积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质
积的算术平方根，简称为“积”，是数学领域中一个重要的概念。“积”的定义是：由两个或两个以上的正实数的乘积所组成的正实数。就是说，如果我们想要计算一个积的平方根，我们需要找到乘积中的两个正实数，分别作为积的平方根的被乘数和乘数。
积的算术平方根有着多种不同的性质。首先，积的算术平方根不受正负号影响。不管积的被乘数和乘数是正数还是负数，积的平方根都是正数。其次，积的平方根与乘积之间也存在一种特殊的关系，即积的平方根与乘积之间存在着公约数。由于乘积的根号和被乘数的根号相乘的结果就是积的平方根，因此，若被乘数和乘数的公约数不为1，则它们乘积的根号就是它们积的平方根。
此外，积的平方根也应用在了方程式求解中，其解法有多种，如弗洛伊德方法、克莱因多项式分解法、正、反特征值方法等。弗洛伊德方法可以用于求解方程的根号积的平方根，也就是说，它可以帮助我们解决一元二次方程的根号积，从而求解出积的平方根，其解法如下：设x^2+px+q=0,若p^2-4q=k,则其实根的积的平方根为
frac{p+sqrt{k}}{2}，y^2+qx+r=0,若q^2-4r=l,则其实根的积的平方根为frac{q+sqrt{l}}{2}。
在多元方程求解中，积的平方根也有着重要的应用，例如多元一次方程组求解、椭圆方程求解以及抛物线求解中都有其应用。例如，在椭圆方程求解中，可以用积的平方根求出椭圆的长短轴，把椭圆的焦点在坐标轴上画出来。同样，抛物线求解中，积的平方根也可以用
来求出抛物线的焦点和离心率。
从以上可见，积的算术平方根在数学中具有重要的地位，它应用于一元方程组、多元方程组以及椭圆方程和抛物线求解中，为我们提供了许多有用的工具，并能够广泛地应用于实际中。
总结起来，积的算术平方根有着多种不同的性质和应用，包括不受正负号影响、与乘积之间存在着公约数、积的平方根在一元二次方程求解、多元方程求解以及椭圆方程和抛物线求解中的应用等等。未来，积的算术平方根在数学领域将会发挥更大作用，并不断被广泛应用于实际中，为人们带来更多便利。
平方根 算术平方根 立方根
平方根算术平方根立方根三说 王峰 一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1. 平方根、算术平方根的概念与性质 如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或 二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。 2. 平方根、算术平方根的区别与联系 区别：①定义不同； ②个数不同； ③表示方法不同； ④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。 联系：①它们之间具有包含关系； ②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数； ③0的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质 如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。 立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析 例1. 求的平方根。
错解： 的平方根是 剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。 例2. 求的算术平方根。 错解： 的算术平方根是3 剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而 导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。 ，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。仿此你能给出的平方根的结果吗？ 三、典型例题的探索与解析 例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。 分析：由算术平方根及立方根的意义可知 联立<1><2>解方程组，得： 代入已知条件得： 所以 故M＋N的平方根是±。 例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简 1．二次根式的乘法法则 (1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)． 观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数． (2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点： ①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况． ④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内． 当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法 则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数． 即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)． 【例1】计算： (1)0.4×3.6；(2)545× 3 2 23. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545× 32 23＝5×32× 45× 23＝15 2× 3×15× 23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)二次根式的运算知识点 知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘， 根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非 负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数) (1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. ，即积的算术平方根知识点二、积的算术平方根的性质 等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： （1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质 ③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式 移到根号外 ④被开方数中每个因数指数都要小雨2 （5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、 二次根式的除法法则： 把被开方数相除.
要点诠释：，即两个二次根式相除，根指数不变， (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中 ，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 知识点四、商的算术平方根的性质 ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. （2）步骤①利用商的算术平方根的性质 ② a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化 （3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点五：最简二次根式 1. 定义：当二次根式满足以下两条： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释： (1)最简二次根式中被开方数不含分母； (2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能 为1次. 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
二次根式的性质(积的算术平方根)
课题：二次根式的性质（积的算术平方根） 课型：新授课 学习目标：1、学习2a （a ≥0）的性质并能利用这一性质解决一些简单的问题 2、学习二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方 根的积。并能利用这一性质进行二次根式的化简。 一、自主探究：（阅读课本126—127页回答下列问题） 1、当a ≥0时二次根式2a 的值是什么？ 计算2)4(-= 2 )21(-= 2)44(-= 你能发现什么？ 2、思考2a 与（a ）2有怎样的相同点和不同点？ 3、积的算术平方根的性质：公式： 语言叙述为： 二、合作交流成果展示 1、交流上面的问题，教师点拨 2、例题：（当a ≥0时2a =a 的运用）： （1）已知=-2)4(a a —4成立， 则a 的范围为 （2）已知1≤x ≤3 化简2)1(-x +4-x 3、例题：（积的算术平方根的运用）： （1）已知式子)2)(1(--x x =21-?-x x 成立，则x 的范围为 （2）化简：①259? ②216a ③300 ④y x 2 三、利用规律巩固新知： 1、已知=-2)21 (a 2 1--a 成立， 则a 的范围为 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值 3、判断下列各式是否成立：
（1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简下列式子： （1）188? （2）225253?? （3）2)4(9-x （4）428n m （5）2243+ （6）32a a + （7）)()(223b a b a -- 选做题：1、化简：325025m m += 2、将根号外的因式移入根号内 a a 1= 四、课堂小结，检测反馈 1、通过这节课的学习你的学习目标完成了吗？ 2、检测： （1）已知式子)2)(1(x x -+=x x -?+21成立，则x 的范围为 （2）化简下列各式： 4625? b a 316 3)2(8-x 221213- 选做题： 1、将根号外的因式移入根号内 a a 1-= 2、若x ≤0 化简y x 28= 五、课外自评：课本随堂练习2以及试一试 六、教后反思：
初二第四讲 二次根式的定义及性质
二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
初二数学根式复习知识点总结
初二数学根式复习知识点总结 初二数学根式复习知识点总结 在我们上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺收集整理的初二数学根式复习知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 初二数学根式复习知识点总结1 根式 若x的n次方=a，则x叫做a的n次方根，记作n√a=x，n√a叫做根式。根式的各部分名称在根式n√a中，n叫做根指数，a叫做被开方数，“√”叫做根号。 根式的性质 根式n√a中，当n是奇数时，任何有理数都有n次方根，当n是偶数时，负数没有n次方根。0的任何次方根都为0。 a^(m/n)=n√(a^m)，a^(-m/n)=1/(n√(a^m)).(a>0,m,n∈N+，且n>1)。 根式的性质(1)(n√a)^n=a 根式的性质(2)n√(a^n)=|a| (n为偶数) =a (n为奇数) 根式的知识要领不仅仅是上面的这些，以上为大家整合的都是精华部分。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐
标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素： ①在同一平面 ②两条数轴 ③互相垂直 ④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质 积的算术平方根，简称为“积”，是数学领域中一个重要的概念。“积”的定义是：由两个或两个以上的正实数的乘积所组成的正实数。就是说，如果我们想要计算一个积的平方根，我们需要找到乘积中的两个正实数，分别作为积的平方根的被乘数和乘数。 积的算术平方根有着多种不同的性质。首先，积的算术平方根不受正负号影响。不管积的被乘数和乘数是正数还是负数，积的平方根都是正数。其次，积的平方根与乘积之间也存在一种特殊的关系，即积的平方根与乘积之间存在着公约数。由于乘积的根号和被乘数的根号相乘的结果就是积的平方根，因此，若被乘数和乘数的公约数不为1，则它们乘积的根号就是它们积的平方根。 此外，积的平方根也应用在了方程式求解中，其解法有多种，如弗洛伊德方法、克莱因多项式分解法、正、反特征值方法等。弗洛伊德方法可以用于求解方程的根号积的平方根，也就是说，它可以帮助我们解决一元二次方程的根号积，从而求解出积的平方根，其解法如下：设x^2+px+q=0,若p^2-4q=k,则其实根的积的平方根为 frac{p+sqrt{k}}{2}，y^2+qx+r=0,若q^2-4r=l,则其实根的积的平方根为frac{q+sqrt{l}}{2}。 在多元方程求解中，积的平方根也有着重要的应用，例如多元一次方程组求解、椭圆方程求解以及抛物线求解中都有其应用。例如，在椭圆方程求解中，可以用积的平方根求出椭圆的长短轴，把椭圆的焦点在坐标轴上画出来。同样，抛物线求解中，积的平方根也可以用
来求出抛物线的焦点和离心率。 从以上可见，积的算术平方根在数学中具有重要的地位，它应用于一元方程组、多元方程组以及椭圆方程和抛物线求解中，为我们提供了许多有用的工具，并能够广泛地应用于实际中。 总结起来，积的算术平方根有着多种不同的性质和应用，包括不受正负号影响、与乘积之间存在着公约数、积的平方根在一元二次方程求解、多元方程求解以及椭圆方程和抛物线求解中的应用等等。未来，积的算术平方根在数学领域将会发挥更大作用，并不断被广泛应用于实际中，为人们带来更多便利。
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数 专题6 算术平方根与平方根的概念及性质 知识要点 1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术 ，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0. 2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数. 正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0. 3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。 4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向 左（或向右）移动1b =10b 0.1b =. 5.算术平方根的双重非负性 满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。 6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥0 7.两个结论：① 2a = (a ≥0)a =. 典例精析 例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；② 2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②1 24；③()232---；④4x 【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同. 【解】（1）因为92=81，所以；②因为2 525636??= ???56 ③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-； ④因为()22x x =-==x （2）①因为() 20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924??±= ???，所以32==±； ③因为()2525±=，5=±；④因为()()22 22224x x x x x x x x x ±==?=???= ，2x ±. 【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏. 拓展与变式1 ___________. 拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________ 拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数. 【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算
二次根式知识点
二次根式知识点 知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。如√5 2可以写作√5。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。其中a≥0是√a 有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。要注意当 b是分数时不能写成带分数，例如8 3√2可写成8√2 3 ，但不能写成22 3 √2。 二、二次根式的性质：
=｜a｜=a （a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） ★(√a)2 （a≥0）与√a2的区别与联系：
典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ ；（3）√x−3+√3+x （1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1 √1−x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
平方根和算术平方根
平方根和算术平方根 1、什么叫做平方根 如果一个数的平方等于9，这个数是几 ±3是9的平方根；9的平方根是±3。 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。 数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 4的平方根是 ； 1 49 的平方根是 。 的平方根是。 如果225x =，那么x = 。2的平方根是 2、平方根的表示方法： 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a - ”。 ： 这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 表示 ，= 。 2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。 3、平方根的性质： 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 4、算术平方根： 正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 》 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。 5、算术平方根的性质：（双重非负性） ⑴0≥0a ≥。 ⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a
二、【题型分类讲解】 题型一、求平方根 1、36的平方根是 ； 2、 的算术平方根是 ； 3、下列计算正确的是（ ） : A ．4=±2 B．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=- 4、下列说法中正确的有 。 ①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根； ③的平方根是 ； ④ 的算术平方根是； ⑤ 的平方根是-6 ⑥ 5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是 ； 616平方根是 ； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____， 7、2)8(-= ；2 )8(= ；若72=x ，则=x _____。 8、2 2)4(+x 的算术平方根是（ ） A 、 4 2 )4(+x B 、2 2 )4(+x C 、42 +x D 、42+x 9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） " A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 10、若9,42 2 ==b a ，且0 初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕 篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足以下条件： 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa 0(a=0); 5.二次根式的运算： a(a0) (1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 单项式和多项式统称为整式。 1.单项式： 1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。 单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。 2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。 3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式： 1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3.多项式的排列： 1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 二次根式二次根式的乘除法 一、知识概述 1、二次根式的定义 形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意义的条件是a≥0．2、二次根式的基本性质 (1)是一个非负数； (2) ； (3) ． 3、二次根式的乘法法则 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 4、积的算术平方根的性质 即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积． 5、二次根式的除法法则 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 6、商的算术平方根的性质 7、最简二次根式 满足下列条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式． 二、重难点知识归纳 1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数． 2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0). 3、利用得到成立，可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式．如． 4、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简． 5、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简． 方法1：． 方法2：． 方法3：． 方法4： 6、二次根式的分母有理化 当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去，这个运算过程叫分母有理化．如分母含时，分子分母同乘以；分母为形式，分子分母同乘以，以便运用平方差公式，化去分母中的根号． 三、典型例题讲解 例1、已知，化简. 解析：因为，由二次根式的被平方数为非负性知：x－2≥0且 x-2≤0，从而x=2。 所以。 故有。 例2、已知等式在实数范围内成立，其中x、y、a 是两两不同的实数，试求代数式的值． 解： 9.1.2二次根式和它的性质 制作人： 时间： 【学习目标】 1.理解a 2的算术平方根公式a a =2)(（a ≥0），并会利用它进行计算和化简； 2. a ≥0， b ≥0）并能够灵活利用它进行计算和化简。 【学习重点】 （a ≥0，b ≥0） 【学习难点】灵活利用积的算术平方根进行计算和化简 一、知识回顾 1、什么是二次根式 2、二次根式有意义的条件是什么 3、二次根式的两个性质： 二、性质探究一（a 2 的算术平方根） 1. 计算： == 2. 对比，你发现了什么规律？ 3、一般地，当a ≥0时，a 2 的算术平方根是 .由此可得 。一个非负数的平方的算术平方根等于________。 例 3 a ≥ 这几个题都是能开的尽方的数或者式子，可以先把被开方数（式子）写成一个非负数的_______的形式，然后开方。 23==，对比，一个负数的平方的算术平方根是多少？初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
二次根式二次根式的乘除法
初中数学_积的算术平方根教学设计学情分析教材分析课后反思