初中数学反比例函数技巧及练习题含答案

初中数学反比例函数技巧及练习题含答案

一、选择题

1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x

=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．

【详解】

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，

∴a ＜0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，

∴c=0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，

∴a ，b 同号，

∴b ＜0，

∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，

反比例函数y=

b x

图象分布在第二、四象限， 故选D ．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

2．如图，反比例函数y ＝2x

的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】

【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．

【详解】

解：Q 反比例函数2y x

=

， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，

2AB AD ∴=．

∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===?=g g ．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．

3．如图，点P 是反比例函数(0)k y k x

=

≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ?的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）

A ．5-

B ．5

C ． 2.5-

D ．2. 5

【答案】A

【分析】

利用反比例函数k的几何意义得到1

2

|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确

定k的值．

【详解】

解：∵△POM的面积等于2.5，

∴1

2

|k|=2.5，

而k＜0，∴k=-5，故选：A．【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k

x

图象中任取一点，过这一个

点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．

4．对于反比例函数

2

y

x

，下列说法不正确的是（）

A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小

【答案】C

【解析】

【详解】

由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，

故选C.

考点：反比例函数

【点睛】

本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化

5．如图直线y＝mx与双曲线y=k

x

交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若

S△AMB＝2，则k的值是()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．

【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝1

2

|k|＝1，

则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y＝k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

6．如图，A，B是反比例函数y=4

x

在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标

分别是2和4，则△OAB的面积是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k

的几何意义得出S△AOC=S△BOD=1

2

×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出

S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=1

2

（BD+AC）?CD=

1

2

×（1+2）×2=3，从而

得出S △AOB =3．

【详解】∵A ，B 是反比例函数y=4x 在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，

∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1），

如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， 则S △AOC =S △BOD =12

×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，

∴S △AOB =S 梯形ABDC ，

∵S 梯形ABDC =

12（BD+AC ）?CD=12

×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，

故选B ．

【点睛】本题考查了反比例函数()0k y k x

=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12

|k|是解题的关键．

7．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝

3x ；③y ＝﹣5x

：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ）

A ．①③

B ．③④

C ．②④

D ．②③

【答案】B

【解析】

【分析】

分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．

【详解】 解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x

，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意；

③y＝﹣5

x

，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；

④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；故选：B．

【点睛】

此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．

8．在反比例函数y＝93

m

x

+

图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，y1＜0＜y2，x1＞x2，则有

（）

A．m＞﹣1

3

B．m＜﹣

1

3

C．m≥﹣

1

3

D．m≤﹣

1

3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据y1＜0＜y2，有x1＞x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．

【详解】

∵在反比例函数y＝93

m

x

+

图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），y1＜0＜y2，x1＞x2，

∴反比例函数的图象在二、四象限，

∴9m+3＜0，解得m＜﹣1

3

．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质

9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝k

x

的图象在第一象限

相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）

A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C

【解析】

【分析】

设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．【详解】

作CD⊥x轴于D，

设OB＝a，(a＞0)

∵△AOB的面积为3，

∴1

2

OA?OB＝3，

∴OA＝6

a

，

∵CD∥OB，

∴OD＝OA＝6

a

，CD＝2OB＝2a，

∴C(6

a

，2a)，

∵反比例函数y＝k

x

经过点C，

∴k＝6

a

×2a＝12，

故选C．

【点睛】

本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．

10．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【解析】

分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点A（1，1），

∴OA=，

∴BO=，

∵直线AC的解析式为y=x，

∴直线BD的解析式为y=-x，

∵OB=，

∴点B的坐标为（?，），

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴，

解得，k=-3，

故选C．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

11．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数

y=k

x

在同一坐标系内的大致图象是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一

次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k

x

的图象在第二四象限，据此即

可作出判断.

【详解】∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，∴△=4﹣4（k+1）＞0，

解得k ＜0，

∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，

反比例函数y=k x

的图象在第二四象限， 故选D ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.

12．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，

若反比例函数(0)k y x x

=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．2524k ≤≤

B ．26k ≤≤

C ．24k ≤≤

D ．46k ≤≤

【答案】A

【解析】

【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．

【详解】

解：令y ＝?x ＋5中x ＝1，则y ＝4，

∴B （1，4）；

令y ＝?x ＋5中y ＝2，则x ＝3，

∴A （3，2），

当反比例函数k y x

=

（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝?x ＋5代入k y x

=

中，整理得：x 2?5x ＋k ＝0， ∵△＝（?5）2?4k≥0，

∴k ≤254，

当k＝25

4

时，解得：x＝

5

2

，

∵1＜5

2

＜3，

∴若反比例函数

k

y

x

（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤

25

4

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．

13．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数

y=k

x

(x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k

的值为 ()

A．1

3

B．1 C．2 D．3

【答案】D 【解析】【分析】

连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=1

2

S△OAB=

3

2

，再根据反比例函数系数k的

几何意义得到1

2

|k|=

3

2

，然后利用反比例函数的性质确定k的值．

【详解】

连接OC，如图，

∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，

∴S △AOC =12S △OAB =32， 而S △AOC =

12|k|， ∴12|k|=32

， 而k ＞0，

∴k=3．

故选：D ．

【点睛】

此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数y=k x

图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

14．反比例函数k y x

在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．8

【答案】B

【解析】

【分析】 根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.

【详解】

∵点（1，3）在反比例函数图象下方，

∴k>3，

∵点（3，2）在反比例函数图象上方，

∴

3

k <2，即k<6， ∴3

故选：B.

【点睛】 本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-2

x

的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y

轴的垂线，交函数

4

y

x

=的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.

【详解】

连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，

如图，

∵反比例函数y=-2

x

为对称图形，

∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，

∵由题意得A点在y=-2

x

上，B点在y=

4

x

上，

∴S△AOD=1

2

×OD×AD=

1

2

xy=1；

S△COD=1

2

×OC×OD=

1

2

xy=2；

S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.

故答案选C.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.

16．函数21a y x

--=（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）

A ．y 3＜y 1＜y 2

B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ．y 2＜y 3＜y 1

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：当x=-4时，y 1=214

a ---； 当x=-1时，y 2=211

a ---， 当x=2时，y 3=212

a --， ∵-a 2-1＜0，

∴y 3＜y 2＜y 1．

故选B.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质数形结合思想解题是关键．

17．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2k y x

=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（ ）．

A ．8-

B ．8

C ．2-

D ．4-

【答案】A

【解析】

【分析】 设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可．

【详解】

解：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），

∵点A 在反比例函数12y x =-

的图象上， ∴ab ＝?2；

∵B 点在反比例函数2k y x

=

的图象上， ∴k ＝2a?2b ＝4ab ＝?8．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．

18．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x

=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )

A ．8

B ．8-

C ．4

D ．4-

【答案】A

【解析】 【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到

()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222

=?=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，

A ∴，

B 两点纵坐标相同，

设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，

()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222

=?=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，

故选A ．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.

19．当0x <时，反比例函数2y x

=-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大

C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小

D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 【答案】B

【解析】

【分析】 反比例函数2y x =-

中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可． 【详解】

解：Q 反比例函数2y x

=-中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；

又0x

∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．

故选：B ．

【点睛】 本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x

=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．

20．已知点()1,3M -在双曲线k y x =

上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1-

B ．()1,3--

C ．()1,3

D ．()3,1 【答案】A

【解析】

【分析】

先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.

【详解】

∵点()1,3M -在双曲线k y x

=

上， ∴133k =-?=-，

∵3(1)3?-=-，

∴点(3，-1)在该双曲线上，

∵(1)(3)13313-?-=?=?=，

∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，

故选：A.

【点睛】

此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.