高中数学_向量加法及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

导入新课

思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.

提出问题

数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？

物理模型1.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?2008年以后有了直航，对比两次路线。

推进新课

物理模型2.图表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.

图2

改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?

力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.

合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.

数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.

引入向量加法概念求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

具体操作向量的加法运算

1°向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第

二个向量的终点的向量即为和向量.首尾相连由首至尾。

位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

2°向量加法的平行四边形法则

图4

如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则.（起点相同，对角为和）

力的合成可以看作向量加法的物理模型.

继续推广：多边形法则。

提出问题

①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？

②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？

③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？

④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?

、

②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.

③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);

当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;

当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.

一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.

④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.

因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.

如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,

AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).

综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.

图5 图6

应用示例

如图7,已知向量a 、b ,求作向量a +b .

活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O 的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.

图7 图8 图9

解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA =a ,AB =b ,则OB =a +b .

作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA =a ,OB =b .以OA 、OB 为邻边作

OACB,连接OC,则OC =a +b . 活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.

点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.

例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).

图10 图11

活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.

解:如图11所示,AD 表示船速,AB 表示水速,以AD 、AB 为邻边作

ABCD,则表示船实际航行的速度.

(2)在Rt △ABC 中,||=2,||=5,

所以||=2952|||AB |2222=+=+BC ≈5.4.

因为tan ∠CAB=2

29,由计算器得∠CAB=70°.

答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.

点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.

变式训练（学生板演）

如图14,渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应

满足AB+AD=AC.

图14

解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.

在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.

答:渡船的航向为北偏西30°.

点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.

课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.

2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.

作业

设计感想

1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.

2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.

学情分析

向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得

出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.

向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而

使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.

效果分析

1.让学生自己操作三角形法则和平行四边形法则，理解并记忆。

2.例1和跟踪训练1让学生利用加法法则和运算律解决化简问题。

3.例2和跟踪训练2让学生进一步用加法法则和运算律来解决现实的实际问题，尺规作图，

跟踪训练学生偏难，需要指导。

4.小练习让学生直接应用两个向量的和的模的大小范围来计算。

5.课后达标让学生根据这节课所学内容来解决，检测学习成果。

教材分析

《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”（89--94页）。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学

中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。

例 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。

跟踪训练2：船在静水中的速度为6Km/h ，水流的速度为3km/h ，则它必须朝哪个方向开，才能保证船沿水流的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？

课后达标

A 组：

1. 在平行四边形ABCD 中，++u u u v u u v u u v BC CD DA 等于（ ） A ．u u v BD B ．u u u v AC C ．u u v

AB D ．u u r BA

2. 下列等式不正确的是（ ）. A.0a a +=r r r B.a b b a +=+r r r r C.()()

a b c a b c ++≠++r r r r r r D.AC DC AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 3. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( )

A ．AB

→＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO

→＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA → 4.AB BC CD

++u u u r u u u r u u u r = ； ++++u u r u u r u u r u u u r u u r ()()AB MB BO BC OM =

.

B 组： 1、在矩形ABCD ，==u u v u u u v ||4,||2AB B

C ，则向量++u u v u u v u u u v

AB AD AC 的长度等于（ ）

A ．25

B ．45

C ．12

D ．6

2、已知|AB

→|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是 3、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，

CD ，DA

的中点，求证：EF

→＝NM →.

课后反思

本节内容是向量的加法运算及其几何意义,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾相连由首至尾的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.

本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.

《向量的加法运算及其几何意义》选自人教版《必修4》第2.2.1节，内容包括向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用。本节课是学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算

(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。故本节课在空间向量与立体几何中起着举足轻重的地位。

知识与技能

理解和掌握向量加法的运算及运算律，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量，并初步学会用向量方法解决几何问题及实际问题。

过程与方法

通过观察物理学中的位移合成实例，动手操作力的合成实验，类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其几何意义，体验数学知识发生、发展的过程，提高数学建模能力。

情感态度价值观

从位移的合成、力的合成实例中得到向量加法运算法则,之后用来解决实际问题（如例2）,让学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。

重点

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

难点

数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

教法：“问题情境教学法”、“启发式教学法”；

学法指导：利用矢量的合成以及实数的运算法则类比学习本节内容；