导数大题答题模板
利用导数研究函数的零点与不等式答题模板
函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与难点．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的零点或方程的根，求参数的范围及函数的零点、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等
一、利用导数研究函数的零点问题
1．设函数f (x )＝ln x ＋m x
，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；
(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3
零点的个数． 解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x
， 定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝
x －e x 2
， 由f ′(x )＝0，得x ＝e.
所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；
当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，
所以当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e
＝2， 所以f (x )的极小值为2.
(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13
x 3＋x (x >0)． 设φ(x )＝－13
x 3＋x (x >0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；
当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．
所以x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，
因此x ＝1也是φ(x )的最大值点．
所以φ(x )的最大值为φ(1)＝23
. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，
可知①当m >23
时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23
时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0 时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23 时，函数g (x )无零点； 当m ＝23 或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0 时，函数g (x )有两个零点． 2．已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性； (2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围． [解] (1)F (x )＝ax 2－2ln x ， 其定义域为(0，＋∞)， 所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x (x >0)． ①当a >0时，由ax 2－1>0，得x > 1a ； 由ax 2－1<0，得0 ???0，1a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减． 导数大题练习 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1-成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥ +恒成立，求实数k 的取值范围． 导数大题一、二问专练 一、求单调性解题步骤： （1）求函数()f x 的定义域 （2）求函数的导函数()f x '，并化简； （3）令()0f x '=，求出所有的根，并检查根是否在定义域内。（注意此处是否引出讨论）．．．．．．．．．．．． （讨论：1）讨论的对象，即讨论哪个字母参数 2）讨论的引发，即为何讨论 3）讨论的范围，即讨论中要做到“不重不漏”） （4）列表：注意定义域的划分、()f x '正负号的确定 （5）根据列表情况作出答案 二、导数难点： 难点一：如何讨论： （1）判断()0f x '=是否有根（可通过判别式的正负来确定），如果无法确定，引发讨论； （2） 求完根后，比较()0f x '=两根的大小，如果无法确定，引发讨论。 （3在填表时确定()f x '的正负或解不等式()0f x '>过程中，引发讨论。 难点二、()f x '正负的确定 (1) 当()f x '或()f x '式中未确定部分是一次或二次函数时，画函数图象草图来确定正负号； （2）()f x '为其他函数时，由()0f x '>的解集来确定()f x '的正负。 （3）若()0f x '=无根或重根，不必列表，直接判断导函数的正负即可。 题型一：讨论()0f x '=是否有根型 （1）若导数是二次函数，需判断判别式?的正负 （2）若导数是一次函数y kx b =+，需判断k 的正负 1、设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点 2．（08文）已知函数32 ()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间 (18) （本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2 -=(R a ∈)．（练习） （Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （2）求()f x 的单调区间； 18.设函数()0)(2>+=a b x ax x f 。 （1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求b a ,的值； （2）求函数()f x 的单调区间 （3）若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围 3（2010东城一摸试卷）已知函数1()ln f x a x x =-，a ∈R 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数解答题归纳总结 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能 力． （Ⅰ）()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? （Ⅱ）∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时，()' 0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()' 0f x x a =?=± ， 当() ,x a ∈-∞-时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 导数练习题（Ｂ)答案 １.（本题满分１2分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值; （II)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数 ) (x f 的解析式; （III ）在（II)的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的 图象有三 个不同的交点，求m 的取值范围． ２．（本小题满分１２分) 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （Ｉ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3 若函数]2 )('[3 1)(23m x f x x x g ++=在区间 (1，3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3．(本小题满分1４分) 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I ）求实数a 的取值范围； (I Ｉ)若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式; （I ＩI)对于(I Ｉ)中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . ４．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （Ｉ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >; （II)讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. ５.(本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I)当1k =时,求函数()f x 的最大值; （I Ｉ)若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．(本小题满分１2分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e )． （I)求实数a 的值; (II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7．(本小题满分14分) 导数大题方法总结 一总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。 二主流题型及其方法 *（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是： 先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下 导数大题专题训练 2g(x)－ax，＝－x1．已知f(x)＝xlnx的取值范围；，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数2，－ a(Ⅰ)对一切x∈(0＞1lnx＋＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＝－(Ⅱ)当a成立． 的单调区垂直，求函数y=f (x)f (1)）处的切线与直线y=x+2P.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点（1，2、已知函数a=1当R）.g (x)=f (x)+x―b（b∈成立，试求间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)a的取值范围；（Ⅲ）记1―.，e]上有两个零点，求实数b的取值范围在区间时，函数g (x)[e a=0，求函数f (x)[1，e]（Ⅰ）若af (x)=lnx+(x3．设函数－a)，∈R.在2上的最小值；在 上存在单调递增区间，试求实数（Ⅱ）若函数f (x)a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点. 、已知函数.4设，若对任意，均存在，使得，求的)Ⅲ(求的单调区间；)Ⅱ(若曲线在和处的切线互相平行，求的值；)Ⅰ( 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值. . 由于因此， ②当，，因此上单调递增，所以， ……9分 (Ⅲ)证明：问题等价于证明 由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得， 设，则，易知，当且仅当时取到， 但从而可知对一切，都有成立. 2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2） （Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立， 所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是. （Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函－1.所以b的取值范围是[e，e]上有两个零点，所以.解得.数.又因为函数在区间，e]上是增函数，∞）. 因为，所以f (x)在[103．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（，+ e]上的最小值为1.所以f (x)在[1，f (x)当x=1时，取得最小值f (1)=1.2注意到抛. ，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立2ax+1（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x―2物线g (x)=2x―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以， 所以实数a的取值范围是. 所以.又因为x＞0，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x―2ax+1＞0成立.解法二： . 2， 高中导数大题专题复习 一、导数的基本应用 （一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法 【例题】（2008北京理18/22）已知函数2 2()(1)x b f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的 单调区间． 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】（2009北京文18/22）设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 【例题】（2009天津理20/22）已知函数2 2 ()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈. （II ）当2 3 a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 【例题】（2008福建文21/22）已知函数3 2 ()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值. 【例题】（2009安徽文21/21）已知函数2 ()1ln f x x a x x =-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性; (II)设a=3，求()f x 在区间[1，2 e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围 基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】（2008湖北文17/21）已知函数3 2 2 ()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值．．．．9． ． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程． 【例题】（2009四川文20/22）已知函数3 2()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1 ()()3 g x f x mx =+ ，若．()g x 的极值存在．．．．．，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-= 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 导数大题 一、知识准备 1、导数定义：x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0' 2、导数的计算： （1）基本初等函数的导数公式： ①若C x f =)(（C 为常数），则0)('=x f ②若a x x f =)(，则1')(-?=a x a x f ③若x x f sin )(=，则x x f cos )('= ④若x x f cos )(=，则x x f sin )('-= ⑤若x e x f =)(，则x e x f =)(' ⑥若x a x f =)(，则a a x f x ln )('= ⑦若x x f ln )(=，则x x f 1)('= . ⑧若x x f a log )(=，则a x x f ln 1)('= （2）导数的运算法则： ①[])()()()('''x g x f x g x f ±=± ②[])()()()()()(''' x g x f x g x f x g x f ?+?=? ③)()()()()()()(2''' x g x g x f x g x f x g x f ?-?=?? ???? （3）复合函数求导：[])())(())(('''x g x g f x g f ?= 3、导数在研究函数中的应用 （1）函数单调性与导数的关系： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间[]b a ,内：①若0)('＞x f ，那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递增 ②若0)('＜x f ，那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递减 （2）函数极值（局部比较大小）与导数的关系： 求函数)(x f y =极值的方法：首先求出当0)(=x f 时的解0x ，若无解则无极值，若有解也不一定有极值，所以要进行以下判断 ①若在0x 左侧0)('＜x f ，右侧0)(' ＞x f ，那么)(0x f 是极小值 ②若在0x 左侧0)('＞x f ，右侧0)('＜x f ，那么)(0x f 是极大值 ②若在0x 左侧和右侧的)('x f 同号，那么)(0x f 不是)(x f 的极值 （3）函数最值（整体比较大小）与导数的关系： 求)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤： 导数大题专题训练 1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切x∈（0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立． 2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围. 3．设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数 f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上 高二数学导数大题练习 (详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23 若函数 ]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(， x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 导数练习题 1．已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求f (x )的解析式； (2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， 由题意可得???? ? f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0， f ′(0)＝c ＝－3， 解得???? ? a ＝1， b ＝0， c ＝－3. 所以f (x )＝x 3 －3x . (2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2 －3， 切线方程为y －(t 3 －3t )＝(3t 2 －3)(x －t )． 又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3 －3t )＝(3t 2 －3)(2－t )，解得m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6. 设g (t )＝－2t 3 ＋6t 2 －6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2 ＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2. 当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表： 作出函数草图(图略)，由图可知： ①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6导数大题练习带的答案解析
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