1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(学生版)

1.1分类加法和分布乘法计数原理

【基础梳理】

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

【典型例题】

题型一 分类加法计数原理

【例1-1】（2020·全国高三专题练习）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有

A ．8种

B ．9种

C ．10种

D ．11种

【例1-2】 设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n

＝1表示焦点位于x 轴上的椭圆的有( ) A ．6个

B ．8个

C ．12个

D ．16个

【举一反三】

1．（2020·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )

A ．7种

B ．8种

C ．6种

D ．9种

2．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ）

A ．6

B ．5

C ．3

D ．2 3．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.

题型二 分步乘法计数原理

【例2-1】（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）

A．16种B．18种C．37种D．48种

【例2-2】（2020·全国高三专题练习）如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）

A．72种B．48种C．24种D．12种

【举一反三】

1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )

A．7 B．12 C．64 D．81

2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是( )

A．6 B．9 C．16 D．24

3．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

题型三两个原理的综合运用

【例3-1】用0,1,2,3,4五个数字，

(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？

(2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

【例3-2】(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种.

【举一反三】

1．（2019·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.

(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？

(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？

【强化训练】

1．（2020·浙江高三专题练习）空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的2倍，这样的平面α的个数为（）

A．8 B．16 C．32 D．48

2．（2020·浙江高三专题练习）从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（）

A．2100 B．2200 C．2160 D．2400

3．（2020·全国高三专题练习）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种B．63种C．65种D．66种

4．（2020·全国高三专题练习）已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为

A．40 B．16 C．13 D．10

5．（2020·山东高三期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都

喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）

A．1

66

B．

1

55

C．

5

66

D．

5

11

6．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有

A．21种 B．315种 C．153种 D．143种

7．（2020·全国高三专题练习）从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有

A．32个B．34个C．36个D．38个

8．（2017·上海高二期末）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

A．6种B．12种C．24种D．30种

9．（2020·全国高三专题练习）从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）

A．3 B．4 C．6 D．8

10．（2020·黑龙江牡丹江一中高三期末（理））如下图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有

_________种不同的染色方案.

11．（2020·浙江高三专题练习）由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有______个．

12．

（2020·浙江高三专题练习）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且为偶数的四位数，有______________.个.

13（2019·四川成都七中高二期中（文））4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______

14．（2020·全国高三专题练习）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，

火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．

15．（2020·全国高三专题练习）在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有______种．

16．（2019·上海市延安中学高二期末）4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？

（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．