三角函数数列综合试题
一．选择题（共12个小题，每题5分，满分60分）
1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120
2.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2
a =
，2A B =，则cos B =（ ）
3．在ABC ?中，6=a ， 30=B ，
120=C ，则ABC ?的面积是（ ）
A ．9
B ．18
C ．39
D ．318 4.ABC 在中，若c
=
a b =cosA cosB cosC
，则ABC 是
（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
5. 已知等差数列{}a n 中，a a 7916+=，a 41=，则a 12的值是 A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
6. 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为 A.81 B.120 C.168 D.192
7. 在实数等比数列{}n a 中，263534,64a a a a +==，则4a = A.8 B.16 C.8± D.16±
8. 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的
形状是（ ）
A 直角三角形
B 等边三角形
C 不能确定
D 等腰
三角形
9 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C
B A c
b a sin sin sin ++++等于 ( ) A ．33 B ．
339
2 C ．
3
3
8
D ．2
39
10、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48 11、已知等差数列{}n a 的公差1
2
d =
，8010042=+++a a a ，那么=100S
A ．80
B ．55
C ．135
D ．160．
12、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S （
A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
一、选择题答案
二．填空题（共6个小题，每题4分，满分24分）
13、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）
14.已知等比数列{a n }的公比是q =
2
1
，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100.等于（ ）
15.ABC ?中，若b=2a , B=A+60°,则A= . 16.、方程)2)(2(22n x x m x x +-+-=0的四个根组成一个首项为
4
1的等差数列，则|m －n|=…（ ）
17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则
25811a a a a +++=
___________
18. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=___________
三 计算题 （本题共六小题，总共76分）
19.（本小题满分12分） 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （I ）求角C 的大小；
（II ）cos()4
A B π
-+
的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大
小．
20.（本小题满分12分）（本小题满分12分）在ABC ?中，
cos cos AC B AB C
=． （Ⅰ）证明：B C =．
（Ⅱ）若1cos 3A =-．求sin 43B π?
?+ ??
?的值．
21. （本小题满分12分）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、
b 、
c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
22．（本小题满分12分）设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且124,,a a a 成等比数列．
（Ⅰ）证明：1a d =； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．
23．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前项和为n S ，且
*111
1,,3
n n a a S n N +==∈．
（Ⅰ）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 求
2462...n a a a a ++++的和．
24．（本小题满分14分） 已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．
参考答案：
选择题
1-5 DBCBA 6-10BCBBB 11-12 CB 填空题 13 180 14 90 15 30 16 1/2 17 7 18 -6 计算题
19. 解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因
为
0,
A π<<所以
sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==
从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时
2sin()6
A π
+取最大值2．
cos()4
A B π
-+
的最大值为2，此时5,.3
12
A B π
π=
=
20. 【解】（Ⅰ）在ABC ?中，由
cos cos AC B
AB C
=
及正弦定理得sin cos sin cos B B
C C
=
， 于是sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=，
因为0B π<<，0C π<<，则B C ππ-<-<， 因此0B C -=，所以B C =．
（Ⅱ）由A B C π++=和（Ⅰ）得2A B π=-，所以
()1cos 2cos 2cos 3
B B A π=--=-=
， 又
由
B C
=知
02B π
<<，所
以
sin 23B =
．sin 42sin 2cos 29
B B B ==． 227cos 4cos 2sin 29
B B B =-=-．
所以sin 4sin 4cos cos 4sin 333
B B B πππ
??
+=+= ??
?．
21解法一：在ABC ?中
sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理
及余弦定理有:222222
3,22a b c b c a a
c ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得
40(b b ==或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2
2
2
2cos a c b bc A -=-.又
222a c b -=,0b ≠.
所以2cos 2b c A =+
①
又sin cos 3cos sin A C A C =，
sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
22．（Ⅰ）证明：∵124,,a a a 成等比数列，∴2
214a a a =．
而{}n a 是等差数列，有2141,3a a d a a d =+=+，于是
2111()(3)a d a a d +=+
即222
111123a a d d a a d ++=+，化简得1a d =．
（Ⅱ）解：由条件10110S =和101109
10,2
S a d ?=+
得到11045110a d +=
由（Ⅰ）知1,a d =代入上式得55110,d =故
12,(1)2.n d a a n d n ==+-=
23
．解: （Ⅰ）
*1111
,,3,3,23
n n n n n n a S n N a S a S n ++-=∈∴=∴=≥当时，
1n n n a S S -=-=133n n a a +-?143n n a a +=，2
2
214433
n n n n a a ---??
=?= ?
??
． 所
以
214133
a a ==
，
3244
39
a a ==
，
43416327a a ==
． 211
(1)4(2)
3
n n n n a n --=??
∴=?≥??． （
Ⅱ
）
2462...n a a a a ++++2
4
2116[1]114141439 (16333333319)
n
n
??
- ?????????=++++=
? ? ???????
-
316[1]79n
??
=- ???
24、 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得
(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4
1111＋＋＝－①＋＋＋－②
??
?
由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10
最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180