理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之28抛物线

专题九 解析几何

第二十八讲 抛物线

2019年

1.(2019全国II 理8)若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点,则p =

A.2

B.3

C.4

D.8

2.(2019北京理18(1))已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,-1).求抛物线C 的方程及其准线方程;

3.(2019全国I 理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若

4AF BF +=,求l 的方程;

(2)若3AP PB =,求

AB .

4. (2019全国III 理21)已知曲线C :y =

2

2

x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .

(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,5

2

)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.

2010-2018年

一?选择题

1.(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C :2

4=y x 的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为2

3

的直线与C 交于M ,N 两点,则?FM FN = A.5

B.6

C.7

D.8

2.(2017新课标Ⅰ)已知F 为抛物线C :2

4y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直

线1l 与C 交于A ?B 两点,直线2l 与C 交于D ?E 两点,则||||AB DE +的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10

3.(2016年四川)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线2

2(0)y px p =>上任意一

点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

A.

3 B.2

3

C.22

D.1 4.(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.

已知||AB =42,||DE =25,则C 的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8

5.(2015浙江)如图,设抛物线2

4y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点

,,A B C ,其中点,A B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ?与ACF ?的面积之比是

A.

11

BF AF -- B.

2

2

11

BF AF -- C.

11

BF AF ++ D.

2

2

11

BF AF ++

6.(2015四川)设直线l 与抛物线2

4y x =相交于,A B 两点,与圆()()222

50x y r r -+=>相

切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 A.()13， B.()14， C.()23， D.()24，

7.(2014新课标1)已知抛物线C :2

8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF = A.

72 B.5

2

C.3

D.2 8.(2014新课标2)设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B

两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 33 93 C.6332 D.94

9.(2014辽宁)已知点(2,3)A -在抛物线C:2

2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限

相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A.

12 B.23 C.34 D.43

10.(2013新课标1)O 为坐标原点,F 为抛物线2

:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若

||42PF =,则POF ?的面积为( )

A.2

B.22

C.23

D.4

11.(2013江西)已知点()2,0A ,抛物线2

:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于

点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN = A.2:5 B.1:2 C.1:

5 D.1:3

12.(2012新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162

=的准线交于A ?B 两点,34||=AB ,则C 的实轴长为 A ?2

B ?22

C ?4

D ?8

13.(2012山东)已知双曲线1C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为 2.若抛物线

22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 A.283x y =

B.2163

x C.28x y = D.216x y = 14.(2011新课标)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两

点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ?的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48 二?填空题

15.(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C :2

4y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与

C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k =______.

16.(2017新课标Ⅱ)已知F 是抛物线C :2

8y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y

轴于点N .若M 为FN 的中点,则||FN = .

17.(2015陕西)若抛物线2

2(0)y px p =>的准线经过双曲线22

1x y -=的一个焦点,则p =

18.(2014湖南)如图4,正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <,原点O 为

AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,b

C F a

=两点，则 .

19.(2013北京)若抛物线2

2y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 .

20.(2012陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米

后,水面宽 米.

21.(2010浙江)设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛

物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________. 三?解答题

22.(2018北京)已知抛物线C :2

2y px =经过点(1,2)P .过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有

两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围;

(2)设O 为原点,QM QO λ=,QN QO μ=,求证:

1

1

λ

μ

+

为定值.

23.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线24=：C y x 的焦点为F ,过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C

交于A ,B 两点,||8=AB . (1)求l 的方程;

(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.

24.(2018浙江)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :2

4y x =上存在不同的

两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.

(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;

(2)若P 是半椭圆2

2

14

y x +=(0x <)上的动点,求PAB ?面积的取值范围. 25.(2017新课标Ⅲ)已知抛物线C :2

2y x =,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以

线段AB 为直径的圆.

(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;

(2)设圆M 过点(4,2)P -,求直线l 与圆M 的方程.

26.(2017浙江)如图,已知抛物线2

x y =.点11(,)24A -,39(,)24

B ,抛物线上的点

(,)P x y 13

()22

x -<<,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q

.

x

(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求||||PA PQ ?的最大值.

27.(2017北京)已知抛物线C :2

2y px =过点(1,1)P .过点1

(0,)2

作直线l 与抛物线C 交于不

同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原

点.

(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.

28.(2016年全国III)已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线1l ,2l 分别交C

于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.

(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;

(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.

29.(2015新课标1)在直角坐标系xoy 中,曲线C :2

4

x y =与直线y kx a =+(0)a >交与

M ,N 两点,

(Ⅰ)当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠?说明理由. 30.(2014山东)已知抛物线）＞0(2:2

p px y C =的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,

过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有FA FD =,当点A 的横坐标为3时,ADF ?为正三角形? (Ⅰ)求C 的方程;

(Ⅱ)若直线l l //1,且1l 和C 有且只有一个公共点E , (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;

(ⅱ)ABE ?的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由?

31.(2014陕西)如图,曲线C 由上半椭圆22

122:1(0,0)y x C a b y a b

+=>>≥和部分抛物线

22:1(0)C y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为

2

. (Ⅰ)求,a b 的值;

(Ⅱ)过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q (均异于点,A B ),若AP AQ ⊥

,求直线l

的方程.

32.(2013广东)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的

距离为32

2

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.

(Ⅰ)求抛物线C 的方程;

(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.

33.(2012新课标)设抛物线C :)0(22

>=p py x 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以

F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ?D 点.

(Ⅰ)若o

BFD 90=∠,ABD ?的面积为24,求p 的值及圆F 的方程;

(Ⅱ)若A ?B ?F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐

标原点到m ?n 距离的比值.

34.(2011新课标)在平面直角坐标系xoy 中, 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上,M 点满

足//MB OA ,MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求C 的方程;

(Ⅱ)P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值.

专题九 解析几何

第二十八讲 抛物线

答案部分

2019年

1.D 解析 由题意可得:2

32p p p ??-= ???

,解得8p =.故选D. 2.解析(I)由抛物线2:2C x py =-经过点

()2,1-,得2p =.

所以抛物线C 的方程为24x y =-,其准线方程为1y =. 3.解析 设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+. (1)由题设得3,04F ??

???

,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.

由232

3y x t y x

?

=+???=?,可得22

912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --

=,得78t =-.所以l 的方程为37

28

y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.

由232

3y x t y x

?=+???=?,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得121

3,3

x x ==

.

故||AB =.

4.解析(1)设()111,,,2D t A x y ?

?-

???

,则2112x y =.

由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11

11

2y x x t

+

=- ,整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.

所以直线AB 过定点1(0,)2

.

(2)由(1)得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

12

2

y tx x y ?

=+????=??,可得2210x tx --=. 于是()2121212122,

1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+

,

()212||21AB x t =-==+.

设12,d d 分别为点D ,E 到直线AB

的距离,

则12d d ==

因此,四边形ADBE 的面积()

(2121

||32

S AB d d t =

+=+设M 为线段AB 的中点,则2

1,2M t t ??+

???

. 由于EM AB ⊥,而(

)

2

,2EM t t =-,AB 与向量(1, )t 平行,所以(

)

2

20t t t +-=.解得t =0或1t =±.

当t =0时,S =3;当1t =

±时,S =因此,四边形ADBE

的面积为3或.

2010-2018年

1.D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为

2

3

的直线的方程为2(2)3=+y x ,

由22(2)3

4?

=+???=?y x y x

,得2

540-+=x x ,解得1=x 或4=x ,所以12=??=?x y ,或44=??=?x y ,不妨

设(1,2)M ,(4,4)N ,易知(1,0)F ,所以(0,2)=FM ,(3,4)=FN ,所以8?=FM FN .故选D.

优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ,由22(2)

3

4?

=+???=?y x y x

,得2540-+=x x ,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则10>y ,20>y ,根据根与系数的关系,得125+=x x ,124=x x .易知(1,0)F ,所以11(1,)=-FM x y ,22(1,)=-FN x y ,所

以

12121212(1)(1)()1?=--+=-+++FM FN x x y y x x x x 45188=-++=.故选D.

2.A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意,所以1l 的斜率存在设为1k ,2l 的斜率为2k ,由

题意有121k k ?=-,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)D x y ,44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-,

取方程214(1)

y x y k x ?=?=-?,得2222

111240k x k x x k --+=,

∴21122124k x x k --+=-212

124

k k +=

同理得 22342

2

24

k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++

22

122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号.

3.C 【解析】设()

()2

2,2,,P pt pt M x y (不妨设0t >),则2

2,22p FP pt pt ??=-

???

,∵13FM FP =,∴22,2362,3p p p x t pt y ?-=-????=??,∴22,33

2,

3p p x t pt y ?

=+????=??

∴

2

21

1

212

2

OM

t

k

t t

t

==≤=

++

∴

max

()

2

OM

k=,故选C.

4.B【解析】由题意,不妨设抛物线方程为22(0)

y px p

=>,

由||

AB=

||

DE=

可取

4

(A

p

,(

2

p

D-,设O为坐标原点,

由||||

OA OD

=,得

2

2

16

85

4

p

p

+=+,得4

p=,所以选B.

5.A【解析】如图,

1

1

-

-

=

=

=

?

?

AF

BF

x

x

AC

BC

S

S

A

B

ACF

BCF,故选A.

6.D 【解析】当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰好有2条,即5

x r

=±, 所以05

r

<<;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.

设

11

(,)

A x y,

22

(,)

B x y,

00

(,)

M x y,则120

120

2

2

x x x

y y y

+=

?

?

+=

?

.又

2

11

2

22

4

4

y x

y x

?=

?

=

?

,

两式相减得

121212

()()4()

y y y y x x

+-=-,12

12120

42

AB

y y

k

x x y y y

-

===

-+

.

设圆心为(5,0)

C,则0

5

CM

y

k

x

=

-

,因为直线l与圆相切,所以0

00

2

1

5

y

y x

?=-

-

,

解得

3

x,于是22

4

y r

=-,2

r,又2

00

4

y x

<,即2412

r-<,

所以04

r

<<,又05

r

<<,2

r>所以24

r

<<,选D.

7.C【解析】过点Q作QQ l

'⊥交l于点Q',因为4

PF FQ

=,所以||:||3:4

PQ PF=,又焦点F到准线l的距离为4,所以||||3

QF QQ'

==.故选C.

8.D【解析】易知抛物线中

3

2

p=,焦点

3

(,0)

4

F,直线AB

的斜率k=故直线AB的方程

为

3

)

4

y x

=-,代人抛物线方程23

y x

=,整理得2

219

216

x x

-+=.

设1122(,),(,)A x y B x y ,则1221

2

x x +=

,由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=,结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028

p d =

=, 所以OAB ?的面积19

||24

S AB d =

?=. 9.D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线2

2y px =的准线上,∴22

p

-

=-.∴4p =, ∴2

8y x =,设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①,将①与2

8y x =联立, 得2

824160y ky k -++=②,则△=2

(8)4(2416)0k k --+=, 即22320k k --=,解得2k =或1

2

k =-

(舍去), 将2k =代入①②解得8,8x y ==,即(8,8)B , 又(2,0)F ,∴4

3

BF k

=,故选D. 10.C 【解析】∵

OF =

由抛物线的定义可得P

点的坐标(±,

∴POF ?

的面积为

11

22

P OF y ==11.C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为

12

x

y +=代入2

4x y =得

y =, 又||:||(1):(1)1:FM MN y y =-+=12.C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162

=的准线:4l

x =-

于(

4,A -(4,B

--

得:222

(4)4224a a a =--=?=?=

13.D 【解析】因为双曲线1C :22

221(0,0)x y a b a b

-=

>>的离心率为2,

所以

2.c

b a

=?=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线

1C 的渐近线 0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,

),2p

|

|28p p =?=.故选D.

14.C 【解析】设抛物线的方程为2

2y px =,易知||212AB p ==,即6p =,

∵点P 在准线上,∴P 到AB 的距离为6p =,所以ABP ?面积为36,故选C.

15.2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程

为(1)y k x =-(0)k ≠,由2(1)4y k x y x

=-??=?,消去y 得22

(1)4k x x -=,

即2

2

2

2

(24)0k x k x k -++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,

则212224k x x k ++=,12

1x x =.由2(1)4y k x y x =-??=?

,消去x 得2

14(1)y y k =+, 即2

440y y k -

-=,则124

y y k

+=,124y y =-, 由90AMB ∠=,得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ?=+-?+-

1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=,

将212224k x x k ++=,121x x =与12

4

y y k

+=,124y y =-代入,得2k =. 解法二 设抛物线的焦点为F ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则211

222

44y x y x ?=?=?,

所以22

12124()y y x x -=-,则121212

4

y y k x x y y -=

=-+,

取AB 的中点00(,)M x y ',分别过点A ,B 做准线1x =-的垂线,垂足分别为A ',B ',又

90MB ∠=,点M 在准线1x =-上,

所以111

||||(||||)(||||)222

MM AB AF BF AA BB '''=

=+=+. 又M '为AB 的中点,所以MM '平行于x 轴,且01y =,所以122y y +=, 所以2k =.

16.6【解析】如图所示,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线与x 轴交于点F',作

MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ,由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则

2,4AN FF'==,在直角梯形ANFF'中,中位线'

32

AN FF BM +==,由抛物线的定

义有:3MF MB ==,结合题意,有3MN MF ==,

故336FN FM NM =+=+=

.

17.【解析】2

2y

px 的准线方程为2p x =-

,又0p ,所以2

p

x =-必经过双曲线221x y -=

的左焦点(,

所以2

p

-

=

,p =

18.1+BC CD =,结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦

点,所以||AD p a ==,(

,0)2p D ,(,)2

p

F b b +,将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+,变形得22()10b b

a a --=,

解得1b a =+

1b a =舍去),

所以1b

a

=19.2,1x =-【解析】1,22p p ==;准线12

p

x =-=-.

20.62【解析】建立直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0),设抛物线的方程为

22x py =-,l 与抛物线的交点为A ?B ,

根据题意知(2,2)A --,(2,2)B - 则有()2

22-?=-a ,∴2

1

-

=a ∴抛物线的解析式为22

1x y -

= 水位下降1米,则3y =-,此时有6=x 或6-=x

∴此时水面宽为62米.

21.

4【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2,B 点坐标为(

14

2

，)所以点B

22.【解析】(1)因为抛物线2

2y px =经过点(1,2)P ,

所以42p =,解得2p =,所以抛物线的方程为2

4y x =. 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠).

由241

y x y kx ?=?=+?得22(24)10k x k x +-+=. 依题意2

2

(24)410k k ?=--??>,解得0k <或01k <<. 又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,2)-.从而3k ≠-. 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--.

(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y . 由(1)知12224k x x k -+=-

,122

1

x x k

=. 直线PA 的方程为112

2(1)1

y y x x --=

--. 令0x =,得点M 的纵坐标为111121

2211

M y kx y x x -+-+=

+=+--. 同理得点N 的纵坐标为221

21

N kx y x -+=

+-.

由=QM QO λ,=QN QO μ得=1M y λ-,1N y μ=-. 所以

1212121212

112()

1

1

11111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λ

μ

---++

=

+=+=?-----

222

2241=211

k k k k k -+=?-. 所以

1

1

λ

μ

+

为定值.

23.【解析】(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->.

设1221(,),(,)A y x y x B ,

由2

(1),

4y k x y x

=-??

=?得2222

(24)0k x k x k -++=.

2

16160k ?=+>,故1222

24

k x k x ++=

. 所以1222

44

||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知

22

44

8k k +=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--, 即5y x =-+.

设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则

0022

0005,

(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=

+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2

2

(3)(2)16x y -+-=或2

2

(11)(6)144x y -++=.

24.【解析】(1)设00(,)P x y ,211(,)4y A y ,2

2

2(,)4

y B y .

因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程

2

21014()422

y x y y ++=?即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.

(2)由(1)可知1202

12

0028y y y y y x y +=??=-? 所以22

21200013||()384

PM y y x y x =

+-=-

,12||y y -=

因此,PAB ?

的面积3

2212001||||(4)24

PAB

S PM y y y x ?=?-=-. 因为2

200

14

y x +

=0(0)x <,所以22

00004444[4,5]y x x x -=--+∈. 因此,PAB ?

面积的取值范围是4

. 25.【解析】(1)设()A x ,y 11,()B x ,y 22,l :2x ym =+

由222x my y x

=+??=?可得y my --=2240,则y y =-124 又y x 21

1=

2,y

x 2

22=2

,故()

y y x x 2

1212=4

=4

因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ?1212-4

==-14

,所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.

(2)由(1)可得y y m 12+=2,()x x m y y m +2

1212+=++4=24

故圆心M 的坐标为(

)m m 2

+2，,圆M 的半径

r =由于圆M 过点(4,2)P -,因此0AP BP =, 故()()()()121244++2+2=0x x y y -- 即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200 由(1)可得y y 12=-4,x x 12=4.

所以2m m --=2

10,解得m =1或m =-

12

. 当1m =时,直线l 的方程为20x y --=,圆心M 的坐标为(3,1),

圆M 的半径为,圆M 的方程为()()x y -+-=2

2

3110

当12m =-

时,直线l 的方程为240x y +-=,圆心M 的坐标为91

(,)42

-,圆M 的半径

为

4,圆M 的方程为229185()()4216

x y -++=. 26.【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,

21

14122x k x x -

=

=-+, 因为13

22

x -<<,所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-?

(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程

110,24

930,42

kx y k x ky k ?

-++=???

?+--=?? 解得点Q 的横坐标是

2243

2(1)

Q k k x k -++=+

因为

||PA

1

)2

x +

=1)k +

||PQ

= )Q x x -

=2

,

所以

||||PA PQ =3(1)(1)k k --+

令()f k =3

(1)(1)k k --+, 因为

2()(42)(1)f k k k '=--+,

所以()f k 在区间1

(1,)2

-上单调递增,1(,1)2

上单调递减,

因此当12k =时,||||PA PQ 取得最大值27

16

.

27.【解析】(Ⅰ)由抛物线C :22y px =过点(1,1)P ,得12

p =

. 所以抛物线C 的方程为2y x =.

抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4

,准线方程为1

4x =-.

(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在或斜率为0时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN 的斜率存在且不为0.

设1(0,)2

为点Q ,过Q 的直线MN 方程为1

2

y kx =+(0k ≠),设11(,)M x y ,22(,)N x y ,显然,1x ,2x 均不为0.

由212y kx y x ?

=+???=?

,得224(44)10k x k x +-+=. 考虑2

2

1(1)4124

k k k ?=--??=-,由题意0?>,所以12

k <. 则1221k

x x k

-+=

,① 122

1

4x x k =

. ② 由题意可得A ,B 横坐标相等且同为1x ,

因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y x =,点A 的坐标为11(,)x x . 直线ON 的方程为22y y x x =

,点B 的坐标为2112

(,)y x x x . 若要证明A 为BM 的中点,只需证2A B M y y y =+,即证12

112

2x y y x x +=, 即证1221122x y x y x x +=,

将11221212

y kx y kx ?

=+????=+

??代入上式,

即证2112121

1()()222

kx x kx x x x +++=,

即证12121

(22)()02

k x x x x -++=③ 将①②代入③得2211(22)042k k k k --+=,化简有

22

11022k k

k k --+=恒成立, 所以2A B M y y y =+恒成立. 故A 为线段BM 的中点.

28.【解析】由题设)0,2

1(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则

222111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥.

(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF

-=--=-=??. 由题设可得

2

21211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12

-=x y .

29.【解析】(Ⅰ)由题设可得)M a ,()N a -,或()M a -,

)N a .∵1

2

y x '=,故24x y =在x =,

C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-,0y a --=.

故2

4x y =在x =-处的导数值为,C 在(,)a -处的切线方程为

y a x -=+,0y a ++=.

0y a --=0y a ++=.