2020年上海新高一新教材数学讲义-专题16 函数的基本性质(2)教师版
专题16 函数的基本性质（2）
（函数的单调性）
知识梳理
1.函数单调性的定义
对于函数)(x f 的定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <
)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如x
y 1
=
的单调递减区间时()0，
∞-和()∞+，0而不能写成()()∞+∞-，，00 。
2.单调性证明四部曲
①任取1x ,2x 属于定义域，且令1x <2x ；②作差)(1x f －)(2x f 并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断)(1x f －)(2x f 的符号；④得出结论. 3.复合函数的单调性：同增异减
注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。 4.单调性与奇偶性之间的关系
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 5.单调性的其它等价形式
①对于任意的0a >，都有()()f x a f x +>，表示()f x 单调递增；
对于任意的0a >，都有()()f x a f x +<，表示()f x 单调递减.
②对于任意的12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，表示()f x 单调递增；
对于任意的12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-，表示()f x 单调递减.
③若()x f y =是奇函数，且对定义域内的任意y x ,（0≠+y x ）都有
()()0>++y x y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递增；
()()0<++y
x y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递减. 例题解析
一、单调性的概念及简单基本函数的单调性
【例1】设)(x f 是定义在R 上的函数．
①若存在R x x ∈21,，当21x x <时、有)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，当时，有)()(21x f x f ≤成立，则函数在R 上不可能单调递 减；
③若存在02>x ，对于任意R x ∈1，都有)()(211x x f x f +<成立，则函数在上 单调递增；
④任意，当时，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数在上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ）
（A ）①③ （B ）②③ （C ）②④ （D ）② 【难度】★★
21x x <)(x f )(x f R R x x ∈21,21x x <)(x f R
【答案】D
【例2】判断命题：
（1）已知)(),(x g x f 均为R 上的单调递增函数，则)()(x g x f ?是R 上单调递增函数； （2）已知)(x f 的定义域为R ，)1()(+ （3）已知)(x f 的定义域为R ，)(x f 在[)+∞,0上单调递增，则)(x f 在R 上单调递增。 （4）偶函数一定不是单调函数。 【难度】★★ 【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对 【例3】定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x -t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为 . 【难度】★★ 【答案】2 【例4】写出下列函数对应的单调区间 （1）()x x x f -++=212的递增区间是___________________，递减区间是____________________； （2）223)(x x x f --=的单调递增区间 ； （3）1 2-=x x y 的单调递增区间 （4）x x x f 1 )(- = 的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】（1）?? ? ? ?∞-??????∞+-212 1，；，（2）[]13--， （3）[]0,1-和[)∞+，1（4）()+∞,0 【解析】（1）画图（2）不要忽略定义域（3）画图，多个单调递增区间不能用“ ”连接（4）单调函数四 则运算规律 【例5】已知函数)0(,)(>-=a a x x f ，)2(,12)(2≤++=x ax x x g ，且)(x f 与)(x g 的图像在y 轴上的截距相等，则函数)()(x g x f +的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】?? ????-221， 【例6】求()1 22 22-+-=x x x x f 的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】?? ? ? ? -∞-21,和?? ????∞+， 2 3 【解析】()2112221122+-+-=-+ =x x x x x f ，令21-=x t ，原函数变为21 1++t t 从而可得函数的递增区间为?? ? ? ? -∞-21,和?? ??? ?∞+， 2 3 【例7】已知)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，)(x f 0>且1)3(=f ，试判断函数) (1)()(x f x f x F +=（0>x ）的单调性. () x f 1 【难度】★★【答案】递减区间(]3,0，递增区间为[)∞+， 3 【巩固训练】 1.下列命题:(1)若()x f 是增函数，则 是减函数;(2)若是减函数,则 是减函数;(3)若 是增函数, 是减函数, 有意义,则为减函数,其中正确的个数有: （ ） A.1 B.2 C.3 D.0 【难度】★【答案】A 2、y = | 2x ＋1 |＋| 2－x | 的递增区间是__________，递减区间是__________。 【难度】★【答案】??????∞+-，21，?? ? ? ?-∞-2 1， 3.已知()2-=x x x f ，()2-= x x g ，则()()x g x f ?的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】[)∞+， 2 4.()x x x f 21 2-= 的单调递增区间 【难度】★★【答案】()0,∞-和(]1,0 5.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性. 【难度】★★【答案】见解析 【解析】∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数； 若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 二、定义法判断函数的单调性 【例8】证明()3 x x f =是单调递增函数 【难度】★ 【答案】略 【例9】已知函数9 ()||f x x a a x =-- +，[1,6]x ∈，a R ∈． 当()3,1∈a 时，求证函数()f x 是单调函数． 【难度】★★【答案】()?? ???≤≤-<≤+--=6 ,9 1,29x a x x a x a x x x f 可证函数在两段上都是单调递增的，又函数连续，故 ()f x 是单调递增函数. 【例10】讨论函数1 )(2 -= x ax x f 在区间()1,1-上的单调性 【难度】★★【答案】当a>0时递减，a=0时为常值函数不具有单调性；当a<0时递增 【例11】证明104)(---=x x x f 在定义域上为减函数. 【难度】★★【答案】可将函数变形为 10 46 -+-+x x 【巩固训练】 1.（1）判断x x x f 1 )(2+=在()0,∞-上的单调性，并证明。 （2）研究函数y ＝2x ＋ 2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； 【难度】★★【答案】（1）递减，证明略（2）单调递增区间[ )0,4c -和[ )+∞,4 c 单调递减区间为(] 4c -∞-，和(] 4,0c 2.已知)(),(x g x f 均为R 上的单调递增函数，命题一：)()(x g x f +是R 上单调递增函数；命题二： )()(x g x f ?是R 上单调递增函数；判断两个命题的正确性，若正确，给与证明；若不正确，请举反例，并 增加条件，使之成为真命题。 【难度】★★【答案】命题一正确。命题二错误，当)(),(x g x f 在R 上都大于0命题二成立。 三、分段函数单调性 【例12】已知函数2 (0)()(3)4(0) ax x f x a x a x - 1212()() 0f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围是__________. 【难度】★★【答案】?? ? ? ?2 1,0 【例13】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、 ()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；这个命题是否正确？ 【难度】★★【答案】错；可举反例 【巩固训练】 1.已知函数2,1, ()1, 1,x ax x f x ax x ?-+≤=?->? 若1212,,x x x x ?∈≠R ,使得12()()f x f x =成立,则实数a 的取值范围是 _______. 【难度】★★ 【答案】2 a < 2.已知函数()()()() ????? <-+≥-+=175112x x m x x m x x f 在R 上递增，则m 的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】[]1,2- 四、单调性的应用 【例14】已知函数()()53422 +-+=x a ax x f 在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围 是 . 【难度】★★ 【答案】]3 4,0[ 【例15】函数()x f = 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，则a 的取值范围是 【难度】★★ 【答案】?? ? ??+∞,21 【例16】已知x ax x f 1 2)(- =，(]1,0∈x ，)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围 【难度】★★【答案】?? ????∞+-， 2 1 【解析】两种方法：一种是根据函数性质分类讨论；另外根据单调性定义转化为恒成立问题。 【例17】已知函数()(0)f x a =≠在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围 是 . 【难度】★★ 【答案】(]2,0 【例18】已知函数),0(,)(2R a x x a x x f ∈≠+=，若函数)(x f 在[)+∞∈,2x 上为增函数，求a 的取值范 围 【难度】★★【答案】(]16， ∞- 【解析】利用定义法解参数取值可化为恒成立问题，注意等号能够取得到。 【例19】a ax x x f --= 21)( （1）)(x f 在区间() 31,-∞-上是增函数，求a 的取值范围。 （2）)(x f 的单调递增区间是() 31,-∞-，求a 的取值范围。 【难度】★★【答案】（1）[] 2322，-；（2）322-=a 【巩固训练】 1.函数8a x x +- 在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【难度】★★【答案】[]1,9- 2.已知函数∈++=a ax x x f (|1|)(R ）. (1) 当1=a 时，画出此时函数的图象； (2)若函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】（1）当1=a 时， ? ? ?-<--≥+=++=111 12|1|)(x x x ax x x f ， 简图如右图所示. （2）?? ?-<---≥++=++=1 1 )1(11)1(|1|)(x x a x x a ax x x f ， 当?? ?>->+0101a a 或? ??<-<+010 1a a ， 即1>a 或1- 3.已知函数3 ()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【难度】★★【答案】(,48]a ∈-∞ 4、[]42x k +-2已知函数f(x)=kx 在1，2上为增函数，求实数的取值范围。 【难度】★★【答案】 五、抽象函数单调性 【例20】已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，求不等式)2()52(2+<+x f x f 的解集。 【难度】★★【答案】()()∞+-∞-，， 31 ；解不等式2522 +<+x x 即得 【例21】定义在]4,1[上的函数)(x f 为减函数，求满足不等式2 (12)(4)0f a f a --->的a 的值的集合 【难度】★★【答案】}01|{≤<-a a 【解析】 )21(a f -0)4(2 >--a f ∴)21(a f -)4(2 a f ->， 又 )(x f 是定义在]4,1[上的减函数， 1>a )(x f ∴2 21124 144124a a a a ≤-≤??≤-≤??-<-? 即3013a a a -≤≤??≤??-< 10a ?-<≤ 【例22】已知函数()x f 为定义在[]2,2-上递减的奇函数，求满足()( )0112 <-+-m f m f 的实数m 的取值 范围。 【难度】★★【答案】[)1,1- 【例23】已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=，且当1>x 时，()()14,0=>f x f 。 （1）求证()01=f ； （2）求?? ? ??161f ； （3）解不等式()()13≤-+x f x f 【难度】★★【答案】（1）略；（2）?? ? ??161f =-2； （3）(]4,3 【例24】已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1 )=－1,当且仅当0 xy y x ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减. 【难度】★★★ 【答案】：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2 1x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 2 11 21x x x x --) ∵0 1 21 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0< 12121x x x x --<1,由题意知f (2 11 21x x x x --)<0，即f (x 2) ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数. 【巩固训练】 1.已知f (x )是R 上的增函数，若令F (x )＝f (1－x )－f (1＋x )，则F (x )是R 上的( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增的函数 D ．先增后减的函数 【难度】★【答案】B 2.函数f (x) 是定义在（+∞∞-,）上的偶函数且f (x) 在[)+∞,0上是增函数，则f (π-), f (3-) ,f (3) 的大小顺序是____________________________。 【难度】★【答案】() ()()π-<<-f f f 33 3.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在[)+∞,0上为增函数，若121=?? ? ??f ，则不等式0)12(1≤+≤-x f 的解集为 【难度】★★【答案】?? ? ?? ?--2 143， 4.函数()()R x x f ∈的图像如右图所示，，则函数()()()10log <<=a x f x g a 的单调递减区间是 _______ . 【难度】★★【答案】[]1,a 5.函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1． (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2． 【难度】★★ 【解答】设x 1 ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0?f (x 1) (2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1?f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4?f (2＋1)＝4?f (2)＋f (1)－1＝4?3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)， ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1?－3 六、单调性综合问题 【例25】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增；④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【难度】★★【答案】B 【例26】已知函数()x x x f -=2 ，若() ()212 f m f <--，则实数m 的取值范围是 . 【难度】★ 【答案】()1,1- 【例27】（1）若()f x 为奇函数，且在（-∞，0）内递增，(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为_______________ （2）定义在（-4，4）上的偶函数()f x ，且当x ∈(]0,4-时，()f x 单调递减，解不等式 ()(21)f x f x <- 【难度】★★ 【答案】（1）(2,0)(0,2)-；（2）315 (,)(1,)232- 【例28】(),()g x h x 在定义域A 上满足任意12,,x x A ∈12x x ≠，1212()()()()g x g x h x h x ->- （1）若()g x 在A 上递增，判断()()()f x g x h x =+在定义域A 上单调性，并说明理由； （2）若()h x 在A 上递增，判断()()()f x g x h x =+在定义域A 上单调性，并说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）单调递增；（2）不确定 【例29】已知函数 ()x x x f 25 --=，对于321,,x x x 有0,0,0313221>+>+>+x x x x x x 试比较()()()321x f x f x f ++与0的大小关系 【难度】★★ 【答案】()()()0 321<++x f x f x f ()f x 【例30】已知函数()2 1ax b f x x += +是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b ∈R 且1225 f ??= ???． （1）求函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式()() 210f t f t -+<． 【难度】★★ 【答案】（1）由题意()()11f x .-在上是奇数，()()f x f x -=， 22011ax b ax b ,b x x -++?? =-∴= ?++?? 又12 25f ,??= ??? 易得1a = ()21x f x x =+ ()11x .∈- （2）在 ()11,-内任取12x ,x 令1211x x -<<< ()()()()()() ()()()()()211221 212 222211211212121221221212 1111111111110 0101x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ,f x f x f x x ---= -=++++ ?<-<<-<<∴->->? ∴->>∴= +而即 所以，()21 x f x x = + 在()11,-上是单调递增的 （3）由 ()() 210f t f t -+< 得()() 21f t f t -<- 2 2 111 111t t t t -<- ?-<-? 解得102t << 【例31】函数()x f 对任意的R n m ∈,都有()()()1-+=+n f m f n m f ，并且0>x 时恒有()1>x f . （1）求证：()x f 在R 上是增函数； （2）若(),43=f 解不等式() 252 <-+a a f . 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】（1）任取R x x ∈<21，则()112>-x x f 从而()()()()()111211221x f x f x x f x x x f x f >-+-=+-=，从而递增 （2）由题意()()()()()()42131123,1122=-=-+=-=f f f f f f 得()21=f 所以不等式等价为152<-+a a 解得()2,3-∈a 【巩固训练】 1.已知二次函数。 （1）函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）关于的不等式 在上恒成立，求实数的取值范围； （3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。 【难度】★★★ 【答案】：（1）当0=a 时，x x f -=)(，不合题意； ()()21f x ax a x a =+-+()f x (),1-∞-a x ()2f x x ≥[]1,2x ∈a ()()()2 11a x g x f x x --=+ ()2,3a 当0>a 时，在上不可能单调递增； 当0 -≤--a a ，得.1-≤a （2）设1)1 ()()(-++==a x x a x x f x h ， 当]2,1[∈x 时，]2 5 ,2[1∈+x x ， 因为不等式 在上恒成立，所以)(x h 在]2,1[∈x 时的最小值大于或等于2， 所以，?? ??????? ?≥-+<≥-+>21250 a 2120a a a a a 或 ， 解得1≥a 。 （3）a x ax x g ++ =1 )(2在上是增函数，设3221<< 2 2 212 111，21212121))((x x x x x x x x a -<-+， 因为3221<< ， 而 )16 1 ,541()(12121∈+x x x x ， 所以.16 1 ≥a ()f x (),1-∞-()2f x x ≥[]1,2x ∈()2,3 反思总结 函数的单调性是函数的局部性质，一定是在函数定义域范围内讨论的，一个函数在整个定义域上可以不具有单调性，但函数还是存在单调区间的，注意当函数有多个单调区间的时候要用和将多个单调区间连起来； 对于有些题目中蕴含着复合函数的定义域要求，不要忽略，要考虑到复合函数定义域问题；对于单调性和奇偶性之间的关系要清楚。 课后练习 1.函数f(x)= x 2 +2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. B. C. (－∞,5) D. 【难度】★ 【答案】B 2.下列命题中正确的命题是………………（ ） （A ）若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数； （B ）若存在],[b a x i ∈（),2,1* N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<< <时，有 ()()()123()n f x f x f x f x <<< <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数； （C ）函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数)(x f y =在),0[+∞上一定是减函数； （D ）若对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有0) ()(2 121>--x x x f x f ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是 增函数。 【难度】★【答案】D [)3,-+∞(],3-∞-[) 3,+∞ 3.若奇函数f （x ）在［a ，b ］上是增函数，且最小值是1，则f （x ）在［－b ，－a ］上是（ ） A 、增函数且最小值是－1 B 、增函数且最大值是－1 C 、减函数且最小值是－1 D 、减函数且最大值是－1 【难度】★【答案】B 4.已知函数()242 -+=x kx x f 在[]2,1上为增函数，求实数k 的取值范围. 【难度】★★【答案】(1,2) 5.有下列几个命题： ①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y = 1 1 x +在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减 函数；③函数y 2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）。正确命题的序号是__________ 【难度】★★【答案】④ 6.函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是___________ 【难度】★★【答案】]2 1 --，（∞和?? ????210， 7.已知函数()(0)f x a =≠在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】(]2,0 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形； 定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若 f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f； 高三文科数学三角函数专题测试题 1．在△ABC 中，已知a b ＝sin A cos B ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) A . 6 B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中， AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2 ＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时， ()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属 于B A ?(1)A A ?? (2) A C ?，则B C ?且B A ?若(3) A B =，则B A ?且B A ?若(4) A(B) 或 B A 真子集 A ≠?B （或B ≠ ?A ） B A ?中至少 B ，且有一元素不属于A 为非空子集） A （A ≠ ??）1（ A C ≠ ?，则 B C ≠ ?且A B ≠ ?若(2) B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素 都属于A B ?(1)A A ?(2)B A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2个子集，它有21-个真子集，它有21-个非空子集，它有22-非空真 子集. 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,}x x U x A ∈?且 ()U A A U =U e2 ()U A A =? I e1 （1不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> ， ||x a <看成一个整体，化成 ax b +把 型不等式来求解 ||(0)x a a >> （2()()()U U U A B A B =I U 痧 ?()()() U U U A B A B =U I 痧? 高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ； （2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合； （5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤： （1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令； （2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。 复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 4．下列函数中,在区间 (0,1)上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -3= C ．x y 1= D ．4+-=2x y 6．若一次函数y=kx ＋b 在集合Ｒ上单调递减，则点（k ，b ）在直角坐标系中的 ( ) Ａ．第一或二象限 Ｂ．第二或三象限 Ｃ．第一或四象限 Ｄ．第三或四象限 7. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递 减． （1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5; (4) f(x)=x 2,x ()∞+,0∈; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x 1; 6．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3-,7-上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 7 ． 已知函数()f x 对一切R y x ∈,，都有)(+)(=)+(y f x f y x f ， 求证：（1）()f x 是奇函数；（2）若a f =-3)(，用a 表示(12)f ． 答案:1.C 2.C 3.B 4.A 5.+∞,0[) 6.B 7.C 8.(0,2 1) 答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.(1)(5)(6) 6.A 7.(1)证明:令x=y=0,)0(f = )0(f +)0(f =2)0(f ,∴)0(f =0. 令y= -x, =)+(y x f )0(f =(+)(f x f -)x , 即(+)(f x f -)x =0, ∴(f -)x =)(x f , ∴)(x f 为奇函数. (2) -4a高中数学函数常用函数图形及其基本性质
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