大连理工大学泛函分析复习题与答案

泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）

此为答案 复习题在后面

1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵

2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有

λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流

形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0

的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：

（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)

（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：

设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }T

d 2(x ，y)=(

21

||n

i

i

i x y =-∑)

1/2

d 1(x ，y)=

1

||n

i

i

i x y =-∑

d p (x ，y) = (

1

||

n

p

i

i

i x y =-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i n

x y ≤≤-

6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作

0lim n

n x

x -->∞

=，

或简单地记作x n →x 0

7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数

（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E

8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞

n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。

9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。

10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a ，b ）为定义在(a ，b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a ，b ）， 2|()|b

a

f t d t

?

＜∞。

当L 2

（a ，b ）中内积的定义为（f ，g ）=_____

()()b

a

f t

g t dt ?

(其中f(t)，g(t)∈L 2（a ，b ）)时其

为Hilbert 空间。

★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ，

若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。

13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||，||x||≠0。直观的理解就是||x||的最大放大率。 ★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E →E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。 15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。 无界算子：设算子T ：C 1[0，1]→C[0，1]定义为：(Tx)(t)=x '(t)，则T 是线性算子，若视C 1[0，1]为C[0，1]的子空间，则T 是无界的。

16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||→0(n →∞)，则T n 弱收敛于T 。

17、L(X ，Y)是BANACH 空间。

*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X →X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。 设集合Q ?D(F)，如果存在常数q ∈(0，1)使得对任何x '，x ''∈Q ，有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||，称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。

压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n )，n=0，1，2，…，则{x n }∈Q ，x n →x *，而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。

19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D →R ，如果f 满足：对任何α，β∈R ，x ，y ∈D ，f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)，则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X →R 的算子为泛函。泛函f 的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。

20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。

21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }?X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有

0li m ()()n n f x f x ->∞

=，则称

{x n }弱收敛于x 0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。 22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000

()()

lim

t f x th f x t

->+-存在，则称f(x)在x 0处对方向h 存在

GA TEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。 23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。令0()(),t f x th φ=+则

'00)

()(0)

(0)lim

(,)t t f x h t

φφφδ->-==。

24、''

'

0x x

d g g dt -

=

25、应变能密度：0

()()ij

kl kl ij ij

W d εεσ

εε=

?::

应变余能密度：0

()ij

ij ij c ij

W d σε

σσ=

?::

其关

系如下图所示： σ

26的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集27、,,1

[()](),()2i ij i i i ij i j j i V V S u x W dV f u dV P u ds u u σπεε-

=

--=+???，其中[()]u x π为系

统的总势能，()ij V W dV ε?

为应变能，后两项为外力势能，f i 为体积力分量，i P -

为给定S σ边

界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(i i u u -

= on S u )和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u π最小。其基本的未知函数是位移场u i ，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ij i j j i u u ε=+。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：

i i u u -

= on u S 。

推导与证明过程如下：

把Π取一阶变分： δΠ=()ij i i i i ij i i i i V

V

s V V s ij

W

W dV f u dV p u ds dV f u dV P u ds σ

σ

δ

εδδδδεδδε?--=--??

???

?? 其中：

,,,,,,,(1/21/2)1/21/2[()]ij ij ij ij i j j i V V V ij ij i j ij j i ij i j ij i j ij j i V

V

V

V

W

dV dV u u dV u dV u dV u dV u u dV

δεσδεσδδεσδσδσδσδσδ?==+?=+==-???????

而

,()

()u

ij

i j

ij i j ij j i ij j i V

s

s s u dV u n ds n u ds n u ds σ

σδσδσδσδ==+????

由于在s u 上i i u u =为已知，则u

ij j i s n u ds σδ?

=0 所以

δΠ=

,ij j i ij j i i i i i s V

V

s n u ds u dV f u dV p u ds σ

σ

σδσδδδδ---?

??? 由δΠ=0得

,0ij j i f σ+= on Ω ij j i n p σ= on u S

即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是Π的最小值： 设正确解是u i ，，其它满足位移边界条件的容许位移是u i *，则u i *=u i ，+δu i ，则 εij *=εij +δεij ，由此得到：

Π*=Π+δΠ+δ2Π 其中δΠ=0，δ2Π=()ij

V

W dV δε

?≥0，所以Π*≥Π，则极小值即是

最小值。证明完毕。 28、系统的总余能()()u

c c

ij

i ij j V

s W dV u n ds σσ

σ∏=

-??，其中第一项为系统的应变余能，

第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ij j i f σ+= in Ω和ij j i n p σ= on

u S 的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。

其基本未知函数是应力场ij σ，对其要求为

,0ij j i f σ+= in Ω ij j i n p σ= on u S

证明如下：

对()c σ∏取一阶变分：

()()u

ij c ij i ij j V

s ij

W dV u n ds σδσδσδσσ?∏=-??

?，其中

,,,,,1/2()()c

ij ij ij i j j i ij i j ij i ij j i ij j V V V V V V ij W dV dV u u dV u dV u dV u dV δσεδσδσδσδσδσσ?==+==-???????

由高斯定理可知：

,()i ij j i ij j V

s

u dV u n ds δσδσ=?

? 在边界面S σ上，i j j i

n p σ=是已知的，所以0ij j i n P δσδ==，则,()u

i ij j i ij j V

s u dV u n ds δσδσ=??

同理，由于,0ij j i f σ+=，其中f I 是给定的，所以在Ω内，,ij j δσ=0。由以上推导可得：

()()u

c i i ij j s u u n ds δσδσ∏=-?，由极值条件()c δσ∏=0，得i i u u =，在u S 上。这就说明了

()c σ∏取得极值时的ij σ既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是

正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值： 设外力已知边界条件下的应力分量为*

ij σ，*

ij ij ij σσδσ=+

**()()()()u

u

c c ij i ij j c ij ij i ij ij j V

s V

s W dV u n ds W dV u n ds

σσσσδσσδσ∏=?-=?+-+????

*2()()()()c c c c σσδσδσ∏=∏+∏+∏，其中2()()0c c ij V

W dV δσδσ∏=≥?，所以

()c σ∏≤*()c σ∏，所以这个极小值是最小值。证明完毕。

29、Hellinger-Reissner 混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。 证明：构造余能泛函：

,()()()u

c ij i ij j i ij j i i ij j i V

s V

s W dV u n ds f dV n P dV σ

σσασβσ∏=-+++-????

变分得：

,,,()()()()()u

ij j i j ij ij j i i i i ij i ij j i i i ij j V

V

s s s dV f dV dS n P dS u n ds

σ

σ

δεαδσσδαβαδσδβσαδσ∏=-+++++---????? 依ij σ的对称性，得,,,1/2()i j ij i j j i ij αδσααδσ=+。则

,,,,,()[1/2()]ij j i j ij ij j i j j i ij V

V

dV dV εαδσεααδσ-=-+?

?

由δ∏=0的驻值条件可得：

,,,1/2()ij j i j j i εαα=+ ,0i j j i f σ+= in Ω

i i βα+=0 ij j i n P σ-=0 on s σ

i i u α- on u s

取i i u α=，i i u β=-，则余能泛函变为下面形式：

*,()()()u

c ij ij j i i i ij j ij j i i V

s s W f u dV u n ds n P u dV σ

σσσσ∏=++---???，

由以上计算过程可知，由泛函*

∏的驻值条件给出的,ij i u σ必定满足平衡方程，应力应变关系，应变位移关系，外力和位移的边界条件，所以它们是正确解，是真实的应力场和位移场。可以证明，当以

u i *=u i ，+δu i 和*

ij ij ij σσδσ=+代入以上泛函，得**∏，**∏≥*

∏，即真实的位移场和应

力场使余能泛函取得最小值。

复习题

（1） 所有n n ?矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2） 什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？

（3） 什么是线性流形？

（4） 什么是线性空间中的凸集？

（5） 如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么

条件？试给出几个在n 维欧几里德空间上常用的距离定义 （6） 距离空间),(d X 上的收敛是如何定义的？

（7） 线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？

（8） 什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9） 有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10） 什么是希尔伯特空间？

（11） ),(2

b a L 空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空

间？

（12） 什么是算子？为什么要求算子T 的定义域)(T D 是一个子空间？

（13） 算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14） 线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15） 什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16） 算子的强收敛是如何定义的？

（17） 设X 为一个线性赋范空间，而Y 为一个Banach 空间。那么从X 到Y 的线性算子

所构成的空间),(Y X L 是否构成一个Banach 空间？

（18） 什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19） 什么是泛函？什么是泛函的范数？

（20） 什么是线性赋泛空间X 的共轭空间？线性赋泛空间X 的共轭空间是否总是完备

的？

（21） 什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22） 什么是的Gateaux 微分？

（23） 什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24） 形如dt t x t x t g t x J b

a

))(),(,())(('?

=

的泛函，其对应的Euler-Lagrange 方程是什

么？

（25） 什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。 （26） 有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数

（27） 什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知

函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。

（28） 什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知

函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。

（29） 什么是Hellinger-Reissner 混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位

移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。