第17讲带圆孔平板的均匀拉伸

§7.6 带圆孔平板的均匀拉伸

学习思路:

平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。

根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。

孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。

学习要点：

1. 带圆孔平板拉伸问题；

2. 厚壁圆筒应力函数；

3. 应力与边界条件；

4. 孔口应力。

设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。

根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此

上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两

部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为；另一部分是随?

变化的法向力cos2? 和切向力sin2?。

对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。由此产生的应力可用轴对称应力计算公式计算。则

这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。

对于厚壁圆筒的外径作用随2? 变化的法向外力cos2? 和切向外力sin2? ，如图所示。

根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2? 的函数。由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即

将上述应力函数表达式代入变形协调方程

，可得f（ρ）所要满足的方程

即

上述方程是欧拉(Euler)方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为

因此，将其代入公式 ,可得应力函数为

因此，应力分量为

应力分量表达式中的待定常数A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力边界条件为

将应力分量代入上述边界条件，则

联立求解上述方程，并且注意到对于本问题，a/b≈0,可得

将计算所得到系数代入应力分量公式

，则

将随?变化的法向力cos2? 和切向力sin2? 的计算所得结果与沿外圆周作用的不变的正应力结果相叠加，则

上述应力分量表达式表明，如果ρ 相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应力状态相同。

对于孔口应力，即ρ =a时，有

最大环向应力发生在小圆孔的边界上的? =π/2 和? =3π/2 处，其值为

σ? max = 3q

这表明，当板很大而孔很小时，则圆孔的孔口将有应力集中现象。通常把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即

K称为应力集中因子。对于平板受均匀拉伸问题，K=3。

§7.7 楔形体顶端受集中力或集中力偶

学习思路:

本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答。

对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。由于楔形体几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数，借助于几何特性，可以找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。

楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答，这对于工程问题的求解具有指导意义。

学习要点：

1. 楔形体作用集中力问题的应力函数；

2. 楔形体边界条件；

3. 楔形体应力；

4. 半无限平面作用集中力；

5. 楔形体受集中力偶作用；

6. 楔形体受集中力偶作用的应力。

讨论题：楔形体顶端应力和无穷远应力分析

设有一楔形体，其中心角为α，下端可以认为是伸向无穷远处。

首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成β 角。设楔形体为单位厚度，单位厚度所受的力为F，极坐标系选取如图所示。

通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式。由于楔形体内任一点的应力分量将与F成正比，并与α，β，ρ 和? 有关。由于F的量纲为MT-2，ρ的量纲为L-1，而α，β和? 是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取ρ 的负一次幂。

而根据应力函数表达式，其ρ的幂次应比各应力分量ρ 的幂次高两次。因此可以假设应力函数为? 的某个函数乘以 ρ 的一次幂。有

将上述应力函数表达式代入变形协调方程

，可得f ( ) 所要满足的方程。即

求解上式，可得

其中A，B，C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得，

由于为线性项，不影响应力分量的计算，因此可以删去。因此应力函数为

由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量

现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数。楔形体左右两边的面力边界条件为

已经自然满足。此外还有一个应力边界条件：在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为F。

如果取任意一个截面，例如圆柱面ab，如图所示。

则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F 形成平衡力系。

于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件

将应力分量表达式代入上式，则

积分可得

即

将常数C和D代入应力分量表达式

，则本问题的解答为

上述楔形体应力在 等于0时，将趋于无限大。即在载荷作用点的应力无限大，解答是不适用的。但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分布作用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解。

根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的。

在上述楔形体问题中，如果令α＝π，β＝0，则转化为弹性半无限平面作用集中力问题。

将α＝π，β＝0代入楔形体应力表达式

，则弹性半无限平面作用集中力作用的应力表达式为

弹性半无限平面作用集中力作用的应力场具有以下特点:

1. σρ为主应力,其余主应力为0。

2.在直径为d，圆心在x 轴并且与y 轴相切于原点O的圆上，由于该圆上任意一点满足ρ = d cos?，

所以，圆上任意一点应力为σρ=-2F/πd。这就是说，圆上任意一点应力，除载荷作用点以外，各点应力和σρ相同。

此圆为等径向应力的轨迹线，称为压力泡。

3. 由于此圆最大切应力τmax=σρ /2=const，因此在光弹性实验中，又称为等色线。

4.主应力轨迹为一组以坐标原点为中心的放射线。

5.最大切应力轨迹为一组与主应力轨迹夹45度角的曲线，其轨迹为对数螺线。

以下讨论楔形体的顶端受有集中力偶作用问题，如图所示。

设单位宽度的力偶矩为M。

根据和楔形体受集中力相同的量纲分析，可见在各应力分量的表达式中，只能是以 ρ 负二次幂出现，因此应力函数表达式应该与 ρ 无关。也就是

将上式代入变形协调方程

，可得所要满足的方程

求解这一关于? 的常微分方程，可得

其中A，B，C和D为待定常数。

求解前，首先作结构分析。由于楔形体顶端作用集中力偶，因此为反对称结构。其正应力应为? 的奇函数，而切应力分量应为? 的偶函数。

由此可见，A = D = 0，则应力函数简化为

则由极坐标应力分量表达式，楔形体的应力分量为

对于楔形体问题，边界条件要求

由应力分量表达式可见，前一条件总能满足，而后一条件要求

C = -2B cosα

同样考虑ab以上部分的平衡条件，则

积分后可得

将计算所得的系数回代应力分量表达式，可得

大家可以自己证明上述应力分量也可满足以上部分的另外两个平衡条件，即

在楔形体问题中，我们曾假定楔形体顶端所受的力或力偶是集中作用的，因此计算所得的应力分量在 =0处成为无限大。实际上，集中在一点的力或力偶是不存在的，因此也就不会发生无限大的应力。而且，只要面力的集度超过楔形体材料的比例极限，弹性力学的基本方程将不再适用，因此上述解答也不适用。

因此应该这样来理解：楔形体受有一定的面力，这个面力的最大集度是不超过比例极限的，而面力的合力是集中力F或集中力偶M。当然面力的分布方式不同，应力的分布也不同。但是，按照圣维南原理，不论这个面力是如何分布的，在离开楔形体顶端稍远处，应力分布都是相同的，也就是和以上所得应力分量表达式相同。