人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题学能测试

一、选择题

1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )

A ．121

B ．110

C ．100

D ．90

2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2

()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111

,,345

a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（ ）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm

4．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和10，则斜边长为（ ） A ．10

B ．10

C 13

D ．135．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ?周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）

A．1

2

B．

3

4

C．

5

6

D．1

6．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）

A．813B．28 C．20 D．122

7．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）

A．5 B．7C．5D．5或7

8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形

B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形

C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形

D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°

9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）

A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米10．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝1，BD⊥BC，BD＝BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，则EDC的面积为（）

A．2 2 B．2﹣2 C．22D2﹣1

二、填空题

11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．

12．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．

13．在ABC ?中，90BAC ∠=?，以BC 为斜边作等腰直角BCD ?，连接DA ，若

22AB =，42AC =，则DA 的长为______．

14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 15．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．

16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．

17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．

18．如图的实线部分是由Rt ABC ?经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ?沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中

90ACB ∠=?，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.

19．在Rt ABC 中，90A ∠=?，其中一个锐角为60?，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=?时，CP 的长为__________．

20．已知：如图，等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ?，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ?，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ?，

44OA B ?，…，则66OA B ?的周长是______.

三、解答题

21．如图，△ABC 和EDC ?都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE

长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．

22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．

（1）求BF 的长； （2）求CE 的长．

23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．

24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

25．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

26．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 27．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

28．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，

与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

29．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在

ABD 内部，90EAP ∠=?，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．

下列结论：

①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=+；

=5

32

ABD S ?+③；

④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为

5+232-；

⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得

AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．

其中正确结论的序号是___．

30．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.

(1)求证: AD=BE.

(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.

(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).

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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】

解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．

90CBF ∠=?，

90ABC OBF ∴∠+∠=?，

又

直角ABC ?中，90ABC ACB ∠+∠=?，

OBF ACB ∴∠=∠，

在OBF ?和ACB ?中，

BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ()OBF ACB AAS ∴???，

AC OB =∴，

同理：ACB PGC ???，

PC AB ∴=， OA AP ∴=，

所以，矩形AOLP 是正方形， 边长347AO AB AC =+=+=，

所以，3710KL =+=，4711LM =+=， 因此，矩形KLMJ 的面积为1011110?=， 故选B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

2．D

【分析】

根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】

解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2

()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=90°，故③正确；

∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴3

18090123

C ∠=??

=?++，故④正确；

∵222111()()()45

3

+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个； 故选择：D. 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.

3．D

解析：D 【分析】

根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案． 【详解】

解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ， 因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，

所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）． 故选：D ． 【点睛】

此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．

4．D

解析：D 【分析】

根据已知设AC ＝x ，BC ＝y ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC ，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝210，BE＝5，求AB的长．

设AC＝x，BC＝y，

根据勾股定理得：

在Rt△ACD中，x2+（1

2

y）2＝（210）2，

在Rt△BCE中，（1

2

x）2+y2＝52，

解之得，x＝6，y＝4，

∴在Rt△ABC中，22

64213

AB=+=，

故选：D．

【点睛】

此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.

5．D

解析：D

【分析】

作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，此时

△ABC周长最小，根据题意及作图可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以

∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x，则OB=3+x，根据周长最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】

解：作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，

此时△ABC周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，

∵△ABC周长的最小值是6，

∴AB+BE=6，

∵∠MON=45°，AD⊥OM，

∴△OAD是等腰直角三角形，∠OAD=45°，

由作图可知OM垂直平分AE，

∴OA=OE=3，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠AOE=90°， ∴△BOE 是直角三角形， 设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ， 在Rt △OBE 中，()()2

2

23+3+6x x =-， 解得：x=1， ∴AB=1. 故选D.

【点睛】

本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.

6．C

解析：C 【解析】

分析：将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.

详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A 关于EF 的对称点A ′，

连接A ′B ,则A ′B 即为最短距离，

A ′

B 2222=1216A D BD '++ (cm ) 故选C.

点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A 关于EF 的对称点A ′是解题的关键.

7．D

解析：D 【分析】

分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．

当4是直角边时，斜边，

当4是斜边时，另一条直角边=，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

8．D

解析：D

【分析】

根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．

【详解】

选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么

△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；

故选D．

【点睛】

考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．

9．A

解析：A

【解析】

分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

详解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：1

2

×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

故选A．

点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．

10．C

解析：C

【分析】

先过点E作EG⊥CD于G，再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG的长，进而得到△EDC的面积．

解：过点E 作EG ⊥CD 于G ， 又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ， ∴BE ＝GE ，

在Rt △BCE 和Rt △GCE 中

CE CE

BE GE =??

=?

， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ， ∴BC ＝GC ， ∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ， ∴△BCD 是等腰直角三角形， ∴∠BDC ＝45°， ∵AB//CD ， ∴∠ABD ＝45°， 又∵∠A ＝90°，AB ＝1，

∴等腰直角三角形ABD 中，BD ＝2211+＝2＝BC ， ∴Rt △BDC 中，CD ＝

()()

2

2

22+＝2，

∴DG ＝DC ﹣GC ＝2﹣2， ∵△DEG 是等腰直角三角形， ∴EG ＝DG ＝2﹣2， ∴△EDC 的面积＝12×DC×EG ＝1

2

×2×（2﹣2）＝2﹣2． 故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解．

二、填空题

11．

10

3． 【解析】

试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，

x+4y=10

3

，

所以S2=x+4y=10

3

．

考点：勾股定理的证明．

12．5cm

【分析】

连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．

【详解】

解：如图

展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：

如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，

∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇22

43

+（cm），

如图2，AC=4+2=6，CC＇=1

∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇22

61

+37（cm），

如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，

∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇22

25

+29（cm）

∵2937，

∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，

故答案为：5cm．

【点睛】

本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．

13．6或2.

【分析】

由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：

①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；

②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．

【详解】

解：分两种情况讨论：

①当D点在BC上方时，如图1所示，

把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，

则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°

在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，

∴∠ACD+∠ECD=180°，

∴A、C、E三点共线．

∴AE=AC+CE=42+22=62

在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，

即2AD2=（62）2，解得AD=6

②当D点在BC下方时，如图2所示，

把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，

则2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，

所以∠EAD=∠AED=45°，

∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，

∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．

∴222

在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．

故答案为：6或2.

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．14．5或13

【分析】

根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．

【详解】

解：如下图所示，

若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，

根据勾股定理，可得

A+B=C，

∴C=13．

若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，

根据勾股定理，可得

A+B=C，

∴B=9-4=5．

∴S K为5或13．

故答案为：5或13．

【点睛】

本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．

15．10

【分析】

先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝5c＝5代入即可求出ab的值．

解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，

∴a2+b2＝c2，

∴（a+b）2﹣2ab＝c2，

∵a+b＝35，c＝5，

∴（35）2﹣2ab＝52，

∴ab＝10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.

16．120 13

【解析】

∵AB=AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴B点，C点关于AD对称，

如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，

则CF=BE+FF的最小值，

根据勾股定理得，AD=12，

利用等面积法得：AB?CF=BC?AD，

∴CF=BC AD

AB

?

=

1012

13

?

=

120

13

故答案为120 13

.

点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.

17．48 5

【解析】

试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面

积法可得11

10128

22

BD

??=??，解得BD=

48

5

.

18．3

根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解. 【详解】

解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ??, ∵15cm BC =，20cm AC =，

∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=， ∵90ACB ∠=?， ∴'A M

AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），

∴25,AB cm =

利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有2

2

2

(257)5m m +-=， 解得3m =， 所以MB '的长为3. 【点睛】

本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键. 19．23或2或4 【分析】

根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答． 【详解】 解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾； 如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°，

∴∠CBP=60°， ∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==； 如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°-30°=30°， ∴PC=PB ， ∵23BC =， ∴22221

3,(23)(3)32

AB BC AC BC AB =

==-=-=， 在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=,

即222

()AC PC AB PC -+=,

即222(3)(3)PC PC -+=，解得2PC =， 如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴12

BP PC =

在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=,

即222

1()2

PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．

综上所述，CP 的长为2或4．

故答案为：2或4． 【点睛】

本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．

20．

28

+ 【分析】

依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2

）2

；依此

类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（2

）6

，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】

∵等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1，

∴在Rt △OA 1B 1中OA 1OA ，

在22Rt OA B ?中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …

故在Rt △OA 6B 6中OA 6OA 5）6

= OB 6

66A B OB 6

故△OA 6B 6的周长是＝8+2×（2

）6=8+2×18=28+．

故答案为：28

+ 【点睛】

本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

三、解答题

21．（12）150°；（3 【分析】