函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题
函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。第一类就是计算或证明连续性;第二类就是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类就是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题与习题。还就是那句老话:瞧到题目不要瞧解答,而就是先思考先试着做！这就是与瞧文学小说的最大区别。
要提醒的就是,例题里有不少就是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,您事先独立做了不？如果没有做,就是不会做好就是根本不想做,还就是没有时间？
一.函数的连续
例1、1(例1、20(一),这个序号值的就是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)
设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。证明:()f x 在任意点x 处连续。
分析:证明题就是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。其实,如果您的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案就是什么
在本题里,要证的就是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。您可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要瞧已知条件,哪个容易用,就用那一个。在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就就是()()()f x y f x f y +-=,您的脑海里就要想到,如果设y x =?,那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?;这个时候,您应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续！它意味着:0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！
证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。 (#)
对于固定的x (任意的！),若取y x =?,有
()()()y f x x f x f x ?=+?-=?, (+)
在(+)式两边取0x ?→的极限,那么
000
lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? , (&) 由已知条件:()f x 在0x =连续,所以0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=,代入(#)的结果,就有 00
lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==, 但从(&)知,00
lim lim ()x x y f x ?→?→?=?,所以 0
lim 0x y ?→?=。 根据函数连续的定义E,()f x 在任意点x 处连续。
您瞧,证明题并不难吧,但有个前提,必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”,所
以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。
例1、2(例1、21(一))设常数0a ≠,212(1)1()lim 1
n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--,求()f x 的分段表达式,欲使()f x 连续,试确定a 的值。
分析:首先要注意,函数()f x 不就是平常的形式,用一个明显的解析式表达出来,本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出()f x 的分段表达式,这就是本题的第一个任务;第二,要确定参数a 的数值,怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。
()f x 中出现了几个幂函数 221,,n n n x x x +,根据幂函数的性质,x 的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响,所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。所以本题的第一层考核的就是对幂函数的认识与理解。
(1)||1x <: 221,,n n n x x x +都趋于零(当n →∞时),所以
1()11f x -=
=-。 (2)||1x >: 此时221,,n n n x x x
+都将趋于无穷大。为此,要从分子,分母中提出最大项,约去相应的部分,来
简化函数()f x : 2112122(1)11()lim 11n n n n n n n a x x x f x x a x x
x +++→∞-??++ ???==??-- ???。 (3)1x =: 11()a a f x a a
--==-; (4)1x =-: 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n n
n n
n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----, 极限不存在。 故得 ,11,1()1,||1,1
x x a x f x a x x x >??-?=?=??
11a a -=,故12a =。 例1、3 (例1、22(一))证明连续函数的局部保号性:设()f x 在0x x =处连续,且0()0f x >,那么存在0δ>,当0||x x δ-<时,()0f x >。
分析:这个性质公式我们一个事实,若连续函数在某点的函数值为正,那么在这个点附近的点的函数值也就是正的,不会取负值。这就就是说,连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单,其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明:因为()f x 在0x x =处连续,所以对任给的0ε>,总存在0δ>,使得当0||x x δ-<时,恒有
0|()()|f x f x ε-<,也就就是 0()()f x f x εε-<-<。(+)
若取 0()0f x ε=>,在(+)式中取左边的那个不等式,就有 ()0f x >; 若取01()02f x ε=>,那么就有 01()()2
f x f x >。 (不过,此时的0||x x δ-<中的δ要变小) 当然,您也可以取不同的0ε>,当然δ要变。如果我们只需要证实()f x 的值为正,那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例1、4(例1、23(一)) 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零,证明1()
f x 在[,]a b 也连续。 分析:我们需要证明的就是:在[,]a b 上任取点0x ,对任给的0ε>,存在一个0δ>,使当0||x x δ-<时, 有011()()
f x f x ε-<。 直接做下去,就是有困难的,所以我们需要对上述不等式做点放大(这就是一个基本功！): 002000|()()|2|()()|11()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意,上面第一个不等号就是因为我们在例1、3中,已经证明了在0x 的一个邻域中有01()()2f x f x >
！ 至此,一个完整的证明思路就形成了。
证明:对任一0[,]x a b ∈,0()0f x >,0x 就是()f x 的连续点。由局部保号性,存在0x 的邻域01(,)N x δ,使得01()()2
f x f x >。所以在这个邻域中, 002000|()()|2|()()|11()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<; 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知,对于任给0ε>,存在20δ>,使得当02||x x δ-<时,有
200()|()()|2
f x f x f x ε-<。 我们取12min(,)δδδ=,那么在这个更小的邻域中,(即0||x x δ-<)有
002000|()()|2|()()|11()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<, 则有函数的连续的定义知, 0x 就是函数
1()f x 的连续点;又由0x 的任意性,得1()f x 在区间[,]a b 也连续。 例1、5 确定,a b 之值,使函数21,
0()sin(),0
x e x f x ax b x -??>=??+≤?在(,)-∞+∞内连续。