数学周练

咸宁高中高二数学周练1

命题：桂绍能 审题：王晓玲 时间：2015年3月7日 19:30

一、选择题（每小题5分，共50分）

1

）

2．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）

A ．双曲线

B ．双曲线的一支

C ．两条射线

D ．一条射线

3．

右焦点为F 、右顶点为A ，与x 轴的交点为） A

．

1 4．直线经过交于两点，如果点是线段的

A

、 B 、 C 、 D 、不存在

5．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标

原点，则OA OB ?uu r uu u r 的值为

（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0

6与抛物线有一个公共的焦点，且两

曲线的一个交点为，若 ）

（A （B

（C ）20x y ±= （D ）

7F 1、F 2，P 是这两条曲线的一个交点，则的面积是（ ）

A ．4

B ．2

C ．1

D 8．已知椭圆C M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分l A B 、P AB 210x y --=230x y +-=210x y -+=28y x =F P 20x y ±=21PF F ?

别为A ， B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（ ）

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

9．已知抛物线2

4y x =的准线与双曲线交于,A B 两点，点F 为抛

物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）

10

F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．设抛物线C 1的方程为y 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E ．若曲线C 2上的点到E 、F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．

12．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．

13．如图,抛物线C 1:y 2=4x 和圆C 2:(x-1)2+y 2=1,直线l 经过C 1的焦点

F,依次交C 1,C 2于A,B,C,D 四点,则

·的值是 .

14．设F 1，F 2y 2＝1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且1PF ·2PF ＝0.则点P 到x 轴的距离等于________． 15A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且椭圆离心率的取值范围是 .

三、解答题（共75分）

FAB ?x

16

．平面内动点到定点的距离比它到轴的距离大。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点A （3,2）, P 点的坐标．

17．（本小题13分）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1．直线b kx y l +=:与抛物线交于B ，C 两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）当直线OB ，OC 的倾斜角之和为45?时，证明直线l 过定点.

18．已知△ABC 的周长为12，顶点A ，B 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C 为动点．

(1)求动点C 的轨迹E 的方程；

(2)过原点作两条关于y 轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．

(,)P x y (1,0)F y 1P C

19．已知椭圆C

：+=1（a ＞

b ＞0）的离心率是，且点P （1，）在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点D （0，2）的直线l 与椭圆

C 交于不同的两点E ，F ，试求△OEF 面积的取值范围（O 为坐标原点）．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C 过点

O 是坐标原点，不经过原点的直线l y kx m =+：与椭圆交于两不同点P 、Q ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）当1k =时，求OPQ ?面积的最大值；

（3）若直线OP 、PQ 、

OQ 的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率k ．

21．称圆心在坐标原点O ，是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C （1）若椭圆C 上一动点满足，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C P 点的坐标；

（3a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点1M 4M F M F +=()()0,0P t t <()()22,,,m m n n

若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．C

2．D

3．C.

4．D

【解析】当斜率不存在时，方程为，与双曲线相切不符合题意，当斜率存在时，设，代入双曲线方程得，两式相减的

，整理求出，则直线方程为，联立直线方程与双曲线方程后检验，方程无解，所以不存在. 5．B

【解析】当直线斜率不存在时，方程为x ＝2，于是A （2，4），B （2，－4），OA OB ?uu r uu u r ＝2×2

＋（－4）×（－4）＝－12

已经可以排除A 、C 、D ，选B

当斜率存在时，设直线方程为y ＝k （x －2），代入抛物线方程

于是k 2（x －2）2＝8x

整理得：k 2x 2－（4k 2＋8）x ＋4k 2＝0

记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）OA OB ?uu r uu u r ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4]

＝（1＋k 2）x 1x 2－2k 2（x 1＋x 2）＋4k 2

＝－12.选B

6．B.

7．C 设θ=∠21PF F ,1x =()()1122,,,A x y B x y 2k =21y x =-0<

8．B ．如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，1PF ，

2PF 分别为AMN ?，BMN ?的中位线， ∴12||||2(||||)248AN BN PF PF +=+=?=．

9．B 抛物线24y x =的准线为1x =-，它与双曲线

交于,A B 两点，则坐标为

，抛物线的焦点(1,0)F ，因为FAB ?

B.

10．A.

过右焦点)0,4(F 分别作两条渐近线的平行线1l 和2l ，由

下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是

故应选A.

111方程y 2可化为x 2＝20y ，它的焦点为F(0,5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲

1(a>0，b>0)，则2a ＝6，a ＝3，又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，

所以曲线C 21．

12C 的焦点在x 轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(x D ，y D )，则BF ＝(c ，－b)，FD ＝(x D －c ，y D )，

∵BF ＝2FD ，∴3c x ?=

13．1

【解析】由于抛物线C 1的焦点F 也是圆C 2的圆心(1,0),

则|

|=||-1=x A , |

|=||-1=x D , ∴|

|·||=x A ·x D ==1, ∴·=|

|||=1. 14y 2＝1a 2＝4. ∵点P y 2＝1上，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即|PF 1|2＋|PF 2|2

－2|PF 1||PF 2|＝16.又∵1PF ·2PF ＝0，∴PF ⊥PF 2， ∴|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|＝16，解得|PF 1||PF 2|＝2.

设P 点到x 轴的距离等于d 1F 2|·d 1||PF 2|.解得d 151F .连结11,AF BF 可得四边形1AF BF 是矩形，所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1AF BF =，12AF AF a +=.所以2s i n 2c o c c a αα

+=.即

16．（1

）；（2）最小值为4，此时()

1,2

P.

【解析】（1）由题意，动点到定点的距等于它到x=-1的距离，由抛物线的定义知，p=2,所以所求的轨迹方程为.

（2）设点P在准线上的射影为D,记抛物线的焦点为()

1,0

F F（1,0），准线l是

1

x=-，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即PF PD

=,因即当,,

D P M三点共线时最小，此时()

1,2

P.

17．（1）x

y4

2=，（2）)4,4

(-

【解析】（1）设抛物线方程为)0

(

2

2>

=p

px

y

所以2

=

p，所以抛物线的方程为x

y4

2=.

（2）联立

?

?

?

+

=

=

b

kx

y

x

y4

2

，整理得2440

ky y b

-+=（依题意0

≠

k）设直线OB，OC的倾斜角分别为β

α,，斜率分别为

2

1

,k

k，则45

αβ

+=?

: ()0

4

16

2

1

2

1

=

+

-

-y

y

y

y,代入得：

4

4+

=k

b

则直线l的方程为4

4+

+

=k

kx

y，整理得()4

4+

=

-x

k

y，所以直线l过定点)4,4

(-18．（1

24

y x

=

(,)

P x y(1,0)

F

24

y x

=

24

y x

=

（2）

【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C 的轨迹E 为椭圆的一部分．

由a ＝4，c ＝2，可得b 2＝12．

故曲线E

(2)设两直线的方程为y ＝kx 与y ＝－kx(k>0)．记y ＝kx 与曲线E 在第一象限内的交点为(x 0，

y 0)

x 02

结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S ＝2x 0·2y 0＝4kx 02

＝ 因为k>0，所以S

当且仅当k

)．故四边形面积的最大值为

19．（1

（2

【解析】⑴,

,

∴21b =

(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx =+ ,

22(21)860k x kx +++= 由0?>，解得设()11,E x y ，()22,F x y ，则

20．（1

（2）1，（3

【解析】（1

得2

1b =所以椭圆C 的方程为 22,440.y x m x y =+??+-=?消去y 得:22584(1)0x mx m ++-=

，

则2216(5)005m m ?=->?<<， 设d 为点O 到直线l 的距离,

，

等号成立 所以OPQ ?面积的最大值为1．

（2）22,440.

y kx m x y =+??+-=?消去y 得:222(14)84(1)0k x kmx m +++-= ， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ?=-+-=-+>

，

故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++

因为直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列

，，))((2121m kx m kx y y ++=，

所

以

由于0,m ≠故 21．（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，． 【解析】（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为， 2分 其“伴随圆”的方程为． 4分 （2）设直线的方程为

由得 6分

则有得，① 7分

由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得

，得② 8分

由①②得，又，故，所以点坐标为． 9分（3）过的直线的方程为：，即，得 11分

由于圆心到直线的距离为

， 13分

当时，，但，所以，等式不能成立；

当时，，

由得所以

因为，所以，

得．所以 15分