离散数学复习提纲(完整版)资料
（含例题和考试说明）
命题逻辑
复习知识点]
、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题
、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式
、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式
、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
、命题逻辑的推理理论
（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命
复习要求]
、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的
、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等
、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
、掌握命题逻辑的推理理论。
疑难解析]
、公式类型的判定
、范式
，结果的前一步适当使用幂等
、逻辑推理
12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证
。
1.试求下列公式的主析取范式：
1）))()((PQQPP；（2）)))((RQQPP
))()(())()((:)1PQQPQPPPQQPP原式解
QPPPQPPQP)()()(
)(())((QPPQQP
()()(QPQPQP
((()))(((:)2RQQPPRQQPP解
()()()(RQPRQPRQPRQPRQP
()()(RQPRQPRQP
．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
1）（PP）Q
2）（PQ）Q
3）（（PQ）（QR））（PR）
解：
1） 真值表
Q P PP （PP）Q
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
因此公式（1）为可满足。
2） 真值表
Q PQ （PQ） （PQ）Q
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 0
因此公式（2）为恒假。
3） 真值表
Q R PQ QR PR （（PQ）（QR））（PR）
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1
因此公式（3）为恒真。
．┐Q（P→Q）蕴涵 ┐P
1：真值表法2：若┐Q（P→Q）为真，则 ┐Q，P→Q为真，
所以Q为假，P为假，所以┐P为真。
法3：若┐P为假，则P为真，再分二种情况：
①
若Q为真，则┐Qù（P→Q）为假
Q为假，则P→Q为假，则┐Q（P→Q）为假
②，所以 ┐Q（P→Q）蕴涵 ┐P。）
．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（PQ）（QR））（PR）
（PQ）（P（QR）））（PQ）（PR）
1、证明：
（（PQ）（QR））（PR）
=（（PQ）（QR））（PR）
=（（PQ）（QR））（PR）
（PQ）（QR）PR
（（PQ）P ）（（QR）R）
（1（QP ））（（QR）1）
QPQR
（QQ） P R
P R
1
（（PQ）（P（QR）））（PQ）（PR）
=（（PQ）（P（QR）））（P（QR））
=（P（Q QR））（P（QR））
=（P（QR））（P（QR））
=1）
．用形式演绎法证明：{SRRQQP,,}蕴涵SP
1）QP 规则P
2）QP 规则Q （1）
3）RQ 规则P
4）RQ 规则Q（3）
5）RP 规则Q（2）（4）
6）RS 规则P
7）PS 规则Q（5）（6） )
．用形式演绎法证明：（EFDDCBA)(),()蕴涵AE
(改()()(),()FDFDBABA为为)
1）
规则D
2）
∨B 规则Q（1）
3）)()(DCBA 规则P
4）DC 规则Q（2）（3）
5）
规则Q（4）
6）FD 规则Q（5）
7）EFD)( 规则P
8）
规则Q（6）（7）
9）EA 规则Q（1）（8））
．┐（P∧┐Q），┐Q∨R，┐R 蕴涵 ┐P
1）┐Q∨R
（2）┐R
（3）┐Q
（4）┐（P∧┐Q）
（5）┐P∨Q
（6）┐P）
．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：
1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；
2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；
3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；
4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
解：对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则办案人员的推理如下：
P1P2P3P4
P3P4P1P2
P2(P3P4)(P3P4)
P4(P1P2)(P1P2)
P1。
P1P2P3P4) (P3P4P1P2) ( P1P2(P3P4)(P3P4))
P4(P1P2)(P1P2)) P1
取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假
P1不是前提的有效结论，
)
谓词逻辑
复习知识点]
、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）
、谓词公式与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）
、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩）和置换规则（置换规则、换名
复习要求]
、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；
、理解公式与解释的概念；掌
握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓
[疑难解析]
、谓词与量词
概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则（即
。
、公式与解释
写成与之等价的公式，然后将解释中的数值代入公式，求出真
集 合
复习知识点]
、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 德摩根律
，文氏（Venn）图
集合恒等式的证明。
复习要求]
、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。
、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
[疑难解析]
、集合的概念
2n。
、集合恒等式的证明
二元关系
复习知识点]
、序偶、迪卡尔积，迪卡尔积的运算。
、关系表达式、关系矩阵与关系图
、复合关系（右复合）与逆关系
、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）
、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
、等价关系与等价类
、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
、函数及其性质（单射、满射、双射）
、复合函数与反函数
复习要求]
、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
、理解关系的概念：二元关系、空关系、全域关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、
、掌握求复合关系与逆关系的方法。
、理解关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、图）。
、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小
、理解函数概念：函数、函数相等、A到B的函数、复合函数和反函数。
、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
疑难解析]
、关系的概念
熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。对于五
空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，
、关系的闭包
7.10和7.11
、偏序关系及偏序集中特殊元素的确定
哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）
、映射的概念与映射种类的判定
图论
复习知识点]
、 图的基本概念：无向图与有向图、顶点
与边的关联关系、顶点（边）与顶点（边）之间邻接关系、简
、 通路与回路、简单通（回）路与初级通（回）路；连通图与非连通图、连通分支、强连通图、单向连
、 图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、可达矩阵；
、 欧拉通（回）路、（半）欧拉图；哈密尔顿通（回）路、（半）哈密尔顿图；
、 无向树、生成树、带权树、最小生成树，基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统、避圈
Kruskal算法）；
、 有向树、树根、有序树、二叉树、前缀码、最佳前缀码、霍夫曼（Huffman）算法、带权图的最优二分
握手定理、点（边）割集、特殊图（欧拉图与哈密顿图、无（有）向树）
复习要求]
、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、生成子图、图的同构等。
、深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们。
、理解图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）和性质以及熟练掌握用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通
、深刻理解欧拉图、哈密顿图的定义及判别定理，对于给定的图，应用各定理准确判断；会用破坏哈密顿
、深刻理解无向树的定义，熟练掌握无向树的主要性质，并能灵活应用它们。
、深刻理解生成树的有关概念与性质；理解基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统；用Kruskal
、深刻理解有向树、根树、二叉树和前缀码的有关概念；掌握用霍夫曼（Huffman）算法求带权图的最优
、期末笔试为120分钟的闭卷考试，占总评成绩的70％。
、平时成绩根据作业完成情况、半期考成绩、出勤情况和课堂表现确定，占总评成绩30％。
30分 集合30 分 图论 40 分
16 分 填空题 18 分 证明题 12 分 计算分析（包括综合分析）题 54 分
命题逻辑自然推理证明，综合分析题或证明题；
用等值演算法求解主析取范式或主合取范式，并用真值表法验证，计算分析题；
集合恒等式的证明或化简，证明题或计算分析题；
集合中有穷集的计数；
偏序关系与哈斯图及极大、极小元、最大、最小元；计算分析题；
基本回路系统、基本割集系统或邻接矩阵及各次幂的运算；计算分析题；
利用握手定理和树的性质求解图或树的顶点数；
最优二叉树产生的最佳前缀码（根树的应用）；综合分析题。