约束的概念与分类

1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程

质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z x

y z t (,,; , , ;)=0

2)稳定与不稳定约束

稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=0

3)几何与运动约束

几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0

运动约束又称微分约束：

f x y z x

y z t (,,; , , ;)=0

4)可解与不可解约束

可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=0

5)完整系与不完整系

完整系：几何、不可解约束系

2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012

则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。不独立变量与广义坐标的关系可表为：

x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s i

i s ===???

??=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)

(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。

3.虚位移

受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r

。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δ

r ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δ

r 中的一个。 4.理想约束

虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δ

r 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δ

r 上所做的虚功之和为零，即，

R r i i ?=∑

δ0

。如光滑面（曲线，铰链）、刚性杆等。

5虚位移原理

设有k 个几何约束的质点系处于平衡状态，对任一质点i ，有

F R F r R r F r R r i i i i i i i i i i +=??+?=?

?+

?=∑

∑

000

δδδδ

若为理想约束，有δδδδδW

F r F x F y F z i i ix i iy i iz i =

?=

++=∑

∑

()0

虚位移原理：受理想约束质点系的平衡条件是主动力虚功和为零。

6.广义坐标平衡条件

r r q q q t r r q q W F r F r q q F r

q q Q q i i s i i

j j

j s

i i i i

j j j s i i n

i

j

j j s

j j j s =∴=

∴=

?=

?=

?=======∑

∑

∑

∑∑

∑∑(,,...,,)[()]()121

1

1

11

δ??δδδ??δ??δδ

由于诸虚位移δq j 的独立性，得到受理想完整约束的质点系在广义坐标中的平衡方程为：

Q

j s j

==012(,,...,)

其中Q j 称为广义力。

δδδW F r Q q

i i j j

=

?=

∑∑

故欲求广义力Q j ，可先求除δq j 外其它虚位移为零时主动力所做元功之和，再除以δq j 即可。 7.虚功原理解题步骤 用虚功原理可求解理想完整约束的平衡问题。 1)常规方法：

a.由主动力作用点的位置求出其作用方向的虚位移。

b.写出主动力所做虚功之和，令其为零，求解未知量。 2)分析力学方法

a.确定系统自由度并给出广义坐标。

b.写出主动力作用点位置的一般坐标与广义坐标的关系。

c.求出所有广义力。

b.令所有广义力为零，求解未知量。