2017福建省高中数学竞赛预赛试题

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ?≠?，则实数a 的

取值范围为。

【答案】 (15)-，

【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。若A B ?=?，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ?≠?时，a 的取值范围为(15)-，。

2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，

3()f x x =，则9

()2

f = 。

【答案】

【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。又()f x 为奇函数，

∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111

()()()()22228

f f f ==--=--=。

3．已知

{}n a 为等比数列，且120171a a =，若

()1f x x =

+，则

1232017()()()()f a f a f a f a ++++=L 。

【答案】 2017

【解答】由2

()1f x x

=+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x

+=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====L 。

∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=L 。 ∴ []12320172()()()()f a f a f a f a ++++L

[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++L

22017=?。

∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a ++++=L 。

4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为。

【答案】

【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同

分配方案有3

735C =种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3

块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）

其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2510C =种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）

所以，所求的概率为

102

357

=。 5．三棱锥P ABC -中，ABC △

是边长为

PB PC ==P BC A --的大小为45?，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为。

【答案】 25π

【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。

由ABC △

是边长为

PB PC ==

AD BC ⊥，PD BC ⊥

，PD =

∴ PDA ∠为二面角P BC A --的平面角，

45PDA ∠=?，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。

作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。

∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。

设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。则O 在直线1PO 上，且2

2211PO PO O A OA -+=。

∴ 222(1)2R R -+=，5

R =，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2425R ππ=。

6．已知P 为双曲线C ：22

1412

x y -

=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为。

【答案】

【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙与12PF F △三边相切的切点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得

121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-

()()2D D D x c c x x =+--=

∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。

设00()P x y ，

，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。

∴ 221(64)(460)14PF =++-=，

222(64)(460)10PF =-+-=。

设12PF F △内切圆半径为r ，则

1212121

()162

PF F S PF PF F F r r =++?=△。

另一方面，

1212011

84616622

PF F S F F y =??=??=△。

∴ 16166r =，6r =。

7．在ABC △中，内角A 、B 、

C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22

A A

C C =-，3

cos 5

A =

，4a =，则ABC △的面积为。【答案】 6 【解答】由sin cos

(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222

A A A C C =-。 ∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。 ∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。 ∴ sin sin 2sin C

B A +=，即2c b a +=。又3

cos 5

A =

，4a =。 ∴ 22242cos b c bc A =+-，即2223

4(8)2(8)5

b b b b =+---?，解得3b =或5b =。

∴ 35b c =??=?，或53b c =??=?

。

∴ ABC △的面积114

sin 356225

S bc A ==???=。

8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22

(4)a b +-的最小值为。

【答案】 2

【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。

∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++

222222(1)(12)(1)()1x x ax a x x a x =++++=++++。

∵ []12x ∈，，

∴ 222(4)12a b x +-≥+≥，当1x =，1a =-，3b =时，等号成立。 ∴ 22(4)a b +-的最小值为2。

．函数()f x =的最大值为

。

【答案】 11

【解答】由柯西不等式知，

= 2271244(326)(

)11326

x x x

---≤+

+++=。

==，即9436271244x x x ==

---，8x =时等号成立。 ∴ ()f x 的最大值为11。

10.A 、B 、C 为圆O 上不同的三点，且120AOB ∠=?，点C 在劣弧?AB 内（点C 与A 、B 不重合），若OC OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r

（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围为。

【答案】 (]12，

【解答】如图，连结OC 交AB 于点D 。

设OD mOC =uuu r uuu r ，则由OC OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r

，得

OD m OA m OB λμ=+uuu r uu r uu u r 。 ∵ A 、D 、B 三点共线， ∴ 1m m λμ+=，1m

λμ+=

。不妨设圆的半径为1，作OE AB ⊥于E ，由120AOB ∠=?

，知

OE =

。 ∵ 1

OD OE ≥=，且点C 在劣弧?AB 内（点C 与A 、B 不重合），

∴

m ≤<。于是，12λμ<+≤。 ∴ λμ+的取值范围为(]12，。

另解：如图，以O 为原点，线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建立直角坐标系。

不妨设圆O 半径为2，则由120AOB ∠=?，知(31)A -，

，(31)B ，。设(2cos 2sin )C αα，。

则由OC OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r

，得

(2cos 2sin )(31)(31)ααλμ=-+，，，。

∴ 2sin λμα+=。

∵ 点C 在劣弧?AB 内（点C 与A 、B 不重合），

∴ 30150α?<

sin 12

α<≤，(]2sin 12λμα+=∈，。 ∴ λμ+的取值范围为(]12，。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．若数列{}n a 中的相邻两项n a 、1n a +是关于x 的方程20n x nx c -+=（n =1，2，3，…）的两个实根，且11a =。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设21n n b c -=，求数列{}n b 的通项公式及{}n b 的前n 项的和n T 。（必要时，可以利用：2222(1)(21)

1236

n n n n ++++++=

L ）

【解答】（1）依题意，由韦达定理，得1n n a a n ++=，1n n n c a a +=。

∴ 121()()(1)1n n n n a a a a n n ++++-+=+-=，即21n n a a +-=。 ……………… 5分 ∴ 1a ，3a ，5a ，…；和2a ，4a ，6a ，…，都是公差为1的等差数列。又11a =，2110a a =-=。

∴ 对*k N ?∈，21k a k -=，21k a k =-。

即1

n n n a n n +???=?-???，为奇数，为偶数。 ……………………… 10分

（2）由（1）知，22121221122

(1)22

n n n n n n b c a a n n n n ---+-==?=

?=-=-。 ……………………………… 15分

∴ 2222(1)(21)(1)

(123)(123)62

n n n n n n T n n +++=++++-++++=

L L (1)(1)

n n n -+=

。

……………………………… 20分

12．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）过点(21)P -，，且离心率为

22。过点P 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A 、B 两点（A 、B 与点P 不重合）。求证：直线AB 过定点，并求该定点的坐标。

【解答】依题意，有2241

1a b

+=，且222c a b a -==。

解得26a =，23b =。

∴ 椭圆C 的方程为22

163

x y +

=。 …………………………… 5分易知直线AB 斜率存在，设AB 方程为y kx m =+。

由2216

3y kx m

x y =+??

?+=?

?，得

222(21)4260k x mkx m +++-= ……… ① 设11()A x y ，

，22()B x y ，，则122421

x x k +=-+，2122

2621m x x k -=+。 …

………………………… 10分

由PA PB ⊥知，0PA PB ?=uu r uu r

。

∴ 12121212(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)0x x y y x x kx m kx m +++--=++++-+-=，即 221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++-+++-+=。

∴ 22

2264(1)(2)()2502121

m mk

k km k m m k k -+?+-+?-+-+=++。 ∴ 22384210m mk k m -+--=。 …………………………… 15分 ∴ (321)(21)0m k m k -+--=。

由直线AB 不过点(21)P -，

，知210m k --≠。 ∴ 3210m k -+=，2133m k =-，直线AB 方程化为21

y kx k =+-。

∴ 直线AB 过定点21

()33

D --，。 …………………………… 20分

13．如图，PA 、PBC 分别是圆O 的切线和割线，其中A 为切点，M 为切线PA 的中点，弦AD 、BC 相交于点E ，弦AB 延长线上的点F ，满足FBD FED ∠=∠。

求证：P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。【解答一】由PA 为圆O 的切线知，

180PAD ABD ∠+∠=?。

又180FBD ABD ∠+∠=?， ∴ PAD FBD FED ∠=∠=∠。

∴ EF AP ∥。 ………………… 5分（1）若M 、B 、D 三点共线。设直线AB ，DP 交于点1F 。

则由塞瓦定理知，

111PF AM DE

MP F D EA

??=。 …………………………… 10分

∵ AM MP =， ∴

11PF AE

F D ED

=，1EF AP ∥。又点F 、1F 均在直线AB 上，因此F 、1F 重合。

∴ P 、F 、D 三点共线。 ……………………………… 15分（2）若P 、F 、D 三点共线。设直线DB 、AP 相交于点1M 。则由塞瓦定理知，

111AM PF DE

M P FD EA

??=。 ∵ EF AP ∥，PF AE

FD ED

， ∴

11AM M P

=，11AM M P =，1M 为PA 的中点M 、1M 重合。

∴ M 、B 、D 三点共线。

由（1）、（2）可得，P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。

………………………………………………… 20分

D （第13题）

【解答二】由FBD FED ∠=∠知，B 、F 、D 、E 四点共圆。

∴ AFE BDE ∠=∠。

由PA 为圆O 的切线知，BDE PAF ∠=∠。 ∴ AFE BDE PAF ∠=∠=∠。 ∴ EF AP ∥。………………… 5分（1）若M 、B 、D 三点共线。连结BM 、DP 、DF 。由M 为切线PA 的中点知，

22MP MA MB MD ==?，即

MP MB

MD MP

=。 ………………… 10分

∴ MPB MDP △∽△。 ∴ MDP MPB APB ∠=∠=∠。

又由B 、F 、D 、E 四点共圆以及EF AP ∥知，

MDF BDF BEF APB ∠=∠=∠=∠。 ∴ MDF MDP ∠=∠。

∴ P 、F 、D 三点共线。 ………………… 15分（2）若P 、F 、D 三点共线。

设直线DB 、AP 相交于点1M ，则11PDM FDB FEB M PB ∠=∠=∠=∠。又11PM B DM P ∠=∠， ∴ 11M PB M DP △∽△。 ∴ 2111M P M B M D =?。又2111M A M B M D =?，

∴ 2211M P M A =，11M P M A =。因此，1M 为PA 的中点，M 、1M 重合。 ∴ M 、B 、D 三点共线。

由（1）、（2）可得，P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。

………………………………… 20分

14．已知0a >，()ln(21)244x f x x ax ae =++-+。（1）当1a =时，求()f x 的最大值；

（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由。

【解答】（1）当1a =时，()ln(21)244x f x x x e =++-+，2

()2421

x f x e x '=

+-+。 ∵ 1

x >-时，2

4()40(21)x f x e x ''=--<+， ∴ ()f x '在1

()2

-+∞，上为减函数。

又(0)2240f '=+-=，

∴ 1

x -<<时，()0f x '>；0x >时，()0f x '<。

∴ ()f x 在区间102??

- ???

，上为增函数，在[)0+∞，上为减函数。 ∴ 1a =时，()f x 的最大值为(0)0f =。 ……………………………… 5分（2）2

()2421

x f x a ae x '=

+-+，2

4()4(21)x f x ae x ''=--+ 当0a >，且1

2x >-时，()0f x ''<。

∴ ()f x '在1

()2

-+∞，上为减函数。

∵ 1

x →-时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→-∞。

∴ ()f x '存在唯一实根，设此根为0x 。则 01

x x -

<<时，()0f x '>；0x x >时，()0f x '<。 ∴ ()f x 在区间012x ??

- ???

，上为增函数，在[)0x +∞，上为减函数。()f x 有最大值0()f x 。 ……………………………………… 10分

① 当1a =时，由（1）知，()f x 有唯一零点。

② 当01a <<时，由(0)224220f a a a '=+-=->知，00x >。 ∴ 0()(0)440f x f a >=-+>。

又1

x →-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →-∞。

∴ ()f x 在区间01

()2

x -，，0()x +∞，

内各有一个零点。 ∴ 当01a <<时，()f x 有两个零点。 …………………… 15分

③ 当1a >时，由(0)220f a '=-<，知01

x -<<。

由0002()24021x f x a ae x '=

+-=+，知002

4221

x ae a x =++。 ∴ 00000002

()ln(21)244ln(21)2(

2)421

x f x x ax ae x ax a x =++-+=++-+++ 0002ln(21)22421x ax a x =++-

-++，（01

x -<<）。设2

()ln(21)22421

g x x ax a x =++-

-++。 ∵ 1

02x -<<时，224()2021(21)g x a x x '=

++>++， ∴ ()g x 在区间102??

- ???

，上为增函数。 ∴ 1

x -<<时，()(0)220g x g a <=-<。于是，0()0f x <。

∴ 1a >时，()f x 不存在零点。

综合得，当01a <<时，()f x 有两个零点；当1a =时，()f x 只有1个零点；当1a >时，

()f x 不存在零点。 …………………………… 20分

15．设1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是5个正实数（可以相等）。证明：一定存在4个互不相同的下标i ，j ，k ，l ，使得

i k j l a a a a -<。【解答】不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，考虑以下5个分数：

12a a ，34a a ，15a a ，23a a ，45

a ，……………………… ① 它们都属于区间(]01，。 …………………………………… 5分

把区间(]01，分成两个区间：102?? ???，和112?? ???，

，由抽屉原理知，区间102?? ???，或112??

???

，中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a ，b ，c ）。

………………………………………… 10分

将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（12a a 与45

a a 是相邻的）。即a ，

b ，

c 中至少有两个数是相邻的。

………………………………………… 15分

假设a 与b 相邻，则12

a b -<

。另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同。

于是，a 、b 对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。

因此，结论成立。 ………………………………… 20分

2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________. 2.若实数y x ,满足1cos 22 =+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110 9:2 2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{ 1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ?中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3 π = ∠A ，ABC ?的面积为 3，则?的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有 n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k ,为实数，不等式12 ≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .

2017年全国数学竞赛真题AB卷

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数 x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时，)9 (log )(2x x f ，则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足 1cos 22y x ，则y x cos 的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:2 2y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P 中，1AB ，2AP ，过AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5的概率为__________. 7.在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3A ，ABC 的面积为3，则AN AM 的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足：20171010b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a 12，n n b b 21，则11b a 的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k,为实数，不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明：22a b . 10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321x x x ，求)53)(53(3 21321x x x x x x 的最小值和最大值.

2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，2a = ，3a =1201172017 a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 . 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 . 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 . 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 . 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222 0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 . 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式|2||52|x x a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.

2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号________________________得分______________ 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x，y满足：4 x4 － 2 x2 ＝3，y4＋y2＝3，则 4 x4 ＋y4的值为（）（A）7 （B）1＋13 2 （C） 7＋13 2 （D）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）（A）5 12（B） 4 9 （C） 17 36 （D） 1 2 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A）6条（B）8条（C）10条（D）12 4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O作正△ABC，点D 为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）（A） 5 2 a（B）1 （C） 3 2 （D）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－1 4有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______． 9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______． 10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） 11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交

全国初中数学竞赛试题及答案(2017年)

2017年全国初中数学竞赛试题考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答 2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1 、设x = (1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 2、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ?=++。如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ?=，那么(,)x y 为（ B ）。 A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223 cos sin 4 A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ） A ．83- B ．53- C ．1 D ．11 3 4、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ?＝，BCF 3S S ?＝，CEF 4S S ?＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定 5、设3333 1111 S 1232011 ＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另A B C E D F

2017年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 有f (x +3)·f (x ?4)=?1.又当0?x <7时，f (x )=log 2(9?x )，则f (?100)的值为. 2.若实数x,y 满足x 2+2cos y =1，则x ?cos y 的取值范围是. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为x 29+y 2 10 =1，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAP F 的面积的最大值为. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 5.正三棱锥P ?ABC 中，AB =1,AP =2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱P C 与平面α所成角的余弦值为. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集K ={(x,y )|x,y =?1,0,1}.在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为√5的概率为. 7.在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若∠A =π3，△ABC 的面积为√3，则# ?AM ·# ?AN 的最小值为. 8.设两个严格递增的正整数数列{a n },{b n }满足：a 10=b 10<2017，对任意正整数n ，有a n +2=a n +1+a n ,b n +1=2b n ，则a 1+b 1的所有可能值为. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设k,m 为实数，不等式|x 2?kx ?m |?1对所有x ∈[a,b ]成立.证明：b ?a ?2√2.10.设x 1,x 2,x 3是非负实数，满足x 1+x 2+x 3=1，求(x 1+3x 2+5x 3) x 1+x 23+x 35 的最小值和最大值. 11.设复数z 1,z 2满足Re (z 1)>0,Re (z 2)>0，且Re (z 21)=Re (z 22)=2(其中 Re (z )表示复数z 的实部 ). 2017年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷 )

2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试(A) 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．已知实数 a , b , c 满足 2a + 13b + 3c = 90 ， 3a + 9b + c = 72 ，则 3b + c ＝（） a + 2b A. 2． B. 1． C. 0． D. -1．【答】B. 已知等式可变形为 2( a + 2b ) + 3(3b + c ) = 90 ， 3( a + 2b ) + (3b + c ) = 72 ，解得 a + 2b =18 ， 3b + c =18 ，所以 3b + c = 1. a + 2b 2．已知△ ABC 的三边长分别是 a , b , c ，有以下三个结论：（1）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2 , b 2 , c 2 为边长的三角形一定存在；（3）以 | a - b | +1,| b - c | +1,| c - a | +1 为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为（） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．【答】C. 不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a . （1）因为 b + c > a ，所以 b + c + 2 2 2 b + c > a ，故以 a , b , c 为 bc > a ，即 ( b + c ) >（ a ），即边长的三角形一定存在；（2）以 a = 2, b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以 a 2 = 4, b 2 = 9, c 2 =16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以 | a - b | +1 = a - b + 1,| b - c | +1 = b - c + 1,| c - a | +1 = a - c +1 ，故三条边中 | c - a | +1 大于或等于其余两边，而（| a - b | +1）+（| b - c | +1）=（a - b + 1）+（b - c +1）=a - c + 1 + 1 > a - c + 1 =| c - a | +1 ，故以 | a - b | +1 ， | b - c | +1 ， | c - a | +1 为边长的三角形一定存在. 3．若正整数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c 且 abc = 2( a + b + c ) ，则称 ( a , b , c ) 为好数组.那么，好数组的个数为（） A. 1． B ．2． C ．3． D ．4．【答】C. 若 ( a , b , c ) 为好数组，则 abc = 2( a + b + c ) ≤ 6c ，所以 ab ≤ 6 .显然， a 只能为 1 或 2. 若 a ＝2，由 ab ≤ 6 可得 b = 2 或 3， b = 2 时可得 c = 4 ， b = 3 时可得 c = 5 2 （不是整数）；若 a ＝1，则 bc = 2(1 + b +c ) ，于是可得 (b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得 ( a , b , c ) ＝（1，3，8）或（1，4，

2017年全国高中数学联合竞赛竞赛二试(B卷)试题和参考答案

一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集 12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ， CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈ ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈ ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 (1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此2 22(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集 12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ， CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2017 年全国初中数学联合竞赛试题 2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30 第一试(A) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b +=+ （） A. 2 B. 1 C. 0 D. - 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为（） A. 1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则 DO OB = （） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3

第4题图第5题图 5．设A是以BC为直径的圆上的一点，AD⊥BC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝（） A. B. C. D. 6．对于正整数n，设a n 的整数，则 123200 1111 ... a a a a ++++=（） A. 191/7 B．192/7 C．193/7 D．194/7 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1 =a的值为______ _． 2．如图，平行四边形ABCD中，0 72 ABC ∠=，AF BC ⊥于点F，AF交BD于点E，若DE=2AB，则AED ∠=______． 3．设m,n是正整数，且m>n. 若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．

2017年全国初中数学竞赛试题

2017年全国初中数学竞赛试题考试时间：2017年3月20日9：30——11：30 满分：150分答题时注意： 1、用圆珠笔或钢笔作答； 2、解答书写时不要超过装订线； 3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设3 2 x = ，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、2 2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v ）△（x, y ）＝（u, v ）,那么（x, y ）为（） A 、（0, 1） B 、（1, 0） C 、（﹣1， 0） D 、（0, ﹣1） 3、已知A ，B 是两个锐角，且满足225sin cos 4 A B t +=，2223cos sin 4 A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（） A 、8 3 - B 、53 - C 、1 D 、 113 4、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ?＝，3BCF S S ?＝，4CEF S S ?＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（）

5、设33331111+ +++1 232011 S ＝，则4S 的整数部分等于（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数a, b （其中b<2017），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 . 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图，双曲线2 y x = （0x >）与矩形OABC 的边BC ， BA 分别交于点E ， F ，且AF ＝BF ，连结EF ，则△OEF 的面积为 . 9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为 . 第4题图

2017年高教杯全国大学生数学建模竞赛B题

2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。（2个问题分开讨论。先找出原因，层次分析之类） 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。（优化） 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。附件一：已结束项目任务数据附件二：会员信息数据附件三：新项目任务数据

2017年全国初中数学联赛初二卷和详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3 2 b c a b + + 的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1， 111 135 a b c ++= +++ ，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.460 5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 7.=a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为 ________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且 3 8ab p a b = + 为质数.则p的值为________.

10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求 222 a b c a b c ++ ++ 的最小值.

2017年全国初中数学竞赛试题及答案

2017年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数a ，b ，c ，满足????? a ＋2b+3c ＝02a ＋3b+4c ＝0 则ab +bc +ca a 2+ b 2+ c 2的值为（）（A ）—12 （B ）0 （C ）1 2 （D ）1 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个非零实根x 1，x 2，则下列关于x 的一元二次方程中，以1 x 12，1 x 2 2为两个实根的是（）（A ）c 2x 2+(b 2－2ac )x +a 2=0 （B ）c 2x 2—(b 2－2ac )x +a 2=0 （C ）c 2x 2+(b 2－2ac )x —a 2=0 （D ）c 2x 2—(b 2－2ac )x —a 2=0 3．如图，在R t △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（）（A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：x y *= 3x 3 y +3x 2y 2 +xy 3 +45 (x +1)3+(y +1)3—60 ，且x y z= x y z ****（），则2013201232****…的值为（）（A ）607967 （B ）1821 967 （C ）5463 967 （D ）16389 967 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设a ，b 是a 2的小数部分，则(b +2)3的值为____________． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是____________． 8．已知正整数a ，b ，c 满足a +b 2—2c —2=0，3a 2—8b +c =0，则abc 的最大值为__________． 9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程x 2+cx +d =0的两根为a ，b ，一元二次方程x 2+ax +b =0的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为___________________________________． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________ 支圆珠笔．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，抛物线y =ax 2+bx —3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且 OB =OC =3OA ，直线y =—1 3x 2+1与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE ．（第4题) A B E D （第7题) A B C O D E （第3题)

2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题 (1)

第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题（预赛）（2017年10月28日）先自己做一遍，别看答案。填空题分值很高；有原题；不难。斯托克斯公式应会让很多同学忽略。一、填空题（本题满分42分，共6小题，每小题7分） 1、已知可导函数()f x 满足0()cos 2()sin 1x f x x f t tdt x +=+? 则 ()f x =__________。 2 、极限(2limsin n →∞=____________。 3、设 (),w f u v =具有二阶连续偏导数，且,u x cy v x cy =-=+，其中c 为非零常数，则21xx yy w w c -=_____________。 4、设()f x 有二阶连续导数，且''(0)0=0(0)6f f f ==、（），，则()24sin lim n f x x →∞=___________。

5、不定积分()sin 2sin 21sin x e x I dx x -==-?______________。 6、记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分 _________V zdxdydz =???。二、（本题拿满分14分）设二元函数(),f x y 在平面上有连续的二阶偏导数，则任何角度α,定义一元函数，()()cos sin g t f t t ααα=，，若对任何α都有 22()()00dg t d g t dt dt αα=>且，证明()0,0f 是(),f x y 的极小值。

三、（本题满分14分）（斯托克斯公式，以前没考过的。）设曲线Γ为在2221,1,0,0,0x y z x z x y z ++=+=≥≥≥上从()1,0,0A 到(0,0,1B ）的一段，求曲线积分I ydx zdy xdz Γ =++?。

2017年全国高中数学联赛(四川初赛)试题及答案

2017年全国高中联合竞赛（四川初赛）试题一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1.已知函数2 ()ln f x a x x =+在1x =处有极值，则实数a 的值是（ A ） A.2- B.1- C.1 D.2 2.已知0,(,),tan ,tan αβπαβ∈是方程2 310x x ++=的两个根，则cos()αβ-的值是（ B ） A. 13 B.2 3 3.在8()x y z ++的展开式中，所有形如2(,)a b x y z a b N ∈的项的系数之和是（ C ） A.112 B.448 C.1792 D.14336 4.已知12,F F 为椭圆22 2210()x y a b a b +=>>的左、右焦点，该椭圆上存在两点,A B ，使得 123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围是（ C ） A.102(,) B.103(,) C.112(,) D.113 (,) 5.已知ABC ?中，3AB BC CA AB ?=?，则|||| || AC AB BC +的最大值是（ B ） A. 13 B.2 3 6.已知数列{}n a 满足：11))()n n n a n N =-∈，用[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则2017[]a 的个位数字是（ A ） A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7.已知函数25255()x x f x =+，则2016 1 2017()k k f ==∑______________。答案：1008。 8.设a R ∈，复数1232234,,z a i z a i z a i =+=+=+，其中i 是虚数单位。若123||,||,||z z z 呈等比数列，则实数a 的值是_______________。答案：0。 9.若(,)P x y 是双曲线22 184 x y -=上的点，则||x y -的最小值是________________。答案：2。 10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，α为过直线1BD 的平面，则α 截该正方体的截面面积的取值范围是______________。答案：。 11.已知实数123,,x x x 满足：222 12312232x x x x x x x ++++=，则2||x 的最大值是___________。答案：2。 12.设集合12345678910{,,,,,,,,,}M =，3 3 3 9{(,,)|,,,|()}A x y z x y z M x y z =∈++且，则集合A 中的元素的个数是____________。

2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考复习资料

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ?≠?，则实数a 的取值范围为。【答案】 (15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。若A B ?=?，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ?≠?时，a 的取值范围为(15)-，。 2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时， 3()f x x =，则。【答案】 1 8 【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。又()f x 为奇函数， ∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。 ∴ 391111 ()()()()22228 f f f ==--=--=。 3．已知 {} n a 为等比数列，且 120171 a a =，若，则 1232017()()()()f a f a f a f a ++++= 。【答案】 2017 【解答】由知，2 22 2212222()()211111()x f x f x x x x x +=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。 ∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+= =+=。 ∴ []12320172()()()()f a f a f a f a +++ + [][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++ 22017=?。 ∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a +++ +=。

2017年全国高中数学联合竞赛预赛试题

2017年全国高中数学联合竞赛预赛试题（高一年级）一、填空题：本大题共10小题，每小题9分，共90分. 1.已知非空集合{}{} 2|121,|2150,A x m x m B x x x =+≤≤-=--≤且A B ?，则实数m 的取值范围是 . 2.已知正项等比数列{}n a 满足65432149a a a a a a ++---=，则987a a a ++的最小值为 . 3.设函数()()32f x x ax bx c x R =+++∈，其中,,a b c 为互不相同的非零整数，且()3f a a =，()3f b b =，则a b c ++= . 4.设ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若cos 3cos 4cos A B C a b c ==，则tan A = . 5.设函数()[)125,0,236x x x f x x ??????=++∈+∞ ? ? ??????? ，则该函数图象上整点的个数为 . 6.已知O 为ABC ?的外心，D 为BC 的中点，若4,AO AD BC ?== ，则 AD = . 7.已知正实数,a b 满足()4ab a b +=，则2a b +的最小值为 . 8.设,x y R ∈，则()()22 1cos 1sin P x y x y =+-+-+的最小值为 . 9.若关于x 的方程21 x kx x =+恰有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围为 . 10.将与70互素的所有正整数按从小到大的顺序排成数列，则这个数列的第2017项为 . 三、解答题：本大题共3小题，每题20分，共60分. 11.求实数a 的取值范围，使不等式2sin 2cos 34sin 4a πθθπθ? ?--->-- ?????+ ?? ?对0,2πθ??∈???? 恒成立.