相似图形知识点典型例题
相似图形知识点典型例
题
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第四章 相似图形 一、知识要点 1、成比例线段:若线段a ,b ,c ,d 满足
d c b a =,则a ,b ,c ,d 称为成比例线段. 2、比例的性质:(1) d
c b a = ab c
d =(互逆的时候是否需要条件?) (2)d c b a = d
d c b b a ±=± (3)n m d c b a === b
a n d
b m
c a =++++++ (0≠+++n
d b ) 3、黄金分割:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC
BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.
AC :AB =1:618.01:2
15≈- 4、相似多边形:如果两个多边形的角对应相等,边对应成比例,那么这个多边形叫做相似多边形.对应边的比叫做相似比.
5、相似三角形的判定:(1)两个角对应相等的两个三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(3)三边对应成比例的两个三角形相似.
6、相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;
(2)相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比;
(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
7、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
8、位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
二、典型例题: 例1 如果31==d c b a ,求b b a +,b b a -,d b c a ++,d b c a 22--.
例2 以长为2cm 的定线段AB 为边,作正方形ABCD ,取AB 的中点P .在BA 的延长线上取点F ,使PF =PD .以AF 为边长作正方形AFEM .点M 落在AD 上.(如图)
(1)试求AM ,DM 的长;
(2)点M 是线段AD 的黄金分割点吗?请说明理由.
例3 一位同学想利用树影测出树高,他在某时刻测得直立
的标杆高1米,影长是0.9米,但他去测树影时,发现树影的上
半部
分落在墙CD 上,(如图所示)他测得BC =2.7米,CD =1.2
米.你能帮他求出树高为多少米吗?
例4 如图,矩形ABCD 中,E ,F 分别在BC ,AD 上,矩形ABCD ∽矩形EC DF ,且AB =2,ABCD EC 3DF S S =矩形矩形,试求ABCD S 矩形.
E
图形的相似知识点
一、相似图形 知识点1 相似图形的概念 具有相同形状的图形叫做相似图形 注意:由定义易得两个圆、正方形、等边三角形,等腰直角三角形必是相似图形; 而两个等腰三角形,菱形,矩形不一定是相似图形。 知识点2 在格点(或网格)图中画已知图形的相似图形 即通过放大或缩小在网格中画出所需图形(按比例放大或缩小) 注意:每一边放大或缩小的数量必须一样,可先定点后定边。 若无特殊说明,画出与原图形全等的图形也正确。 二、相似图形的性质 知识点1 线段的比 一般地,在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比 注意:(1)线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时单位应统一; (2)线段的比有顺序,即a:b ≠b:a (3)比值总为正数 知识点2 比例线段 对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比,如a c b d =(或::a b c d =) ,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 判断四条线段是否成比例:(1)按从小到大(或从大到小)排列 (2)判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比 知识点3 比例的基本性质 交叉相乘: (,,,0)a c ad bc a b c d b d =?=均不等于(可用于验证等式成立,或求解成比例的未知数) ,.a c a b c d a c b d b d a b c d ++===--如果,那么(可用倒数验证) 拓展:a c a nb c nd b d b d ±±==如果,那么。(分母不变,分子加上或减去分母的倍数) 知识点4 相似多边形的性质、判断 性质:两个相似多边形的对应边成比例(构造比例方程求对应边), 对应角相等(根据内角和定理求内角); 判定:如果两个多边形的对应边成比例,对应角相等,那么这两个多边形相似。(两条件同时成立) 全等多边形一定是相似多边形,而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。 2. ???1.全等是相似的特例:即全等必相似,可通过放大或缩小得到:即形状完全相同, 与位置, 大小无关
图形的相似知识点总复习有解析
图形的相似知识点总复习有解析 一、选择题 1.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=?,CD AB ⊥于点D ,2CD =,1BD =,则AD 的长是( ) A .1. B .2 C .2 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 由在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,根据同角的余角相等,可得∠ACD=∠B ,又由∠CDB=∠ACB=90°,可证得△ACD ∽△CBD ,然后利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案. 【详解】 ∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB , ∴∠CDB=∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°, ∴∠ACD=∠B , ∴△ACD ∽△CBD , ∴=AD CD CD BD , ∵CD=2,BD=1, ∴ 2=21AD , ∴AD=4. 故选D. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质,解题关键在于证得△ACD ∽△CBD. 2.如图,在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC ,∠BAD=∠BDC=90°,E 为BC 的中点,AE 与BD 相交于点F ,若BC=4,∠CBD=30°,则DF 的长为( )
A.2 3 5 B. 2 3 3 C. 3 3 4 D. 4 3 5 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2,即:∠BDE=∠ABD,进而判断出DE∥AB,再求出AB=3,即可得出结论. 【详解】 如图, 在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°, ∴3 连接DE, ∵∠BDC=90°,点D是BC中点, ∴DE=BE=CE=1 2 BC=2, ∵∠DCB=30°, ∴∠BDE=∠DBC=30°,∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∴∠ABD=∠BDE, ∴DE∥AB, ∴△DEF∽△BAF, ∴DF DE BF AB =, 在Rt△ABD中,∠ABD=30°,3,∴AB=3, ∴ 2 3 DF BF =, ∴ 2 5 DF BD =, ∴DF=2243 3 55 BD=?= 故选D. 【点睛】 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,角平分线的定
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y <0;③ y>0
知识点二:二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 (3)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例1】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则: (1)abc 0 (>或<或=) (2)a 的取值范围是 ? 【例3】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 – 3
图形的相似知识点总结#精选.
word. 图形的相似 考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是,或写成a :b=m :n 在两条线段的比a :b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段 叫做成比例线段,简称比例线段 若四条a ,b ,c ,d 满足或a :b=c :d ,那么a ,b ,c ,d 叫做组成比例的项,线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a ,b ,c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即c b b a =或a :b=b : c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。 2、比例的性质 (1)基本性质①a :b=c :d ?ad=bc ②a :b=b :c ac b =?2 (2)更比性质(交换比例的内项或外项) d b c a =(交换内项) ?=d c b a a c b d =(交换外项) a b c d =(同时交换内项和外项) (3)反比性质(交换比的前项、后项): c d a b d c b a =?= (4)合比性质:d d c b b a d c b a ±= ±?= (5)等比性质: b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++====ΛΛΛΛ)0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 (2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念 n m b a =d c b a =
初二函数知识点及经典例题.
第十八章 函数 一次函数 (一)函数 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
图形的相似知识点总复习
图形的相似知识点总复习 一、选择题 1.已知正方形ABCD的边长为5,E在BC边上运动,DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF,问CE为多少时A、C、F在一条直线上() A.3 5 B. 4 3 C. 5 3 D. 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先延长BC,做FN⊥BC,构造直角三角形,利用三角形相似的判定,得出Rt△FNE∽ Rt△ECD,再利用相似比得出 1 2.5 2 NE CD ==,运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三 角形,从而求出CE. 【详解】 解:过F作BC的垂线,交BC延长线于N点, ∵∠DCE=∠ENF=90°,∠DEC+∠NEF=90°,∠NEF+∠EFN=90°,∴∠DEC=∠EFN, ∴Rt△FNE∽Rt△ECD, ∵DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF, ∴两三角形相似比为1:2, ∴可以得到CE=2NF, 1 2.5 2 NE CD == ∵AC平分正方形直角, ∴∠NFC=45°, ∴△CNF是等腰直角三角形,∴CN=NF, ∴ 2255 . 3323 CE NE ==?= 故选C. 【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识,求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决,同学们应学会这种方法. 2.如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与
BD相交于点F,若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为() A.2 3 5 B. 2 3 3 C. 3 3 4 D. 4 3 5 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2,即:∠BDE=∠ABD,进而判断出DE∥AB,再求出AB=3,即可得出结论. 【详解】 如图, 在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°, ∴3 连接DE, ∵∠BDC=90°,点D是BC中点, ∴DE=BE=CE=1 2 BC=2, ∵∠DCB=30°, ∴∠BDE=∠DBC=30°,∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∴∠ABD=∠BDE, ∴DE∥AB, ∴△DEF∽△BAF, ∴DF DE BF AB =, 在Rt△ABD中,∠ABD=30°,3,∴AB=3, ∴ 2 3 DF BF =, ∴ 2 5 DF BD =,
中考攻略:初中数学函数知识点大全+典型例题
初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称
点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点 (1)一般 一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3)三顶点 顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当 a b x 2-=时,a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=a b 2-时,a b a c y 442-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时, c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小;如果在此范围内,y 随x 的增大而减 小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
第二讲:函数的单调性 一、定义: 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意:增函数的等价式子:0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破:(1)所有函数都具有单调性吗? (2)函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件,能不能推出第三个? 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意:(1)减函数的等价式子:0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ; (2)若函数)(x f 为增函数,且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一:函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ,如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则( ) A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数
图形的相似知识点总结
图形的相似 考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段的比是,或写成a :b=m :n 在两条线段的比a :b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 若四条a ,b ,c ,d 满足或a :b=c :d ,那么a ,b ,c ,d 叫做组成比例的项,线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a ,b ,c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即c b b a =或a :b=b : c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。 2、比例的性质 (1)基本性质①a :b=c :d ?ad=bc ②a :b=b :c ac b =?2 (2)更比性质(交换比例的内项或外项) d b c a =(交换内项) ?=d c b a a c b d =(交换外项) a b c d =(同时交换内项和外项) (3)反比性质(交换比的前项、后项): c d a b d c b a =?= (4)合比性质:d d c b b a d c b a ±= ±?= (5)等比性质: b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 n m b a =d c b a =