等差数列练习题有答案

数列

A 、等差数列知识点及例题

一、数列

由n a 与n S 的关系求n a

由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

解答：（1）

（2）

……

累乘可得，故 （3）

二、等差数列及其前n 项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；

（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=

（1）求证：{1n

S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=→1n

S 与11n S -的关系→结论； （2）由1n

S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -得

11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =11a =2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n

,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。又∵112a =，不适合上式，故1(1)21(2)

2(1)n n a n n n ?=??=??≥-??。 【例】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，则{a n }的通项公式为________． ∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ，

即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1.

于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.

当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2n －1＋a n －a n －1，整理，得2(a n ＋a n －1)·

(a n －a n －1－12

)＝0. 又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12

. （二）等差数列的基本运算