2021年高考数学总复习同步练习：几何概型
2021年高考数学总复习同步练习：几何概型
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()
A.
7
10 B.
5
8 C.
3
8 D.
3
10
B[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
40－15
40＝
5
8，故选B.]
2．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤
1
2”发生的概率为() A.
3
4 B.
2
3 C.
1
2 D.
1
3
D[x∈??
?
?
?
?
0，
π
6∪??
?
?
?
?
5π
6，π时，sin x≤
1
2，故概率为
π
3
π＝
1
3.]
3．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是()
A.
1
3 B.
2
3 C.
1
2 D.
1
6
C[由f(x0)≤0可得－1≤x0≤2，所以D＝3－(－3)＝6，d＝2－(－1)＝3，故由几何概型的计算公式可得所求概率为P＝
d
D＝
1
2，故选C.]
4．如图，圆O的半径为5，弦AB的长为8，OM⊥AB，交AB于点N，向圆O内随机投入一点，若圆周率π按3计算，则该点恰好落在阴影部分的概率约为()
A.1225
B.115
C.425
D.415
C [由题意得OA ＝5，AN ＝12AB ＝4，∴ON ＝3，∴阴影部分的面积S 1＝1
2×8×3＝12，又圆的面积S ＝πr 2＝25π，所以该点落在阴影部分的概率为P ＝S 1
S ＝1225π≈4
25，故选C.]
5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A.π
8 B.π16 C ．1－π
8
D ．1－π
16
C [设黑色小圆半径为r ，则黑色大圆半径为2r ，由题意知8r ＝8，所以r ＝1，又正方形内切圆的半径为4，则阴影部分的面积为S 阴影＝82－16π＋4×π×12＋π×22＝64－8π，因此所求概率为P ＝64－8π64＝1－π
8，故选C.]
6．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.13
B.23
C.34
D.14
B [设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝
V 半球V 圆柱
＝
2π
3×1
3
π×12×2＝1 3.
故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－1
3＝
2
3.]
7．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()
A.1
4 B.
1
2 C.
2
3 D.
3
4
A[依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影
S正方形
＝
1
2×
1
2×1
12＝
1
4.]
二、填空题
8．在区间[－3,5]上随机取一个实数a，则使函数f(x)＝x2＋4x＋a无零点的概率为．
1
8[∵函数f(x)＝x
2＋4x＋a无零点，∴Δ＝42－4a＜0，即a＞4.即a∈(4,5)，区间长度为1.∵在区间[－3,5]上随机取一个实数a，且区间[－3,5]的长度为8，
∴所求事件的概率为1 8.]
9．一只蜜蜂在一个半径为3的球O内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．
8
27[由题意得蜜蜂“安全飞行”的空间是以O为球心，2为半径的球，则
由几何概型的概率公式，得蜜蜂“安全飞行”的概率P＝4
3×π×2
3
4
3×π×3
3
＝
8
27.]
10．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM ＜30°的概率为．
2
3[如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝
∠CAM0的度数
∠CAB的度数
＝
30°
45°＝
2
3.
]
1．(2019·济南模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()
A.
π
6B．1－
π
6
C.
π
4D．1－
π
4
B[S Rt△ABC＝
1
2×2×3＝3，S空白＝
1
2×π×1
2＝
π
2，所求概率P＝1－
π
2
3＝1－
π
6，故选B.]
2．在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则△PBD的面积大于
S
3的概率为()
A.
1
9 B.
2
9
C.
1
3 D.
4
9
A[如图，平行四边形ABCD的面积为S，则△BCD的面积为
S
2，当△PBD 的面积大于
S
3时，
DE
DC＝
2
3，则
EC
DC＝
1
3.∴
S△EFC
S△DBC
＝
1
9.∴在面积为S的平行四边形ABCD
内任取一点P，则△PBD的面积大于
S
3的概率为
1
9，故选A.]
3．已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为．
1
4[由图形的对称性知，S阴影＝
1
4S圆，
从而所求概率P＝
S阴影
S圆
＝
1
4.]
4．(2019·宁乡模拟)函数f(x)＝
?
?
?1－x2，x≤1
(x－1)2，x＞1
，且a∈[0,1]，b∈(1,2]，则满足f(a)≥f(b)的概率是．
π
4[依题意，所有试验结果构成的区域为a∈[0,1]，b∈(1,2]的正方形区域，面积为1，满足f(a)≥f(b)的区域即满足a2＋(b－1)2≤1的区域为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为
1
4个圆，所以满足f(a)≥f(b)的概率是：P＝
S扇形
S正方形
＝
1
4π×1
2
1×1
＝
π
4.
]
1．若a∈[1,6]，则函数y＝x2＋a
x在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是()
A.1
5 B.
2
5 C.
3
5 D.
4
5
C[因为函数y＝x2＋a
x＝x＋
a
x在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)
上单调递增，而1≤a≤6，所以1≤a≤ 6.要使函数y＝x2＋a
x在区间[2，＋∞)
上单调递增，则a≤2，即1≤a≤4，所以P(1≤a≤4)＝4－1
6－1
＝
3
5.故选C.]
2．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为．(用数字作答)．
9
32[设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y，(x，y)可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S＝20×20＝400，
则小张比小王至少早5分钟到校为事件A＝{x|y－x≥5}，作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，
联立??? y －x ＝5，y ＝50得C (45,50)，联立???
y －x ＝5，x ＝30
得B (30,35)，
则S △ABC ＝1
2×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为1
2×15×1520×20＝932.]