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杨氏双缝干涉的MATLAB仿真

摘要：根据杨氏双缝干涉实验理论，构建数学模型，基于MATLAB平台设计和开发模拟软件，模拟出可见光范围内任意波长单色光的杨氏双缝干涉图像，同步绘制出光强分布曲线，并借助图像形象直观地解释了干涉条纹间距与波长的关系，使课堂教学过程由枯燥变生动，帮助学习者更好地认识和理解光的干涉现象及其理论。

关键词：杨氏双缝干涉; MATLAB; 光强分布; 计算机仿真

1 引言

众所周知,光学实验对仪器的稳定性要求很高,实验平台要求防震,对于复杂光路的搭建和实验仪器的调试非常耗费时间,而且环境的温度、湿度都对实验效果有一定影响，并且由于仪器和场所的限制，一些实验无法完成，这就为理论研究带来了困难。例如在中学物理课堂教学中，光学现象（如“光的干涉”）只有通过极为细心的观察才能把握，经过认真的分析才能理解，然而对于观察能力还不够强的学生来说，是件很困难的事情。若能对这些光学实验现象进行模拟，适当延长过程的时间，让学生有比较充裕的时间对实验现象进行观察和分析，就能帮助学生加深对物理现象和规律的理解，掌握物理现象的本质，从而提高教学效果。

计算机软硬件技术的不断提高，计算机图形学和图像处理的飞速发展，使可视化仿真的多媒体技术日趋成熟。Mathworks 公司于1984年推出了一套高性能的数值计算和可视化仿真软件——“MATLAB”，该软件提供了简单、高效的编程环境，可以对抽象的物理模型进行仿真。在构建物理模型的前提下，利用MATLAB 的计算、声音、图像、动画等功能可以模拟物理现象，诠释物理规律，演示运动过程，并由此构建学生自主探索问题和解决问题的平台。

文献资料显示，许多的教学工作者从不同层面将MATLAB应用于光学课堂教学中，做出了许多的研究成果。例如：有研究者利用MATLAB的图形用户界面与数据处理能力，对热学及力学现象中的布朗运动和简谐振动、光学现象中的单缝衍射、电磁学现象中的等量异种电荷电场线进行可视化仿真，同时拟合处理实验数据[1]；有研究者构建插值函数从而建立可见光波长与MATLAB 色谱矩阵的映射关系，将干涉图样的强度分布变成色谱矩阵,实现杨氏双缝干涉现象的计算机仿真[2]；有研究者基于MATLAB实现了牛顿干涉和光栅衍射现象的仿真 [3]；有研究者利用 MATLAB软件的GUI用户界面交互功能对夫琅和费圆孔衍射现象进行模拟[4]；有研究者利用MATLAB对单色光双缝干涉实验现象进行仿真，绘制出不同波长、不同屏缝间距、不同双缝间距的单色光干涉条纹[5]；有研究者绘制了单色光和非单色光干涉的仿真图像，并同步计算相应的条纹间距及对比度

[6]；有研究者利用MATLAB 模拟仿真单色光杨氏双缝干涉，绘制出单色光强

度分布曲线、二维干涉条纹分布及三维强度分布[7]；有研究者用MATLAB 语言模

拟光照模型、牛顿环干涉条纹和平面光栅衍射现象[8]；有研究者从波动光学和量

子物理角度分析杨氏双缝干涉实验，编写MATLAB 程序模拟相应的干涉图样，形

象展示了光的波粒二象性[9]。

通过对目前计算机仿真光学实验的现状和相关研究的分析，本文将用MATLAB

编程对可见光范围内任意波长单色光杨氏双缝干涉实验现象进行仿真，通过自由

输入不同实验参数，得到相应的干涉图样和光强分布曲线图，使双缝干涉现象直

观化，便于比较不同实验参数对实验的影响。用仿真结果来验证理论分析和实验

结果，在课堂教学中借助计算机模拟技术，帮助学生了解和理解所学知识。

2 杨氏双缝干涉的实验原理和数学模型

杨氏双缝干涉实验是利用分波振面法获得相干光束的典型例子，如图 1 所

示，在普通单色光光源后放一狭缝S ,S 后又放有与S 平行且等距离的两平行狭

缝1S 和2S ，单色光通过两个狭缝1S 和2S 射向屏幕，相当于位置不同的两个同频

率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相

位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象[10，11]。

图1 杨氏双缝干涉原理图

Figure 1 schematic diagram of Young’s Dual -slit Interference

根据杨氏双缝干涉实验原理图[12]，我们以频率是单值、振幅不随传播距离变

化的单色光来建立杨氏双缝干涉现象的数学模型。单色的简谐波，它可用余弦函

数来表

示。如图1所示，设有两个这样的波，从空间两定点1S 和2S 发出，振源的

振动可用(1)和(2)式来表示：

)cos(010101?ω+=t A E （1）

)cos(020202?ω+=t A E （2）

式中01?和02?分别为1S 和2S 两点振动的初相位，此后当两列波同时到达P

点时，P 点的振动可用(3)和(4)式来表示： ])(cos[011111?ω+-

=v r t A E （3） ])(cos[022

222?ω+-=v r t A E （4）式中P S r 11=，P S r 22=，1v 和2v 是两波在1r 和2r 两段路程上的传播速度。两

波在P 点相遇后，在任意时刻的相位差为： ()0201112

2??ω?-+???? ??-=?v r v r ()()020111222??λπ

-+-=r n r n （5）

式中λ为两波在真空中的波长，11v c n =和22v c n =为两波沿着1r 和2r 传播时所经路程上介质的折射率，c 为真空中波的传播速度。那么在最简单的情况下

（0201??=,121===n n n ）,(5)式简化为： ()122r r -=

?λπ? （6）

从图1可以推导得出： 221)2(D d x r +-= （7） 222)2

(D d x r ++= （8）在P 点从1S 和2S 发出的光波在该点叠加产生的光强度为：

??++=cos 22121I I I I I （9）

式中1I 和2I 分别为两光波在屏幕上的光强度，若实验装置中1S 和2S 两个小

孔大小相等，则有021I I I ==，所以： 202cos 4??

? ???=?I I （10）从图1可以推导出P 点位置x 、缝宽d 、屏缝距离D 、光程差之间的关系为：

x D

d r r =-12 （11）当两列光波的光程差为波长的整数倍，即)2,1,0(, ±±=±=k k x D

d λ时才会出现亮纹，即亮条纹中心位置为：

λd

D k x ±= （12）相邻两个亮条纹或暗条纹的中心间距是 λd

D x =

? （13）

3 单色光杨氏双缝干涉实验现象的MATLAB 仿真

3.1 仿真程序的设计方案

仿真程序设计方案包括七个方面：实验参数确定、干涉图像的坐标量化、干

涉图像中任意点的光强及相对光强计算、单色光波长到干涉图像RGB 值的映射、

干涉图像色谱矩阵的建立、干涉图像的绘制、光强变化曲线绘制。

第一方面（实验参数确定）：实验参数中单色光波长λ、缝宽d 、屏缝距离D 由软件使用者从键盘输入，单位统一为米，输入波长时提示波长范围为380nm

至780nm ，这是比较普遍认可的人类可见光波长范围；仿真的光屏区域设置为6

条干涉条纹的间距，即在光屏上以O 点为中心，上下各可以显示某波长单色光3

条干涉条纹，条纹间距的计算见公式（13）。

第二方面（干涉图像的坐标量化）：以图1中光屏竖直方向为x 轴，将光屏

高度分为200等分，共取201个位置)201...1(=i p i ，光屏水平方向为y 轴，取值

范围=[-0.5,0.5]。

第三方面（干涉图像中任意点的光强及相对光强计算[13] [14]）：按照公式（10）

计算出光屏上201个位置)201...1(=i p i 处的光强i I ，其中0I 取为1；考虑到光强

会影响干涉条纹的明暗效果，必须将光强值乘到干涉图像的RGB 色谱矩阵中去，

MATLAB 的RGB 取值范围必须是[0,1],而实际光强值可能会大于1，直接将光强值

乘到干涉图像的RGB 色谱矩阵中会导致RGB 值超限，为了解决这一问题，在光强

值的基础上计算出一个取值范围在[0,1]区间的相对光强值，采用相对光强值来

构建干涉图像的RGB 色谱矩阵。位置)201...1(=i p i 处的相对光强i Ir 计算公式为：

)

max (i i i I I Ir = （14）第四方面（单色光波长到干涉图像RGB 值的映射）：不同波长的单色光产生

的干涉图像的色彩是不同的，为了较为真实地模拟出干涉图像的色彩，需要建立

单色光波长与色彩RGB 值（0-255）之间的映射关系。这方面的研究工作没有严

格的理论模型，基本上是按照单色光光谱（波长范围与颜色的对应关系）构建大

致的波长与RGB 映射，研究者们提出了一些映射的方法，有研究者提出通过构建

插值函数建立可见光波长与MATLAB 色彩RGB 值的映射关系[2]，有研究者提出根

据CIE 色度图来解决各种波长光的计算机色彩显示问题，有研究者提出带修正系

数的映射模型。本文采用带修正系数的映射模型来解决单色光波长到干涉图像

RGB 值的映射问题，比如当波长在380nm 到439nm （紫光）时，

R= -(λ- 440nm) / (440nm -380nm)，G=0.0，B=1.0

然后根据修正因子factor 、Gamma 进行RGB 值修正。

第五方面（干涉图像色谱矩阵的建立[15]）：标准的RGB 色彩模式中RGB 值取

值范围是[0,255]，而MATLAB 的图像色谱矩阵RGB 值取值范围[0,1]，因此，需

要标准RGB 值除以255转换为MATLAB 的RGB 值；此外，为了让干涉图像能显示

明暗条纹的效果，需要将相对光强信息加入图像色谱矩阵中，设IC 为干涉图像

的色谱矩阵，则有：

IC(:,:,1)=Ir*R;

IC(:,:,2)=Ir*G;

IC(:,:,3)=Ir*B;

第六方面（干涉图像的绘制）：借助MATLAB 的图像处理函数image 绘制彩

色的干涉条纹图像。

第七方面（光强变化曲线的绘制）：借助MATLAB 的二维绘图函数plot 绘制

光屏上的光强变化曲线，包括相对强度随光屏位置点变化的曲线、相对强度随相

位差变化的曲线。

3.2 仿真程序代码及仿真结果

基于上述设计方案，编写MATLAB 程序yssfgs.m 和WavelenghToRGB.m 来实现对

杨氏双缝干涉实验现象的模拟。

主程序yssfgs.m 代码如下：

clear,clc,close all

r=input('请从键盘输入单色光的波长(单位米,范围380nm--780nm)：');

d=input('请从键盘输入双缝间的间隔距离(单位米)：');

D=input('请从键盘输入双缝到屏幕的距离(单位米): ');

xm=D/d*r;

xMax =3*xm;

n = 201 ;

x = linspace(-xMax ,xMax ,n) ;

for i = 1 :1:n

r1= sqrt ((x(i)-d/2).^2+D^2) ;

r2= sqrt ((x(i)+d/2).^2+D^2) ;

dphi(i)=2*pi*(r2-r1)/r;

I(:,i)=4*cos(dphi(i)/2).^2 ;

end

Ir=I/max(I) ;

[R0,G0,B0]=WavelenghToRGB(r);

R=R0/255;

G=G0/255;

B=B0/255;

IC(:,:,1)=Ir*R;

IC(:,:,2)=Ir*G;

IC(:,:,3)=Ir*B;

figure subplot(3,1,1)

plot(x,Ir*4,'LineWidth',2) grid on

axis tight

fs=16;

title('光的干涉强度分布'，'FontSize',fs) xlabel('光屏位置点\itx','FontSize',fs) ylabel('相对强度\tiI/I\rm_0','FontSize',fs)

subplot(3,1,2)

plot(dphi,Ir*4,'LineWidth',2) grid on

axis tight

set(gca,'XTick',(-n:n)*2*pi)

fs=16;

title('光的干涉强度分布','FontSize',fs) xlabel('相差\Delta\it\phi','FontSize',fs) ylabel('相对强度\tiI/I\rm_0','FontSize',fs)

subplot(3,1,3)

image([x(1),x(n)],[-0.5,0.5],IC)

axis off

title('光的双缝干涉条纹','FontSize',fs)

运行程序，若输入实验参数为:λ=760nm 、d=2mm 、D=1m，得到图2（a）所示光强分布曲线和双缝干涉图样；若输入实验参数为：λ=400nm 、d=2mm 、D=1m，得到图2（b）所示的光的干涉强度分布和光的双缝干涉条纹。

(a) λ=760nm d=2mm D=1m(b) λ=400nm d=2mm D=1m

图2 不同波长单色光的干涉强度分布和干涉条纹

Figure 2 different wavelengths of monochromatic light

interference intensity distribution and the interference fringes

3.3 波长对干涉条纹间距影响的直观图像对比

为了能从干涉图样对比中观察总结出波长与干涉条纹间距的关系，编写程序yssfganshe_sevencolor.m，在同一幅图像上绘制出红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种单色光在同缝宽、同屏距情况下的干涉图样，如图3所示，程序代码见光盘附录。

图3波长对干涉条纹间距的影响

Figure 3 wavelength affection on interference fringe width

4 总结与展望

本文利用MATLAB模拟仿真单色光杨氏双缝干涉的物理现象，操作简单，交互参数调节方便，响应速度快，具有很高的容错能力。不仅可在课堂上方便的给出杨氏干涉实验的现象, 而且可以动态直观地展现各种物理量之间的关系, 也有利于其他光学实验和理论教学的开展。

但是本软件没有实现GUI图形界面，实验参数是通过键盘输入，在一定程度上影响了本仿真程序的用户界面友好性，在后续的研究工作中将继续完善本软件的GUI用户界面。

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[15]Haldar, M K. Introducing the Finite Element Method in electromagnetic

to undergraduates using MATLAB[J], International Journal of

Electrical Engineering Education, Jul 2006,43:3-4.

MATLAB Simulation For Young's Double-slit Interference

Abstract: According to young's double-slit experiment theory,

construct the mathematical model, design and develop simulation software

to simulate Young’s Dual-slit Interference experiment phenomena with monochromatic light, draw luminous intensity distribution curve and

interpret the relation between interference fringe and wavelength. The

simulation software make teaching lively and visual, help students better

understand the phenomena and theory of light interference.

Key words:Young's double-slit; MATLAB; luminous intensity

distribution;

computer simulation

格式要求说明：

(1) A4幅面

(2) 除毕业论文（设计）答辩评审表单面打印外，其它文本可双面打印

(3) 论文摘要一般不宜使用图表，不标注引用文献编号, 中文摘要一般以

150――200个汉字为宜，英文摘要应与中文摘要基本相对应，文字表达自然流畅，无语法错误。

(4) 关键词以3～5个为宜。每一个关键词之间用分号隔开，最后一个关键词后

不使用标点符号，与中文对应。

(5) 参考文献按正文中引用、参考出现的顺序列出，附于文末，理科论文应有

一定数量的英文参考文献。

(6) 调查问卷、公式推演、编写程序、原始数据附表等，可编入毕业论文（设

计）的附录中。一般附录的篇幅不宜超过正文。

(7)上边距：2.54cm；下边距：2.54cm；左边距 3.17cm；右边距：3.17cm；行

间距为1.25倍行距。

(8)论文页码从正文序论部分开始，至附录，用阿拉伯数字连续编排，页码位于

页面底端居中。

(9)论文（设计）题目：宋体小三号加粗，可以分为1或2行居中打印。

(10)摘要（中文）：论文题目下空一行，另起一行，首行缩进两格排印“摘要：”，

宋体小四号加粗，标点符号占一格，其余内容为宋体小四号，单倍行距。

(11)关键词（中文）：摘要下另起一行，首行缩进两格排印“关键词：”，宋体小

四号加粗；关键词条为宋体小四号，每个词条之间用分号隔开，最后一个后面不使用任何标点符号。

(12)各级标题：宋体小四号加粗，左起打印。各级标题理科以“1”、“1.1”、“1.1.1”

等数字依次标出

(13)正文文本：宋体小四号，除各级标题外，每段首行缩进两格。

(14)每幅插图均应有图题(由图号和图名组成)。图题置于图下居中，图题中文

字体为五号楷体。采用中英文对照时，为Times New Roman五号字体，另起一行居中，与中文图题对应。图号按全文出现顺序以阿拉伯数字编排。

图中若有分图时，分图号用(a)、(b)等置于分图之下。引用图应说明出处，在图题右上角加参考文献号。

(15)每个表格应有自己的表号和表题，构成表头。表格按全文出现的顺序以阿

拉伯数字编号，表头以宋体五号加粗，位于表上居中，采用中英文对照时，为Times New Roman五号字体，另起一行居中，与中文表题对应。表头与表格为一整体，不得拆开排写于两页。表内须按规定的符号注明单位。

[表格格式范例]

表1 所罗门学习风格分类

Table 1 type of Soloman learning style

信息感知信息加工信息输入信息理解

活跃型感悟型视觉型序列型

沉思型直觉型言语型综合型

表2 候选扫描项集

SID Item set

1A、C、D

2B、C、E

3A、B、C、E

4B、E

(16)英文题目、摘要、关键词置于全文（含参考文献）后：以“Times New Roman”

字体小四号打印，排印格式与中文题目、摘要、关键词相对应。

(17)参考文献：按论文（设计）中参考文献出现的先后顺序以方括号加数字的

格式连续编号，将序号标于文本右上角，如“陈X X教授对此作了研究，其数学模型为……[1]”。序号与文后参考文献信息一一对应。一本著作在论文中多处引用时，应在参考文献中将页码归并到一起集中列于参考文献最后。

(18)参考文献的序号左顶格，并用数字加方括号表示，如[1]，[2]，[3]，…，

应与正文中的指示序号格式一致。每一参考文献条目的最后均以“ . ”结束。[各类参考文献范例]

连续出版物（期刊）[J]:

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专著[M]

[2]刘少奇.论共产党员的修养[M](1982年版).北京:人民出版社,1982,79～81.论文集[C]

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学位论文[D]

[4]李必成.论我党在抗战时期的民主党派政策[D].北京：北京国家图书馆，2001.报纸文章[N]

[5]谢希德.创造学习的新思路[N].人民日报,1998-12-25(10).

报告[R]

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英文文献

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