k

k a b a b 2/)(-=-

取 2/)(*

n n b a x +≈

§2 迭代法