微分方程公式运用表

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一、 一阶微分方程 判断特征：

(,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx

=（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）：

()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。 类型二：()()dy P x y Q x dx

+=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -??=+? 类型三：

(,)(,)dy f x y f tx ty dx

==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x

=?令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx

+（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=?类型二 二、 可降阶的高阶微分方程

类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx

-=?

=?令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =?=?令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy

=?==??令类型二 三、线性微分方程

类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x

则：1122()()()y x c y x c y x =+

类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程） 解法（特征方程法）：22

1,2402p p q p q λλλ-±-++=?= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ?=->?≠?=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ?=?==?=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ?

（1）()()x m f x P x e α= 型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x

0()()12k x p m k y x x e Q x k k αααα=???==??=?

不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根，

其中令1()m m m Q x Ax Bx -=++ ，将()p y x 带入方程求出A,B,C 3()()p y y x y x ?=+

（2）[]()()cos ()sin x m l f x e P x x P x x αββ=+型：先找出对应齐次微分方程的

通解3()y x

[]{}max ,()()()()cos ()sin 0

1k x n

n p n n n m l Q x R x y x x e Q x x R x x i k i k αββαβαβ=????=+?±=??±=?

与是待定的n 次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根, 利用待定系数求出()p y x ，则：3()()p y y x y x =+