【9.19-20初二数学专题二】——《轴对称图形易错点及常考题型解题技巧》

《专题二》轴对称图形相关

——《轴对称图形易错点及常考题型解题技巧》

说明一:本专题一节课罗列轴对称图形历届学生易错点题型，归纳总结常考题型及解题技巧。

说明二：本专题为【学习有方】工作室授课材料，其中所涉及的所有题目及解析均系原创，请勿外传！

【学习目标】

【目标 1】掌握轴对称图形与轴对称的区别；

【目标 2】掌握轴对称图形的性质及中垂线定义，会用性质解决最短路径问题

【目标 3】掌握角分线尺规作图法及性质定理

【目标 4】掌握等腰三角形、等边三角形性质

【目标 5】掌握直角三角形斜边中线定理及其推论（含30°直角三角形问题）

?第一部分本专题知识总结

一、轴对称图形知识框架

二、基础复习讲演

●基础一：轴对称图形与轴对称的区别；

●基础二：线段、射线、直线的轴对称性及对称轴数量（历届学员初学时均易错）

●基础二：轴对称图形与轴对称的性质，角平分线、垂直尺规作图的过程；

●基础三：等腰三角形等边对等角与等角对等边的证明；

●基础四：斜边中线定理及其推论，——斜边中线等于斜边一半，30°所对直角边为斜边的一半

第二部分历届有方学员易错的轴对称问题-课前完成13题

1.如图所示的是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏

的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方

的一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（）

A．2步 B．3步 C．4步 D．5步

2.如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，某青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关

于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3

跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（）

A．4 B．5 C．6 D．8

3.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，

使得整个阴影部分组成的图形是一个轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.下列图形中对称轴最多的是（）

A．等腰梯形 B．底角为50度的等腰三角形 C．直角 D．线段

5.如图，在3×4的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，

使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有（）

A．7处 B．4处 C．3处 D．2处

6.野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这

块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有

A．4种 B．3种 C．2种 D．1种

7.线段是轴对称图形，它有条对称轴．

8.小明用计算器按一个三位数，当数字图象垂直面对镜子时，在镜子里

看到的这三位数是“285”，则实际所表示的三位数是．

9.一个汽车牌照号码在水中的倒影为，则该车牌照号码为．

10.如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，

这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3= ．

11.1小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是。

12.等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为；

13.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是

第三部分-专题讲解提升——轴对称常考题型及考试技巧

(一)题型总结一：多边形对称轴个数问题（课前不用做）

请做出正三角形，正方形，正五边形，正六边形，并作出它们的对称轴，你发现了什么规律？

总结：

(二)题型总结二：翻折问题汇总——平行，内角和为隐藏条件(课前试做5,6,7,8)

1.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于度．

2.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，

那么矩形纸片ABCD的面积为

第1题第2题

3.小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；

展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm．

4.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积

为 cm．

5.如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，

如图（2）所示，则∠C=度．

（第5题）（第6题）

6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AE F= cm2．

（第7题） （第8题） 7. 如图，△ABC 中∠A=30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD

沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B= 度．

8. 如图一张长方形纸片ABCD ，其长AD 为a ，宽AB 为b （a ＞b ），在BC 边上选取一点M ，将△ABM 沿AM 翻折后B 至B′

的位置，若B′为长方形纸片ABCD 的对称中心，则a

b 的值为 ．

(三) 题型总结三：填充图形对称的个数问题（课前试做9,10）； 9.

如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_______个

10. 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形按图示位置摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形

组成的新图形是一个轴对称图形．这样的移法共有_______种．

(四) 题型总结四：和轴对称有关的尺规作图及最短路径问题（最小值）问题；

11. 如图，要在公路MN 旁修建一个货物中转站P ，分别向A 、B 两个开发区运货。 （1）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？——距离相等问题 （2）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？——最短路径问题 （分别在图上找出点P ，并保留作图痕迹）

M

N

.

A .

B 第（2）题图

M

N

.

A .

B

12. 纯尺规：已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且到∠AOB 的两边的距离相等．

13. 课前试做：如图，两个班的学生分别在M 、N 两处参加植树劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一茶水供应点

P ．为节省劳力，要求P 到两道路的距离相等，且P 到M 、N 的距离的和最小，问点P 应设在何处 （保留作图痕迹）．

14. （课前试做）茅坪民族中学八⑵班举行文艺晚会，桌子摆成两直条OB

15. 如图所示，∠ABC 内有一点P ，在BA 、BC 边上各取一点P 1、P 2，使△PP 1P 2的周长最小．

A

M

N

B

C

16. 如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）．

(五) 方程方法的应用：黄金三角形

1、 (课前试做)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，求∠A ，∠ADB 的度数

.

2、如图：在△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，DA=DE=EB ，则∠A= 度

3、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD=DE, ∠BAD=20°,求∠DAE

4、在△ABC 中，∠ACB=90°，BE=BC ，AD=AC, 求∠DCE

(六) 分割三角形为若干等腰三角形题型（难点，试做第1题）

1. 已知ABC △中，90A ∠=，67.5B ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面

给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

A B

C

备用图①

A B

C

备用图②

A

B

C

备用图③

E D

C

B

A A

B

C

D

2. 已知ABC △中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求

ABC ∠与C ∠之间的关系．

3. 在△ABC 中，∠B=36°，过点A 作线段AD 交BC 于D ，把△ABC 分为两个等腰三角形，则满足上述条件的△ABC 不同

形状的共有多少个？试画图说明，并求出∠ABC 的度数

(七) 构造含30的直角三角形：

如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC?于点D ，求证：BC=3AD ．

交AB 、AC 于E 、F 。

②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有， 请分别指出它们。另第①问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗？

③若△ABC 中，∠B 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F 。如图

（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 间的关系如何？为什么？

A

(2)

E

F C

B

A

O (3)

E

F

C

B

A

O

(1)

E F C

B

A

O

E

A

F

C G

B

E 综合题能力提升——课后练笔

1. 如图所示，在等边三角形ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所

学的知识说明BE=EF=FC 的道理。 2. 已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．

求证：∠B=∠E ．

3. 已知AD 是△ABC 的∠ABC 平分线，EF 垂直平分AD ，BC=CF

① AD=AE ②2∠DFB=∠ACB-∠B ③BF-AF=2MC

4. 已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB

分别与线段CF ， AF 相交于P ，M ． (1)求证：AB =CD ；

(2)若∠BAC =2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．

5. 已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF

交BC 于G ．求证：EG=GF ．

E

F

C

B

A

O

F

M P

E D C

B A

6. 如图，等边△ABC ，AD=EC ，D 是AC 的中点（1）求证：BD=DE (2)若将D 是AC 的中点改为D 是AC 上任意点，上述结论还成立吗？若成立，请画图并证明

7. 上题变式问题：如图等边△ABC 和等边△CDE ，点P 为射线BC 一动点，角APK=60°，PK 交直线CD 于K 。 （1） 试探索AP 、PK 之间的数量关系；

（2） 当点P 运动到BC

火箭专区．

1. 如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上．△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，

△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 6B 6A 7的边长为

2. 如图所示，∠ABC 内有一点P ，在BA 、BC 边上各取一点P 1、P 2，使△PP 1P 2的周长最小，并求出满足题意条件时，

∠P 的度数与∠B 的关系

3. 阅读下文，再回答问题：

你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形ABCD 是一矩形的球桌台面，有两个球位于P ，Q 两点上，先找出P 点关于CD 的对称点P ′ ，连接P ′Q 交CD 于M 点，则P 处的球经CD 反弹后，会击中Q 处的球。 请回答：如果使P 球先碰撞台边CD 反弹碰撞台边AB 后，再击中Q 球，如何撞击呢?（画出图形）

4.如图（l ) ，凸四边形ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边

形ABCD的一个半等角点．

( l ）在图（3 ）正方形ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。

( 2 ）在图（4 ）四边形ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.

( 3 ）若四边形ABCD 有两个半等角点P1、P2（如图（2 ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点。