板块类运动问题(汇编)

板块类运动问题

1.两个物体之间相对运动的问题

问题的提出：两个物体叠加起来，在外力F作用下的运动状态是需要讨论的。如果外力F过小，那么两物体是相对静止的，如果外力F过大，那么两物体是相对运动的。

两个物体间要发生相对运动的条件：两个物体间的静摩擦力必须达到最大值

此类问题的处理方法：

(1)假设两个物体相对静止，对两个物体分别写牛顿第二定律

(2)根据加速度相等，得出静摩擦力的表达式，

(3)根据静摩擦力小于最大静摩擦力，据此可以求出临界的外力F0

(4)讨论：当F>F0，两物体之间是相对运动的。对两个物体分别写牛顿第二定律，不受外力F的物体的加

速度是恒定不变的。当F

(5)注意：地面是否有摩擦力

2.两个物体之间发生相对运动后计算相对位移的问题

问题的提出：一个物体在一个木板上滑动，如果木板的长度有限，那么一定需要讨论物体是否能从木板上掉下来。

处理方法：

L，则物体恰好不从木板上掉下。（1）判断两物体共速时的相对位移与木板长度之间的关系。若x

相

（这是一个临界条件！可以求出木板的最小长度）

L，则两物体不能达到共速，物体会从木板上落下，物体离开木板时，二者的速度是不相（2）若x

相

同的。

L，则两物体能达到共速，共速后依然有一段过程，二者相对静止。

（3）若x

相

常见的情形有以下几种：

(1)最简单的问题：两个物体处于光滑的水平面上，上面的物块以初速度滑上木板，在滑动摩擦力作

用下，最终达到一个共速的状态，最后一直匀速运动下去（相对静止）。此类问题可以通过动量守恒定

律快速的解出共速的速度，进而可以通过功能关系计算相对位移。（此类问题本质上应该属于动量守恒

中完全非弹性碰撞的范畴，可以从动力学角度分析，熟悉牛顿第二定律和匀变速运动）

(2)两个物体叠加起来，只有下面木板运动，木板在外力F作用下，先匀加速后匀减速，物块恰好不

从木板上掉落，相对位移恰好为木板的长度，与物块没有什么关系。

(3)问题(1)的变体，实际上难度远超过问题(1),只需要将水平面改为粗糙的。两个物体相对运动，

一个加速，一个减速，但是水平面是粗糙的，当两个物体相对静止时，需要判断两个物体在地面摩擦力

的作用下是一起相对静止还是相对运动？这就回到了第一类问题上。典型例题：2013 新课标II

(4)两个物体叠放在斜面上，先相对运动，再相对静止或者相对运动。两个物体经过的状态都有两个，然后得计算相对位移。典型例题：2015新课标II。

方法提炼：

从以上遇到的题型可以看出。此类问题比较难的就是两个物体同时经历了两个过程，然后计算相对

位移，处理这类问题关键点在于：

(1)正确的判断出物体的运动过程

(2)V-t图像若有拐点，说明该拐点肯定是摩擦力突变的位置，注意画出摩擦力的方向。

(3)根据牛顿第二定律计算两物体在不同阶段的加速度（注意下面木板所受摩擦力大小,斜面上物体所受

摩擦力大小）

(4)尽可能的用v-t图像处理。

典型例题分析：

考点1：用牛顿第二定律分析两物体相对静止和相对运动时的加速度

例1：★★【2011 新课标】如图所示，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块．假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt(k是常数)，木板和木块加速度的大小分别为a1和a2.下列反映a1和a2变化的图线中正确的是()

【分析】：1.本题是对板块类问题模型的考察。

2.F 过小，两物体相对静止，F 过大，两物体相对运动。根据牛顿第二定律计算物体的加速度。

选A 。开始运动时F 较小，两物体之间为静摩擦力不会相对滑动，由牛顿第二定律有，kt=（m 1＋m 2）a ，解得a=k m 1＋m 2 t ，在a —t 图象中是一条直线，设1m 与m ２之间的动摩擦因数为μ，1m 的最大加

速度11

,m g

a m μ=

２当F 增大到使m 2的加速度a 2>g μ时，两物体开始分离，此时两物体之间为滑动摩擦

力，对m 1应用牛顿第二定律有，μm 2g= m 1 a 1，解得a 1=

μm 2g

m 1

为定值，在a —t 图象中是一条平行于水平t 轴的直线，对m 2应用牛顿第二定律有，kt －μm 2g= m 2 a 2，解得a 2=k m 2 t －μg ，由于k

m 2 ＞

k

m 1＋m 2

，即分离后在a —t 图象中a 2的斜率更大，故B 、C 、D 错，A 正确。

例2：★★★ 【2014·江苏·8】(多选)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为1

2μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加

速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝5

2μmg 时，A 的加速度为1

3

μg

C ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动

D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过1

2

μg

【分析】1.两个物体要相对地面滑动，F 得大于地面对B 的滑动摩擦力。

2.A 和B 之间发生相对滑动，需要计算临界力F 的大小，需要注意摩擦因数不同。

3.下面物体B 的最大加速度可以计算出！（A 对B 的摩擦力达到最大静摩擦力时加速度最大） 答案 BCD

解析 当0

2μmg

右做匀加速直线运动；当F >3μmg 时，A 相对B 向右做加速运动，B 相对地面也向右加速，选项A 错误，选项C 正确．当F ＝52μmg 时，A 与B 共同的加速度a ＝F －3

2μmg

3m ＝1

3μg ，选项B 正确．F 较大时，取物

块B 为研究对象，物块B 的加速度最大为a 2＝2μmg －3

2μmg

m ＝1

2

μg ，选项D 正确．

考点2：板块类运动的问题的运动分析

例3：★★★如图所示，质量为M 的长木板，静止放置在粗糙水平地面上，有一个质量为m 、可视为质点

的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板．从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的v-t 图象分别如图中的折线acd 和bcd 所示，a 、b 、c 、d 点的坐标为a （0，10）、b （0，0）、c （4，4）、d （12，0）．根据v-t 图象，求：

（1）物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小a 1，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小a 2，达到相同速度后一起匀减速直线运动的加速度大小为a 3

（2）物块质量m与长木板质量M之比

（3）从图像可以看出，经过多长时间两物体相对静止，求出此时两物体的位移

（4）物块相对长木板滑行的距离△s

例4：★★★【2013·新课标全国卷Ⅱ】一长木板在水平地面上运动,在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上,以后木板运动的速度-时间图像如图所示。已知物块与木板的质量相等,物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10 m/s2,求:

(1)物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数;

(2)从t=0时刻到物块与木板均停止运动时,物块相对于木板的位移的大小。

【分析】1.从v-t图像分析物块和木板的加速度，求出摩擦因数。2.物块和木板相对静止时，是一起匀减速还是分别运动，需要判断。3.计算出木板和物块的位移，计算相对位移。

【解析】(1)从t=0时开始,木板对物块的摩擦力使物块由静止开始加速,物块和地面对木板的摩擦力使木板减速,直到两者具有共同速度为止。由题图可知,在t 1=0.5s 时,物块和木板的速度相同为v 1=1m/s 。设t=0到t=t 1时间内,物块和木板的加速度大小分别为a 1和a 2,则

a 1=

11v 1

t 0.5

=

m/s 2=2 m/s 2 a 2=

011v v 4

t 0.5

-=

m/s 2=8 m/s 2 设物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2,根据牛顿第二定律, 对物块有μ1mg=ma 1 对木板有μ1mg+2μ2mg=ma 2 联立方程得:μ1=0.2 μ2=0.3

(2)在t 1时刻后,地面对木板的摩擦力阻碍木板运动,物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间的摩擦力大小为f,物块和木板的加速度大小分别为a'1和a'2,由牛顿第二定律得 对物块有f=ma'1 对木板有2μ2mg-f=ma'2

假设物块相对木板静止,即f<μ1mg,则a'1=a'2,得f=μ2mg>μ1mg,与假设矛盾,所以物块相对木板向前减速滑动,而不是与木板共同运动,物块加速度大小a'1=1a =2m/s 2

物块的v-t 图像如图中的点划线所示。此过程木板的加速度a'2=2μ2g-μ1g=4m/s 2

由运动学公式可得,物块和木板相对地面的位移分别为

x 1=2×21

1

v 2a =0.5m

x 2=2

01112

v v v 13t m 22a 8++='

物块相对木板的位移大小为x=x 2-x 1=1.125m 【答案】(1)0.2 0.3 (2)1.125m

例5：★★★★【2015·新课标Ⅱ·25】下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝35)的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石堆

A (含有大量泥土)，A 和

B 均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m (可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数μ1减小为3

8，B 、C 间的动摩擦因数μ2减小

为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变．已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l ＝27 m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.求：

(1)在0～2 s 时间内A 和B 加速度的大小； (2)A 在B 上总的运动时间．

答案(1)3 m/s2 1 m/s2(2)4 s

解析(1)在0～2 s时间内，A和B的受力如图所示，其中F f1、F N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，F f2、F N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得

F f1＝μ1F N1①

F N1＝mg cos θ②

F f2＝μ2F N2③

F N2＝F N1＋mg cos θ④

规定沿斜面向下为正．设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得

mg sin θ－F f1＝ma1⑤

mg sin θ－F f2＋F f1＝ma2⑥

联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得

a1＝3 m/s2⑦

a2＝1 m/s2⑧

(2)在t1＝2 s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则

v1＝a1t1＝6 m/s⑨

v2＝a2t1＝2 m/s⑩

2 s后，设A和B的加速度分别为a1′和a2′.此时A与B之间摩擦力为0，同理可得

a1′＝6 m/s2?

a 2′＝－2 m/s 2?

由于a 2′＜0，可知B 做减速运动．设经过时间t 2，B 的速度减为0，则有 v 2＋a 2′t 2＝0? 联立⑩??式得t 2＝1 s

在t 1＋t 2时间内，A 相对于B 运动的距离为 x ＝???

?12a 1t 21＋v 1t 2＋12a 1′t 22－ ????12a 2t 21＋v 2t 2＋12a 2′t 22

＝12 m ＜27 m ?

此后B 静止不动，A 继续在B 上滑动．设再经过时间t 3后A 离开B ，则有 l －x ＝(v 1＋a 1′t 2)t 3＋12a 1′t 2

3? 可得t 3＝1 s(另一解不合题意，舍去)? 设A 在B 上总的运动时间t 总，有 t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝4 s

用v-t 图像解：

考点3：三个物体之间的物体相对运动问题

例6：★★★★【2017 新课标III25 20分】如图，两个滑块A 和B 的质量分别为m A =1 kg 和m B =5 kg ，放

在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m =4 kg ，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A 、B 两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v 0=3 m/s 。A 、B 相遇时，A 与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g =10 m/s 2

。求

（1）B 与木板相对静止时，木板的速度； （2）A 、B 开始运动时，两者之间的距离。 解析：

（1）滑块A 和B 在木板上滑动时，木板也在地面上滑动。设A 、B 和木板所受的摩擦力大小分别为f 1、f 2和f 3，A 和B 相对于地面的加速度大小分别为a A 和a B ，木板相对于地面的加速度大小为a 1。在物块B 与木板达到共同速度前有

A

11g f m

μ= ①

1

2B

g f m μ= ②

A

2

+)3(B

g f m m m

μ=+ ③

由牛顿第二定律得

A A 1

f

m a = ④

2

B B f

m a = ⑤

2

1

3

f

f

f

-

-

=1m a ⑥

设在t 1时刻，B 与木板达到共同速度，其大小为v 1。由运动学公式有

1

1

B a v t

v =- ⑦

1

11

v a t

= ⑧

联立式，代入已知数据得

v 1 =1m/s ⑨

（2）在t 1时间间隔内，B 相对于地面移动的距离为

2

B 011

12B s v t a t =-

⑩

设在B 与木板达到共同速度v 1后，木板的加速度大小为a 2，对于B 与木板组成的体系，由牛顿第二定律有

1

3

2

()B

f

f

m

m a

+

=+ ○11

由式知，a A =a B ；再由式知，B 与木板达到共同速度时，A 的速度大小也为v 1，但运动方向与木板相反。由题意知，A 和B 相遇时，A 与木板的速度相同，设其大小为v 2.设A 的速度大小从v 1变到v 2所用时间为t 2，则由运动学公式，对木板有

2

2

1

2a v t

v =- ○12

对A 有

2

2

1

A a v t

v =+- ○13

在t 2时间间隔内，B （以及木板）相对地面移动的距离为

2

11222

12

s v t a t =-

○14 在（t 1+t 2）时间间隔内，A 相对地面移动的距离为

20

12121

s v （t +t ）-a (t +t )2

A A =

A 和

B 相遇时，A 与木板的速度也恰好相同。因此A 和B 开始运动时，两者之间的距离为

s0=s A+s1+s B

联立以上各式，并代入数据得

s0=1.9m

（也可用如图的速度-时间图线求解）

开始时AB间的距离就是A和B相对于C的相对位移，注意A相对于C的相对位移。

三个物体的运动问题的处理方法是变化成两个物体，先让两个物体相对静止，再让三个物体相对静止。此题不能用动量守恒定律解决。

考点4：板块类运动问题的动量分析和能量分析

例7：★★★如图所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的表面，由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是()

A．木板获得的动能为2 J

B．系统损失的机械能为4 J

C．木板A的最小长度为2 m

D．A、B间的动摩擦因数为0.1

答案：D

板块类运动问题的动量守恒，功能分析

例8：★★★★【2010 新课标10分】如图所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，

右方有一竖直的墙。重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为。使木板与重物

以共同的速度向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短。求木板从第一次与墙碰

撞到再次碰撞所经历的时间。设木板足够长，重物始终在木板上。重力加速度为g。

分析：

1.木板与墙发生弹性碰撞后，木板向左以速度v0匀减速，重物以速度v0向右匀减速。

2.木板与重物之间靠的是摩擦力提供加速度，因此由牛顿第二定律可以分析出，木板速度先减为零。之后，重物开始做匀减速，木板做匀加速，最后二者共速了。再做匀速直线运动，直到与墙碰撞。【过程分析清楚】

3.对木板和重物系统，写动量守恒定律可以求出最后的共同速度v。【基础】

4.对木板写动量定理，求出匀加和匀减的时间。【难点】

5.对木板用匀变速运动的位移公式，求出共速时木板距离墙的距离。然后利用匀速直线运动公式求

出匀速时间【易忽略】

【命题立意】本题以木板和重物系统以一定动量碰撞墙、反弹、再碰撞、再反弹……多过程直至静

止于墙壁处，考查考生对多过程问题的分析，求出待求物理量。

【思路点拨】解答本题可按以下思路分析：

【规范解答】

木板第一次与墙碰撞后，木板的速度反向，大小不变，此后木板向左做匀减速直线运动，直到静止，再反向向右匀加速直线运动直到与重物达到共同速度v，再往后是匀速直线运动，直到第二次碰撞墙。设木板的质量为m，重物的质量为2m，取向右为动量的正向，由动量守恒得

①

设木板从第一次与墙碰撞到重物和木板具有共同速度v所用的时间为t1，对木板应用动量定理得

②

由牛顿第二定律得③式中a为木板的加速度。

在达到共同速度v时，木板离墙的距离l为④

开始向右作匀速运动到第二次与墙碰撞的时间为⑤

木板从第一次与墙碰撞到第二次碰撞所经历的时间为⑥

由以上各式得：⑦