新人教版七年级下册第六章实数全章教案

6.1.1平方根（第一课时）】

知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；

过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。

情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。

教学重点：算术平方根的概念和求法。

教学难点：算术平方根的求法。

一、情境引入：

问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

二、探索归纳：

1.探索：

学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。 接下来教师可以再深入地引导此问题：

如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25

4，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、5

2，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

2.归纳：

⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。

三、应用：

例1、 求下列各数的算术平方根：

⑴100 ⑵6449 ⑶9

71 ⑷0001.0 ⑸0 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；

②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；③0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：

你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？

归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果a x =有意义，那么0,0≥≥x a 。

注：0≥a 且0≥a 这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。

例2、 求下列各式的值：

（1）4 （2）81

49 （3）2)11(- （4）26 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。

解：（1）24= （2）9

78149= （3）1111)11(22==- （4）662= 例3、 求下列各数的算术平方根：

⑴23 ⑵34 ⑶2)10(- ⑷6

101 解：根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：

1、由332=，662=，可得)0(2≥=a a a

2、由11)11(2=-，10)10(2=-，可得)0(2≤-=a a a

教师需强调0=a 时对两种情况都成立。

四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。

2、求下列各式的值：

1， 25

9， 25， 2)7(- 3、求下列各数的算术平方根：

0025.0， 121， 24， 2)2

1(-，1691 4、已知,011=-++b a 求b a 2+的值。

五、课堂小结

1、这节课学习了什么呢？

2、算术平方根的具体意义是怎么样的？

3、怎样求一个正数的算术平方根

6.1.3平方根（第三课时）

教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。

一、情境导入如果一个数的平方等于9，这个数是多少？

讨论：这样的数有两个，它们是3和－3.注意()932

=-中括号的作用． 又如：25

42=x ，则x 等于多少呢？ 二、探索归纳：

1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根．

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．

例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．

2、观察：课本P45的图6.1-2.

图6.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．并根据这个关系说出1,4,9的平方根．

例4 求下列各数的平方根。

（1） 100 （2） 16

9 （3） 0.25 3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？

一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示．

例5 求下列各式的值。

（1）144， （2）－81.0， （3）196121

± （4）256，()2

56 归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

四、小结：1、什么叫做一个数的平方根？

2、正数、0、负数的平方根有什么规律？

3、怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？

6.2 立方根

教学重点：立方根的概念和求法教学难点：立方根的求法。

一、情景引入：

要制作一种容积为327m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳：

1.探索：设这种包装箱的边长为xm ，则273=x ，

这就是要求一个数，使它的立方等于27.

因为 2733=，所以 3=x ，即这种包装箱的边长应为m 3。

2.归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。 ① 立方根的表示方法：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根。记作3a x =，3a 读作三次根号a 。 其中a 是被开方数，3是根指数，3a 中的根指数3不能省略。

② 开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3、探索立方根的特点：

根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？

（1）因为823= ，所以8的立方根是（ ）；

（2）因为( 125.0)3=，所以125.0的立方根是（ ） ；

（3）因为( 0)3=，所以0的立方根是（ ）；

（4）因为( 8)3-=，所以8- 的立方根是（ ）；

（5）因为( 278)3-=，所以27

8-的立方根是（ ）。 学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系： 填空：因为=-38＿＿＿，=-38＿＿＿，所以38-＿＿＿38-；

因为=-327＿＿＿，=-327＿＿＿，所以327-＿＿＿327- 由上面两个例子可归纳出：一般地，33a a -=-。

注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的

绝对值的立方根，然后再确它的相反数。

三、应用：

例1、 求下列各式的值：

（1）364 （2）3125- （3）3

6427- 分析：根据立方根的意义求解。

解：（1）4643= （2）51253-=- （3）4

364273

-=- 例2、 求下列各式中x 的值：

（1）008.03=x （2）333=-x （3）8)1(3-=-x

分析：此题的本质还是求立方根。

解：（1）∵008.03=x ∴3008.0=x ∴2.0=x

（2）∵8333=

-x ∴8273=x ∴2

3=x （3）∵8)1(3-=-x ∴21=-x ∴3=x 例3、用计算器计算3310，3610，3910，3310-，3610-的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知62163=，则=3000216.0＿＿＿＿，=3216000＿＿＿＿。 分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：3

、被开立方的数字、=， 这样即可显示出计算结果 解：101033=，2361010=，3391010=，1331010--=，2361010--=

由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。

=3000216.006.0，602160003=。

四、随堂练习：

1、 立方根等于本身的数是＿＿＿，如果,113a a -=-则=a ＿＿＿。

2、64-的立方根是＿＿＿＿，3)4(-的立方根是＿＿＿＿。

3、已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根。

4、已知43=+x ，求33)10(-x 的值。

5、比较大小：（1）32.1＿＿31.2，（2）332-＿＿34

3-，（3）3＿＿37 五、课堂小结立方根和开立方的定义．2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同．

6.3.1实数（第一课时）知识与技能：。

教学重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类。

一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数9

5,119,847,53,3-写成小数的形式，它们有什么特征？ 发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：5.09

5,18.0119,875.5847,6.053,0.33 ===-=-= 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，

反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。

通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，

把无限不循环小数叫做无理数。 比如33,5,2-等都是无理数。14159265.3=π…也是无理数。

二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

2、实数的分类：

3、实数与数轴上点的关系：

我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就是2-。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。

归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；

反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

三、应用：

例1、下列实数中，无理数有哪些？

2，17

2，37.0 -，14.3，35，0，???11121211211121.10，π，2)4(-。 解：无理数有：2，35，π

注：①带根号的数不一定是无理数，比如2)4(-，它其实是有理数4；

②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。

比如???11121211211121.10。

例2、把无理数5在数轴上表示出来。 分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。

解：如图所示，,1,2==AB OA

由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以

OB 长度为半径画弧，

与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。

四、随堂练习：1、判断下列说法是否正确：⑴无限小数都是无理数；⑵无理数都是无限小数；⑶带根号的数都是无理数；⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。

2、把下列各数分别填在相应的集合里：

,22 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，π，???313113111.0。

有理数集合 无理数集合 3、比较下列各组实数的大小：（1）4，15 （2）π，

1416.3 （3）23,23-- （4）3

3,22 五、课堂小结1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 .

6.3.2 实数（第二课时）

教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。

一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：

1、相反数：有理数a 的相反数是a -。

2、绝对值：当a ≥0时，a a =，当a ≤0时，a a -=。

3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。

二、实数的运算：

1.实数的相反数：数a 的相反数是a -。

2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。

三、应用：例1、（1）求364-的绝对值和相反数；

（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。：。

例2、计算下列各式的值：

（1）2)23(-+； （2）3233+。

分析：运用加法的结合律和分配律。

四、随堂练习：1、计算：（1）2624-； （2）)23(3+；

（3）3253+-； （4）23)5

4(198-+--。 2、计算：（1）322-（精确到0.01）；（2）π-+3422

5、 （精确到十分位）。 3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是)2,2(),2,5(),22,5(),22,2(D C B A 。

（1）依次连接D

、，围成的四边形是一个什么图形？

A、

、

C

B

（2）求这个四边形的面积。

（3）将这个四边形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？

五、课堂小结

1、实数的运算法则及运算律。实数的相反数和绝对值的意义