中考数学二次函数与面积最值
二次函数与面积最值
一、知识要点
二次函数中图形面积最大值求法
法1:割补法
1.三角形面积最值:作出铅垂高,找出水平宽,利用面积公式(S=1
2
×铅垂高×水平
宽)表示面积.(如图1)
2.四边形面积最值:连四边形对角线,将四边形面积最值转化为三角形面积最值.(如图1)
方法:设出动点坐标,利用面积公式表示出面积,将面积最值转化为二次函数最值.
PE为铅垂高OB为水平宽
法2:面积相等—双轨平行线
1.根据顶点找出公共边,作为底(如图);
2.根据“双轨平行线”作公共边的平行线(过顶点作公共底的平行线,再向顶点的另一侧作等距的平行线),求出平行线的解析式;若为倍数关系向两侧做等倍数距离的平行线即可;
3.平行线与抛物线的交点即为动点坐标,即一次函数与二次函数联立解方程.
二、经典例题与解析 如图,抛物线213222
y x x =??与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点D 与点C 关于x 轴对称.
(1)求点A 、B 、C 的坐标.
(2)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ,使△PBD 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)分别令y =0,x =0,求函数与x 轴、y 轴的交点;
(2)求直线解析式,因为P 点不定,所以先设P 点坐标(设横求纵),然后利用面积公式( S =12×铅垂高×水平宽)表示面积,再通过配方求最值。
【解答】
(1)解方程2132022
x x ??=,得x 1=-1,x 2=4, ∴A 点坐标为(-1,0),B 点坐标为(4,0).
当x =0时,y =-2,
∴C 点坐标为(0,-2).
(2)∵C 点坐标为(0,-2). 点D 与点C 关于x 轴对称.∴D 点坐标为(0,2) 设直线BD 的解析式为y =kx +b ,则
0420k b k b =+??=+?
解得 122
k b ?=????=? ∴直线BD 的解析式为y =?
122x + 如图:
作PE ∥y 轴交BD 于E ,设P (m ,
2132)22m m ??,则E (m ,122m ?+) ∴PE =211322222m m m ?+???=-2142
m m ++ ∴S △PBD =
12?PE ?(x B -x D )=1(2?-2142m m ++)?4=228m m ?++=()219m ??+ ∵-1<0,
∴m =1时,△PBD 的面积最大,面积的最大值为9.
∴P (1,-3)
中考数学二次函数压轴题(含答案)
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;
故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:
二次函数动点面积最值问题
二次函数最大面积 例1如图所示,等边△ ABC中,BC=10cm,点R, P?分别从B,A同时岀发,以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动,当移动时间 练习 1如图,在矩形ABCD中,AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动,如果P,Q同时岀发,分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒,五边形APQCD的面积是Scm ,写岀S与t函数关系式,并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时,S最小?并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图,在△ ABC 中,/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ,点P 从点 2cm/S的速度移动,点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm,CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时,求x的值。 4 4如图所示,边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合),连接OD,过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时,求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值?若存在,请求出最大值,t的值; 若不存在,请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示,在梯形ABCD中,AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中,/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q,R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动, (1) (2) t秒时梯形 I上,且C,Q两点重合,如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时,求S的值。 当4< t < 10时,求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2
(完整版)初三数学二次函数较难题型
一、二次函数解析式及定义型问题 ( 顶点式中考要点 ) . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y (x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上,则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2(x 3)2 ,当 X 取 x 1和 x 2时函数 值相等,当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ,当 X 取 X1 和 X2( x 1 x 2)时函数值相 等 , 则当 X 取 X1+X2时,函数值为 13. 若函数 y a (x 3)2 过(2 . 9)点,则当 X =4时函数值 Y = 14. 若函数 y (x h )2 k 的顶点在第二象限则, h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是1 . 且过(3 . 0)点求解析式? 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为6 二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于( ) (A ) 8 (B ) 14 (C ) 8 或 14( D )-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-(12-k )x+12, 当 x>1 时, y 随着 x 的增大而增大, 当 x<1 时, y 随着 x 的增大而减小, 则 k 的值应取 ( (A ) 12 ( B )11 ( C )10(D ) 9 20. 若 b 0 ,则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在 ( A ) ( A )第一象限( B )第二象限 ( C )第三象限( D )第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 的值恒大于 0 的条件是 ( ) A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y (k 3)x k2 . ( 08 绍兴)已知点3k 2 y 1 ) , 2, 1 ),形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同,这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A .若 y 1 B .若 C .若 x 1 0 y 2,则 x 1 x 2,则 x 2 y 2 D .若 x 1 10) 抛物线 x 1 x 2 x 2 ,则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位, 所得图像的解析式为 y 2x 3, A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 , c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 , (m 2 3m 4)x 5以 Y 轴为对称轴则。 M = 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y (3x 1)2 当 x 时, 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ) n 的形式,则 m . 且顶点坐标为(2,3)求解析式?(讲解对称性书写)
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存
二次函数及三角形周长,面积最值问题
二次函数与三角形周长,面积最值问题 知识点:1、二次函数线段,周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1:线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1), 如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1. (1)求抛物线的解析式; (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 拓展:在l上是否存在一点P,使PB-PA取得最大值?若存在,求出点P的坐标。
练习 1、如图,已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5). y ax x c (1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标. 2、如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC ∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
例2. (2018?莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C (0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,求线段DE长度的最大值; 练习 1x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,1、如图,抛物线y= 2
中考数学 二次函数知识点总结
中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质:
结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4.
()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.