“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案)
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题
（初中组）
注意事项：
1． 本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分） 1．已知m ≠0，下列计算正确的是（ ）．
A ．m 2＋m 3＝m 5
B ．m 2·m 3＝m 6
C ．m 3÷m 2＝m
D ．(m 2)3＝m 5
2．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）．
A ．20
B ．12
C ．10
D ．－6 3．设a ＋1与2 (a －1)的值互为相反数，则a 的值是（ ）．
A ．3
B ．1
C ．0
D ．1
3
4．（n ＋1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）．
A ．360°
B ．180°
C ．90°
D ．60°
5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮
妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）．
A ．15
B ．14
C ．25
D ．45
6．There is a piece of work ．It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and Mr. B 30 alone days to finish ．It takes them （ ）days to work together to finish the work ． A ．10 B ．12 C ．15 D ．50
7．如图，已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的
距离为2，则⊙O 上到直线l 的距离为3的点的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知方程x 2－2│x │－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）． A ．0 B ．－2 C ．2 D ．8
9．已知实数a ，b 同时满足a 2＋b 2－11＝0，a 2－5b －5＝0，则b 的值是（ ）．
A ．1
B ．1，－6
C ．－1
D ．－6 10．如图，在△ABC 中， D 、
E 分别是BC 、AC 的中点． 已知∠ACB ＝90°，BE ＝4，AD ＝7，则AB 的长为（
）．
A ．10
B ．5 3
C ．213
D ．215
二、填空题（每小题5分，共40分）
11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个
成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分． 密
封 线
姓名 学校
考号
（第7题）
A B E
C
（第10题）
D
12．已知函数y 1与y 2分别由下表给出，那么满足y 1＞y 2的x 的值是 ．
13．设a 14
15．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上， AF ∥EC ，△AFD 与四边形AECF 的面积相等．已知 AB ＝6
cm ，BC ＝3
cm ，则AF 与CE 之间的距离是 cm ．
16．设直线l 1是函数y ＝2x －4的图象，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，
则l 2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 ．
17．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，过 点D 作DE ⊥AC ，与CB 的延长线交于点E ，以BA 、BE 为邻
边作长方形BAFE ，连接FD ．若∠C ＝60°，DF ＝3
cm ， 则BC 的长为 cm ．
18．在△ABC 中，已知∠ACB =90o，∠A ＝40o．若以点C 为中心，
将△ABC 旋转θ角到△DEC 的位置，使B 点恰好落在 边DE 上（如图所示）．则θ＝ o． 三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分） 19．已知关于x 的方程（a －1）x 2－4x －1＋2a ＝0的一个根为x ＝3．
（1）求a 的值及方程的另一个根；
（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
F A B D
E C （第15题）
E
A D
C F
B （第17题）
θ A
C
D
B E （第18题） （第14题）
20．（1）已知恒等式x 3－x 2－x ＋1＝（x －1）（x 2＋kx －1），求k 的值； （2）若x 是整数，求证：x 3－x 2－x ＋1x 2－2x ＋1
是整数．
21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h （米）与时间t （小时）
之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．
（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？ （2）求点P 的坐标，由此得到什么结论？
（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是 多少米？
小时)
22．某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC ，剪出一个平行四边形DEFG ．记□DEFG 的面
积为T ,
（1）如图1，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，D 、G 分别是AB 、AC 的中点．
求T （用S 表示）；
（2）如图2，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，求证：T ≤12S ；
（3）对任意剪得的□DEFG ，T ≤1
2S 还成立吗？请说明理由．
图1
A
D
E
F G
A
F E
D
G
图2
2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C ． 二、填空题（每小题5分，共40分）
11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2． …………… 3分
所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．
那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++， ……………… 3分
所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++，从而有11,
1 1.
k k -=-??
--=-?
解得k ＝0． ………………………………7分
（2）32222
1(1)(1)121(1)
x x x x x x x x x --+--==+-+-． 因为x 是整数，所以x ＋1是整数．
故3221
21
x x x x x --+-+是整数． ……………… 14分
21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为8
24
=（米/小时）． 当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为
1
3（米/小时）； 当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为5
2
（米/小时）．
因为13＜2，2＜52
，
所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分
（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．
当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为63
1
+-=t h ．
由???
??+-=+-=.631
,82t h t h 解得???
????==.528,56h t 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ． 由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分
（3）由图知，甲池中的水4小时放完． 当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为2
2525+-=t h ． 当t ＝4时，2
5
=
h ，即h ＝2.5．
所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．
22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，
所以DG ∥BC ，且DG ＝1
2
BC ．
分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．
因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝1
2AM ．
故T ＝1
2S ． ………………………6分
（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．
因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ． 因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ． 同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ． 同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．
T ＝S －S △ADG －S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S
＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－1
4] S
＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤1
2S ．…………………12分
（3）分以下四种情形讨论：
第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．
① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，
延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′， 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′ ． 由（2）知，S □DEF ′G ′ ≤12S ．所以T ≤1
2
S ．
② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两 种情形，则
图3-1
A
B
D
E
F G
G ′
F A 图3-2
B
C
D
E
F
G
H F ’
G ’
T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF
≤12 S △ABH + 1
2
S △AHC =S ．
第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形
的边上，另两个顶点不在三角形的边上．
①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ，作平行四边形MNKL ． 问题转化为（2）．则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤1
2
S ．
②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交G M 于点N ．易 得四边形DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则
T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤1
2
S ．
第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的
的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于 点N ．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则
T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤1
2
S
第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的
边上时，如图3-6，延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、
M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于点N ．易得四边形EFNK
是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤1
2
S ．
综上，对任意剪得的□DEFG ，T ≤1
2
S 成立．
…………………18分
图3-3
A
B
D
E
F G
K
L
图3-4
A
B D E
F G
K
M N
图3-5 A
D
E
F G
K M
N A
B
C
D
E F
G 图3-6
K M
N
2018江苏高考数学试卷与解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；
2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
2018年江苏省高考数学试卷-最新版下载
2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，
f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
2018年江苏高考卷地理试题(解析版)
2018年高考江苏卷 地理试题 一、选择题（共60分） （一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 公元399年～412年，僧人法显西行求法，游历三十余国，其旅行见闻《佛国记》是现存最早关于中国与南亚陆海交通的地理文献。图1为“法显求法路线示意图”。读图回答下列小题。 1. 《佛国记》中有“无冬夏之异，草木常茂，田种随人，无有时节”的记载，其描述的区域是 A. 印度河上游谷地 B. 帕米尔高原 C. 斯里兰卡沿海平原 D. 塔里木盆地 2. 法显从耶婆提国乘船返回中国最适合的时间是 A. 1月～5月 B. 5月～9月 C. 9月～12月 D. 11月～次年3月 【答案】1. C 2. B 【解析】 1. 根据题干所述“无冬夏之异”，说明该地区全年气温差异不大，再结合该地区“草木常茂，田种随人，
无有时节”可以推断，该地区全年气温较高，且降水丰富。印度河上游谷地位于喜马拉雅山区，海拔较高，不会草木常茂，A项错误；帕米尔高原深居内陆，且海拔较高，冬季漫长，气温较低，B项错误；斯里兰卡沿海平原地势平坦，且为季风气候，全年高温，降水丰富，符合《佛国记》的叙述，故C项正确；塔里木盆地降水少，且气温年变化大，不可能草木常茂。 2. 古代船只主要是帆船，其航行的动力来自于盛行风，从耶婆提返回中国，一路向东北前行，最适合的是遇到西南风，可以顺风而行，东南亚地区吹西南风的季节是每年的夏半年，即5～9月这段时间，故B项正确，A、C、D项错误。 图2为“某地二分二至日太阳视运动示意图”。读图回答下列小题。 3. 线①所示太阳视运动轨迹出现时的节气为 A. 春分 B. 夏至 C. 秋分 D. 冬至 4. 该地所属省级行政区可能是 A. 琼 B. 新 C. 苏 D. 赣 【答案】3. D 4. B 【解析】 3. 根据太阳视运动图，二分二至，太阳高度角最高的时候，太阳方位都位于该地的正南方向，所以该地区位于北回归线以北，①所示节气，日出东南方向，日落西南方向，此时太阳直射南半球，所以其太阳视运动轨迹出现的节气为冬至。故D项正确，A、B、C项错误。 4. 根据①所示太阳视运动图和第1问可知，该地冬至日的正午太阳高度角约为23°，又因为该地位于北回归线以北，可以假设当地纬度为α，则冬至日该地的正午太阳高度角公式为：23°=90°-（α+23.5°），该地纬度约为43.5°N，琼、新、苏、赣四个省级行政区，琼、苏、赣三省的纬度均低于40°N，43.5°N 横穿新。故B选项正确，A、C、D项错误。