运筹学1至6章习题参考复习资料

运筹学1至6章习题参考答案

第1章线性规划

1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．

310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．

【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为

1231231

23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400

150250260310120130,,0

Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤??

≤≤??≤≤?≥?? 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格

及数量如表1－24所示：

【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为

12342567368947910

min 2800212002600223900

0,1,2,,10

j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==?+++≥?

+++≥??

+++≥??+++≥??≥=?∑L （2）余料最少数学模型为

2345681012342567368947910

min 0.50.50.52800

212002*********

0,1,2,,10

j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++?+++≥?

+++≥??

+++≥??+++≥??≥=?L

1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为

（1）

1122334

45566

112

11223

1122334

112233445

11223344556

max300350330340320350360

420360410300340

800

Z x y x y x y x y x y x y

x y x

x y x y x

x y x y x y x

x y x y x y x y x

x y x y x y x y x y x

=-+-+-+-+ -+-+

≤

-+≤

-+-+≤

-+-+-+≤

-+-+-+-+≤

-+-+-+-+-+≤

1122

112233

11223344

1122334455

112233445566

800

200

,0;1,2,,6

j j

x y

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y j

-+≤

?-+-+≤

?-+-+-+≤

-+-+-+-+≤

?-+-+-+-+-+≤

-+-+-+-+-+-+≤

?≥=

（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。

1.4某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；

方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；

方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；

方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．

投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.

数学模型为

1121311223341112112123122131341223

34max 0.20.20.20.50.60.3300001.230000

1.5 1.2300002000015000100000,1,,3;1,4

ij Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++?+≤?

-++≤??--++≤??

≤??≤??≤?≥==??L L

最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z ＝84720

1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。

表1－27

解设x ij 为第i （i ＝1,2,3,4）种成品油配第j (j =1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。总利润：

11121321222334353637444546475() 4.2()3() 1.5()

Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++高级汽油和一般汽油的辛烷值约束

111213212223

801151058011510594,8494x x x x x x x x x x x x ++++≥≤≤++++

航空煤油蒸气压约束

34353637

1.50.60.051x x x x x x x x ++≤++＋＋

一般煤油比例约束

44454647:::10:4:3:1x x x x =

即

4546444546471043,,431

x x x x x x === 半成品油供应量约束

1121122213233444354536463747200010001500120010001000800

x x x x x x x x x x x x x x +≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤ 整理后得到

111213212223343536374445464711121321222321222335363744

4546464max 555 4.2 4.2 4.23333 1.5 1.5 1.5 1.5142111014211104312100.50.40.9504100

3403Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++-++≥-++≤-++≥--≤-=-=-711211222

1323344435453646374702000100015001200100010008000;1,2,3,4;1,2,,7

ij x x x x x x x x x x x x x x x i j ??

???

?????

=??

+≤??+≤??+≤?

+≤??+≤?

+≤??+≤?≥==??L

1.6图解下列线性规划并指出解的形式：

(1) 12

121212max 5228

35,0

Z x x x x x x x x =++≤??≤??

≤??≥?

【解】最优解X ＝（3，2）；最优值Z=19

(2)

12 12

max4

Z x x x x

x x

+≤

?+≥

+≤

?≥

【解】有多重解。最优解X（1）＝（0，5/4）；X（2）＝（3，1/2）最优值

Z=5

(3)

12 12

min32

211

410 27

Z x x x x

x x

=-+

+≤

?-+≤

-≤

?-≤

?≥

【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解

(4)

12 12

min46

0,0

Z x x x x

x x

+≥

?+≤

≤

?≥≥

【解】最优解X＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解

(5) ??????

?≥≤≥≥-+=0

,6322max 2121212

1x x x x x x x x Z

【解】无界解。

(6)

12 12

min25

Z x x x x

x x

+≥

+≤

?≥

【解】无可行解。

1.7 将下列线性规划化为标准形式 (1)123123123123123min 631557432103650,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≥??-+≤??

++≥-??≥≥?无限制

【解】（1）令654'

'3'33,,,x x x x x x -=为松驰变量，则标准形式为

'''

1233

'''12334'''

12335'''

12336'''1233456max 63315574432103665

,,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--+-?++--=?-+-+=??---++=??≥? (2) 123

123112123min 935|674|205880,0,0

Z x x x x x x x x x x x x =-++-≤??≥??

+=-??≥≥≥? 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为

1231234123516

123456max 9356742067420

588

,,,,,0

Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=??--++=??-=??--=??≥? (3)121121

2max 2315

10,0

Z x x x x x x x =+≤≤??

-+=-??≥≥?

【解】方法1：

1314121234max 231

51,,,0

Z x x x x x x x x x x x x =+-=??+=??

-=??≥? 方法2：令1

11111,1,514x x x x x '''=-+≤-=有＝ 1

212

max 2(1)34(1)1,0Z x x x x x x x '=++'≤??

'-++=-??≥?

则标准型为

121

2123

max 22340,,0Z x x x x x x x x x '=++'+=??

'-+=??'≥?

(4) 12123123123123123max min(34,)

2304215965,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤??

-+≥??

++≥-??≥?

无约束、

【解】令1212311

134,,y x x y x x x x x x '''≤+≤++=-，线性规划模型变为

12112311231

12311231

123max 3()42304()2159()65,,0Z y

y x x x y x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x ='''≤-+??'''≤-++??'''-++≤??

'''--+≥??'''-++≥-?'''≥??、标准型为

124112351123611237112381

12345678max 33400

230442159965,,,,,,,,0Z y

y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ='''-+-+=??'''-+--+=??'''-+++=??

'''--+-=??'''-+--+=?'''≥??

1.8 设线性规划

12123124

max 522240

42600,1,,4j

Z x x x x x x x x x j =+?++=?

-+=??≥=?L 取基1221204021B B ????

=????

、＝，

【解】B 1：x 1、x 3为基变量，x 2、x 4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T ，B 1是可行基。B 2：x 2、x 4是基变量，x 1、x 3为非基变量，基本解X =（0，20，0，100）T ，B 2是可行基。

1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．

(1)12121212

max 3222312,0Z x x x x x x x x =+-+≤??+≤??≥?

【解】图解法