(甘志国)一类三角形面积比问题
一类三角形面积比问题
甘志国(已发表于 数理化学习(高一二版)，2015(11)：2-3)
定理 在ABC ?中，点P 满足∈=++νμλνμλ,,(0PC PB PA R ,且
)0≠++νμλ，则0≠++νμλ，(::::νμλ=???PAB PCA PBC S S S 当C B P ,,共线时，
约定0=?PBC S ；当A C P ,,共线时，约定0=?PCA S ；当B A P ,,共线时，约定)0=?PAB S .
证明 以射线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图1)，设),(),0,(),0,(w v C u B u A -，得0≠uw .又设),(y x P ，由0=++PC PB PA νμλ得0=++CP BP AP νμλ，所以
)
0,0(),(),(),(=--+-++w y v x y u x y u x νμλ
w y ννμλ=++)( 若0=++νμλ，得0=w ν，因为0≠uw ，所以0=ν，得0==+νμλ. 再由0=++PC PB PA νμλ，得0,0==λλAB ，所以0===νμλ，这与题设0≠++νμλ矛盾！所以0≠++νμλ，得νμλν++=
w y . 又),(w v C ，所以
νμλν++=??ABC PAB S S . 同理，有ν
μλμνμλλ++=++=????ABC PCA ABC PBC S S S S ,. 所以νμλ::::=???PAB PCA PBC S S S .定理获证.
图1
注 有很多文献(比如[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了∈νμλ,,R +.
推论1 若点P 在ABC ?内，则=++???S S S APB CPA BPC 0.
推论2 (1)若点G 是ABC ?的重心，则=++0；
(2)若点I 是ABC ?的内心，则=++c b a 0；
(3)若点O 是锐角ABC ?的外心，则=++OC C OB B OA A 2sin 2sin 2sin 0；
(4)若点H 是锐角ABC ?的垂心，则=++HC C HB B HA A tan tan tan 0.
证明 只证(4).
如图2，设N AC BH M AB CH =?=?,，得
B
A B BM HBM BM CM HM S S ABC AHB tan tan 1tan tan =∠==?? 同理，有C
B S S A
C S S ABC BHC ABC CHA tan tan 1,tan tan 1==????. 所以C B A S S S AHB CHA BHC tan :tan :tan ::=???，再由推论1可得欲证.
图2
2008年南京大学自主招生试题第三题 设O 是ABC ?内任意一点，证明：=++???S S S AOB COA BOC 0.
(显然，该题就是推论1.)
2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题 设M 为ABC ?内一点，且5
141+=，则ABM ?与ABC ?的面积之比为( ) A.51 B.32 C.52 D.4
1 解 A.可得0MC AB MA AC AB MA 45114520++==++= ，由推论1，得ABM ?与ABC ?的面积之比为5
145114=++.
参考文献
1 吕辉.三角形面积比问题的解法探究[J].中学生数学，2010(4上)：21
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =
初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
相似三角形经典大题(含答案)
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
初中数学九年级上册相似三角形的周长和面积之比专项练习题
第2课时 相似三角形的周长和面积之比 1、若△ABC ∽△DEF,△ABC 的面积为81cm 2,△DEF 的面积为36cm 2 ,且AB=12cm,则DE= cm 2、如图,ΔABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG = _________. 3、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面 上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡 离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米2 4、如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a . （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积. （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 5、如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1=??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；
A B C Q M D N P E 6、在△ABC 中，AE ∶EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥BC 交CE 的延长线于D ，求 S △AEF ∶S △BCE 的值。 7、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 8、如图,在△ABC 中,DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，求△ABC 的面积。
最新初中数学相似三角形-难题-易错题(附详解)
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
相似三角形的性质在面积比问题中的应用
- 1 - 相似三角形的性质在面积比问题中的应用 在学习完相似三角形的性质这一节的内容后，我们都知道相似三角形有这样一条性质——“相似三角形的面积比等于相似比的平方。”而三角形的面积问题可以分成以下几种：（1）任意三角形的面积比等于底与高的积的比；（2）有一边相等的两个三角形的面积比等于这边上的高的比；（3）高相等的两个三角形的面积比等于底边的长度比；（4）等底等高（或全等）的两个三角形面积相等；（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方。合理而巧妙的运用这几种情况就可以很好地解决三角形的面积比问题。 例如，如图，D 为△ABC 中BC 边上一点，已知点 1G 与点 2G 分别为△ABD 与△ACD 的重心，已知S △ABC =36，求S △AG G 。 解：延长1DG 、2DG 交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF 。 E 、 F 为AB 、AC 的中点EF ?∥?BC 21S △DEF =S △BEF 4 1 =S △ABC 21213 2G G DF DG DE DG ?==∥?EF △21G EG ∽△DEF ? 2 32??? ??= ?S △DG G 4 1 94?=S △ABC S △ABC 36= 分析：一开始拿到此题，似乎感觉无从着手，观察图形可以发现△21G DG 与△ABC 是相似的，可是仅凭已知条件，无法直接证得三角形相似，更无法得出相似比。而此时条件“点1G 与点2G 分别为△ABD 与△ACD 的重心”就成了解题的关键。而我们都知道“三角形的重心就是三角形三条边上的中线的交点”，因此就想到利用三角形的重心的性质（三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍）添加一个辅助三角形——△DEF ，利用它来传递了三角形的面积比而得出结果。 又如，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 为其一条对角线且∠ACD =∠B ，已知AB =15，CD =10，DA =8，求BC 的长。 解法一： 1 2 A B D E F G 1 G 2 1G 、2G 为重心? S △DEF S △EG G 1 2 1 2 ? S △EG G 4= 1 2 A B C D 1 2 AC 810∠ACD =∠B AD ∥BC 21∠=∠?
椭圆中焦点三角形的性质含答案
焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
2019中考相似三角形面积比公式推论
2019xx相似三角形面积比公式推论 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 相似三角形面积比 【一相似三角形】相似三角形知识放送： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形性质定理： 相似三角形的对应角相等。 相似三角形的对应边成比例。 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 相似三角形面积比判定定理推论 推论一： 顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二： 腰和底对应成比例的两个----------- 精选公文范文---------- 1等腰三角形相似。 推论三： 有一个锐角相等的两个xx相似。 推论四：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五： 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六： 如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 相似三角形面积比性质 1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 相似三角形内切圆、夕卜接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外 -------- 精选公文范文--------- 2接圆面积比是相似比的平方 6. 若a: b =b: c,即b的平方=ac则b叫做a,c的比例中项 /d=a/b 等同于ad=bc. 8.必须是在同一平面内的三角形里相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形周长的比等于相似比各位读友大家好，此文档由网络收集而 来，欢迎您下载，谢谢---------- 精选公文范文 --------- 3
相似三角形难题集锦
相似三角形 1.如图，在△中，∠90°，3，4，过点B作射线1∥．动点D从点A出发沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒3 个单位的速度运动．过点D作⊥于H，过点E作⊥交射线1于F，G 是中点，连接．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，，并求出此时的长度；（2）当△与△相似时， 求t的值． 2.如图，在△中，＝90°，6m，8m，动点P以2的速度从A点出 发，沿向点C移动．同时，动点Q以1的速度从C点出发，沿向点 B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当2.5s时，求△的面积；②求△的面积S（平方米）关于时 间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在△中，＝90°，＝6，＝8，点D在边上运动，平分 交边于点E，⊥，垂足为M，⊥，垂足为N． （1）当＝时，求证：∥；（2）探究：为何值时，△与△相似？ 4.如图所示，在△中，＝＝20，＝30，点P从A点出发，沿着以每秒4的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒3的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，∥？ （2）△与△能否相似？若能，求出的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从A开始向点B以2的速度移动；点Q沿边从点D 开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似？ 6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数的图 象与线段的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△中，，4，2，以为边在C点的异侧作△，使△为等腰直角 三角形，求线段的长． 8.在△中，，∠90°，点M是上的一点，点N是上的一点，沿着直 线折叠，使得点C恰好落在边上的P点．求证：：：． 9.如图，在直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线翻折B点落在D点的位置，且交 y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D. 10..已知，如图，直线﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以为短边在第一象限做一个矩形，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。
椭圆内接三角形的最大面积
椭圆内接三角形的最大面积 最早接触到这个题目时是在一节数学课上，有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，数学老师提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下： 首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB 在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ， 选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC 面积最大。 平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一 个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是 最大面积。 反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的 弦ABC ，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。 证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。 12222=+b y a x 两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=y a x b 22- 所以0 202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-02 02则 y=m x y a x b +-0 202 （1） 12222=+b y a x （2） 1220220 =+b y a x （3） （1）（2）联立得0)(22220 0222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**12 1)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-?+=? 而
《-相似三角形》单元测试题(含答案)
《相似三角形》单元测试题 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 1. 下列各组图形有可能不相似的是( ). (A)各有一个角是50°的两个等腰三角形 (B)各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形 2. 如图，D 是⊿ABC 的边AB 上一点，在条件（1）△ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD·AB，（3） AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝△ACB 中，一定使⊿ABC ∽⊿ACD 的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ） （A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC 5.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边 形的相似比为( ) A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16 6. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）。 A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形 7. 若⊿ABC ∽⊿C B A ''，∠A=40°, ∠B=110°,则∠C '=( ) A. 40° B110° C70° D30° 8.如图，在ΔABC 中，AB=30，BC=24，CA=27， AE=EF=FB ， EG ∥FD ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ，则图中阴影部分的三个三角形的周 长之和为（ ） A 、70 B 、75 C 、81 D 、80 二、细心填一填 （每小题3分，共24分） 9.如图，在△ABC 中，△BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ∥AD 交CB 延长线于点E ，则⊿BAE 相似于______．
相似三角形的面积问题题型总结+答案
相似三角形的有关面积问题 复习引入： 求三角形面积常用方法 1、面积公式： 2、等高法： 3、相似三角形： 【精选例题】 【例题】如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3，则S △APE:S △CPD=______. 解答：4:25。 【例题】如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。 解答：∵平行四边形ABCD ，∴AB//CD ，AD//BC ∴△BME ∽△DAE ，△DHF ∽△BMF ∴BM ：DA=BE ：DE,DH ：BM=DF ：BF 又 ∵BE=EF=FD,所以BE ：DE=DF ：BF=1：2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=4 3AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD= 8 3。 变式：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______. 解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD ， ∴∠EAF=∠DCF ，∠AEF=∠CDF ，∴△AEF ∽△CDF ， S ΔABD S ΔACD =a b h b a H D C B A h a S=1 2 ah E S ΔADE S ΔABC = a 2 b 2 b a D C B A P E D C B A
M 1F 1E 1M E F A B C ∴△AEF 的周长：△CDF 的周长=AE ：CD=2：5. 变式：如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3，△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________. 答案∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB ， ∵DE:AB=2:3，∴DE:AE=2:5，∴S △DEF:S △AEB=4:25， ∵△BEF 的面积为4，∴S △AEB=25， ∴S 四边形ABFD=S △AEB?S △DEF=21， ∵AD=CB ，DE:AD=2:3，∴DEBC=23， ∵AB//CD ，∴△BEF ∽△CDF ，∴S △DEF:S △CBF=4:9，∴S △CBF=9， ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30 【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____. 答案:设S △AEE 1=x ∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似) ∴ 2 21 1AF AE AFF S AEE S =?? (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=??AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3 同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7 ∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7 变式：如图，在△ABC 中，FG//DE//AB ，且AF=FG=CG 。设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1，S 2和S 3，求S 1：S 2：S 3。 解答：∵F 、G 为AC 边上的三等分点,D 、E 为AB 边上的三等分点 ∴ AF ：AG ：AC=1：2：3 ∵ FD//EG//BC ,∴ S △CFG ：S △CDE ：S △CAB=1：4：9，∴ S1：S2：S3=1：3：5 变式：如图，DE//FG//BC ，设△ABC 被分成的三部分的面积分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 则AD:DF:FB= 。 G F E D A
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略 最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略 一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆 )0(12 22 2 >>=+ b a b y a x 的右焦 点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。 分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解 解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0
《相似三角形的周长与面积》教案
《相似三角形的周长与面积》教案 一、教学目标 1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：相似三角形的性质与运用． 2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 3．难点的突破方法 （1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比； ③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比） （2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是，它们的面积之比不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． （4）讲完性质后，可先安排一组简单的题目让学生巩固，然后再讲例题． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，它紧扣性质，是性质的简单运用，但要注意它是逆用性质“相似三角形周长的比等于相似比”来进行运算的．例2 是教材P53的例6 ，它是通过求相似的过程中，求出相似比，再综合运用两条性质求出其周长与面积的．难度略高于例1．其目的是想让学生能够综合、灵活的运用相似三角形的性质解决问题．
相似三角形中的面积问题
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 学习目标：．结合相似三角形的性质：相似比的平方等于面积比，解决相似三角形的面积问题 通过练习，体会并运用等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比 4、在ABCD 中,AE:BE=2:3，求S △A PE :S △C PD 与 S △A PD ：S △D PC 5.点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S △CDE =4, 求S △ACE 6.如图，CB ∥EF ， S △EBC =9 ,S △CFE =4,求S △ABC 7.体验中考 （1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．请按图示数据填空： 四边形DFCE 的面积S =， △DBF 的面积1S =， △ADE 的面积2S =． 探究发现 （2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．证明2124S S S = 拓展迁移 （3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求□DEFG 的面积，直接写出结果． 三．课堂小结 如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时， BC A BC A ABC S S S 21???==. 请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）： (1)如图2，已知△ABC ，画出一个．． 等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．． )； 变式三 ：如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ ABC =a , 则四边形DFCE 的面积为______________. 学习重点：利用面积比等于相似比的平方及其等高或同高的三角形面积比等于对应底的比求面积 学习难点：找准基本图形解决问题 一、复习引入： 二、例题及变式练习 1、如图,DE ∥BC, ， 则△ADE 与△ABC 的相似比是 __________,面积 之比是_______. △ADE 与四边形DBCE 的面积比是。 2、如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部 分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 求S 1:S 2:S 3 . 3、在ABCD 中,CE:CB=2:3,S △CEF =4, 求ABCD 的面积 变式六：如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD N D C F B E A 变式七：如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1：3，过点E 作 EF ∥BC ，交AC 于点F ， 1 2AD BD =且1 2 AD BD =且 A B C D A B E C A E F B C C B E D A G F C B E D A 图1 D E C B A
圆锥曲线中三角形面积问题
2.已知椭圆2 212 x y +=，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，过点B(0，－2)作直线1BF 交椭圆 于,C D ，求2F CD S ? (9 ) 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为3 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 。（1）求椭圆C 的方程（2 213 x y +=） (2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l ，求AOB ?面积最大值。 ） ()的方程 求直线时当的最大值的条件下求在的面积为记两点、交于与椭圆直线浙江AB ，S AB ，S b k S AOB ，B A y x b kx y 1,2)2(;10,0)1(. 14 07.122 ==<<=?=++= （Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，， 由2214 x b += ，解得12x =±，， 所以121 2 S b x x = - 2b =2211b b +-=≤． 当且仅当b = S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22 14 y kx b x y =+???+=??，，得222 12104k x kbx b ??+++-= ?? ?， 2241k b ?=-+， 11||||AB x x =- 224 k ==+． ②
设O 到AB 的距离为d ，则21||S d AB = = ，又因为d = ，所以22 1b k =+， 代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，23 2 b =，代入①式检验，0?>， 故直线AB 的方程是 22y x = + 或22y x =- 或22y x =-+ ，或22 y x =--． 7.已知方向向量为 ()3 ,1=的直线 l 过点 ()32,0-和椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在过点 () 0,2-E 的直线 m 交椭圆 C 于点M 、N ，满足 ().0tan 1 364为原点O MON ≠= ?若存在，求直线m 的方程；若不存在，请 说明理由. 解：（1）椭圆C 的方程为12 62 2=+y x （2）直线l 的方程为2,3 3233,33233-=--=+=x x y x y ()的面积的最小值求四边形证明点的坐标为设垂足为且两点、的直线交椭圆于过两点、的直线交椭圆于过、的左、右焦点分别为已知椭圆ABCD y x ，y x P P BD AC ，C A F ， D B F F F y x )2(; 12 3:,)1(.,.12 3.32 02 00021212 2<+⊥=+ （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==， 由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2 2 001x y +=， 所以，2222 00021132222 y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程
相似三角形性质及其应用练习题
相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1． 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ） 2． 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3． 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个 三角形的周长为----------，面积是------------- 4． 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ， 则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5． 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ） （A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） （A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值 是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8