概率摸球问题
高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》
摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。
下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。
引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，
求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；
（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；
（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。
总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即
（1）一次性摸取：
摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。
解决的方法：用组合的思想去解决。
（2）逐次、每次不放回摸取:
摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。
解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。
（3）逐次、每次有放回摸取:
摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。
解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。
为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：
例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。
例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。
例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？
总结：（1）解决此类问题，审题时注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐个）”等关键词，借助于它们可以辨别该问题属于哪一类题型，若没有这些词汇更要注意正确理解题意，以便采取恰当的解题思想和方法。
（2）排列组合是解决摸球问题的基本功，应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力。
例4．袋中有10个球,其中7个红球3个白球, ,则
（1）从中取2个，先摸到红球，后摸到白球的概率是
11
73
2
10
7
30
C C
P
A
==
（2）从中取2个，后一个摸到的是红球的概率是1127372102140
C C A P A +== 例5. 已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则
(1) 他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为21373107120
A A P A ==; (2) 他三次内取得卡口灯泡的概率为1112173737123101010119120
A A A A A P A A A =++= 例6 :（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.
解：（I ）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，由题意
12212626389()14
C C C C P A C +== （II ）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，则
2126383()28
C C P B C == （III ）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为
D ，由题意，C 与D 是对立事件，因为 121436383()7
C C C P
D C == 所以 ()()341177
P C P D ∴=-=-=
例7．某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．
解:（1）231999;101010P ????=?= ? ?????
（2）方法一：22222191191811826210101010101010101000
P ????=?+?+?+?= ? ????? 方法二：2119119262221010101010101000
P =+??-???= 方法三：291199262110101010101000P ??=-
??+?= ???