圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案)

姓名学生姓名填写时间2013-12-29学科数学年级高二教材版本人教版阶段第（ 1 ）周观察期：□维护期：□

课题名称圆锥曲线解题方法技巧总结课时计划

第（）课时

共（）课时

上课时间2014-1-3

教学目标大纲教学目标圆锥曲线知识点及题型回顾整理

个性化教学目标培养学生分析能力和逻辑思维能力．

教学

重点

圆锥曲线知识点的综合应用

教学

难点

掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法

教学过程名称椭圆双曲线

图象

定义

平面内到两定点的距离的和

为常数（大于）的动点的轨迹叫

椭圆即

当2﹥2时，轨迹是

当2＝2，轨迹是

当2﹤2时，轨迹

平面内到两定点的距离的差的绝

对值为常数（小于）的动点的轨

迹叫双曲线即

当2﹤2时，轨迹是

当2＝2时，轨迹是

当2﹥2时，轨迹

标准

方程

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

注：根据判断焦

点在哪一坐标轴上

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

注：根据来判断焦

点在哪一坐标轴上

常数

的关

系

，，

最大，

，

最大，可以

第一部分：知识梳理

渐近线

焦点在轴上时：

焦点在

轴上时：

共焦点方程

抛物线

图形

方程

焦点

准线

1.圆锥曲线的两个定义：

定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数

2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于

21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常

数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是___ __（答：双曲线的左支）

第二部分：题型方法技巧总结

_______ （答：2

16y x =）；

(3) 一动圆与两圆⊙M ：12

2

=+y x 和⊙N ：01282

2

=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为

（答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；

如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→

?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3

1

62-

=x y ）； ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：2

2

||x y a y +=）；

（2）若点),(11y x P 在圆12

2

=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：

21

21(||)2

y x x =+≤）；

（3）过抛物线y x 42

=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2

22x y =-）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1

（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT （1）设x 为点P 的横坐标，证明

x a

c

a P F +

=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2

b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）

（13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出+=OA OP ()||||

AB AC AB AC λ+u u u r u u u r

u u u

r u u u r )(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心；

（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16） 在ABC ?中，给出()

12

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;

如（1）已知双曲线22

12

y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=u u u u r u u u u r 则点M 到x 轴的距离为（C ）

（A ）

43 （B ）5

3

（C ）233 （D ）3

（2）已知j i ρρ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a ρ

=j y i x ρρ+-)3(, b ρ=j y i x ρ

ρ++)3(,且满足b ρi ρ=|a ρ|.求点P (x ,y )的轨迹.

解： 2(3)3b i x i yi j x ?=++?=+r r r r r

Q ，

∴22

3(3)x x y +=-+，化简得243y x =，

故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以3x =-为准线的抛物线 （3）已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >0)上异于原点的两点，

0OA OB ?=u u u r u u u r

，点C 坐标为（0，

2p ）

（1）求证：A,B,C 三点共线；

（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ?=u u u u r u u u r

试求点M 的轨迹方程。

（1）证明：设22

1212

(,),(,)22x x A x B x p p

，由0OA OB ?=u u u r u u u r 得 222

1212120,422x x x x x x p p p +=∴=-，又222121121(,2),(,

)22x x x AC x p AB x x p p -=--=-u u u r u u u r Q 222

211121(2)()022x x x x p x x p p

-∴-?--?-=，//AC AB ∴u u u r u u u r ，即A,B,C 三点共线。

（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由0OM AB ?=u u u u r u u u r

及AM ＝BM λ（R ∈λ）知OM AB ，

垂足为M ，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为

F

A

P H

B

Q

F ′

F P

H y 0

x

A x 2+(y-p )2=p 2(x 0，y 0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________

(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）（2）（

1,4

1

） 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F 是椭圆13

42

2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为

分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5

设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '

542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2

1

， ∴PH PF PH PF ==

2,2

1

即 ∴PH PA PF PA +=+2