《数学分析选讲》课程教学大纲

浙江教育学院

《数学分析选讲》课程教学大纲

一、课程基本情况

课程代码:22022

总学时数:50

课程类型:专业选修课

适用对象:数学与应用数学专业四年制本科

二、课程性质和目标

1、课程的基本特性

《数学分析选讲》是本科数学与应用数学专业的专业选修课,是在数学分析的基础上的提高和拓展，是对数学分析在理论上加以补充深化,在思想方法上介绍更为全面,作为数学分析的后续课之一,是让学生更完整、牢固掌握函数论的基本内容和方法，促进学生研究函数论能力的提高，训练学生的基本数学技能，同时也为学习函数论的其它课程打下良好的基础. 2、课程的教学目标

通过本课程的学习，使学生从中学到分析问题和解决问题的方法和能力.提高函数论的理论水平和处理有关问题的能力，对函数论的基本思想有进一步的认识，形成解决函数论问题的思维方式.

三、课程教学方法与手段

课堂讲授+习题课训练

四、课程教学内容、要求及重点、难点

第一章一元函数极限

(一)主要教学内容

第一节(函数.

第二节(用定义证明极限的存在性.

第三节(求极限值的若干方法.

第四节(上、下极限.

(二)学习目的要求

1. 理解函数的概念及一些基本性质.

2(熟练掌握证明极限存在及求极限的值常用方法.

(三)重点和难点

1.教学重点:求极限的值;证明极限的存在性.

2.教学难点:求极限的值;证明极限的存在性;讨论序列及函数的上、下极限问题. 第二章一元函数的连续性

(一)主要教学内容

第一节(连续性的证明与应用.

第二节(一致连续性.

(二)学习目的要求

1.掌握函数连续性的证明方法及函数连续性的应用.

2.掌握函数一致连续与非一致连续的证明方法.

3.掌握一致连续与连续的区别.

(三)重点和难点

1.教学重点:连续性及一致连续的的证明;一致连续与连续的关系.

2.教学难点:一致连续的与非一致连续的证明.

第三章一元函数微分学

(一)主要教学内容

第一节(导数.

第二节(微分中值定理.

第三节(Taylor公式.

第四节(不等式与凸函数.

第五节(导数的综合应用.

(二)学习目的要求

1(掌握一元函数导数的计算及可微性的讨论. 2(掌握微分中值定理及Taylor 公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.

3 .掌握凸函数的一些基本性质.

4.掌握利用导数求最值或极值的方法，并证明一些不等式. (三)重点和难点

1.教学重点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式;掌握

利用导数求最值或极值的方法.

2.教学难点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.

第四章一元函数积分学

(一)主要教学内容

第一节(积分与极限.

第二节(定积分的可积性.

第三节(积分值估计、积分不等式及综合应用. 第四节(反常积分.

(二)学习目的要求

1(掌握积分的概念及可积性的证明.

2(掌握常用的积分技巧.

3(掌握一些积分值的估计;积分不等式的证明. 4. 掌握反常积分的计算，收敛性判断;反常积分的极限. (三)重点和难点

1.教学重点:常用的积分技巧;积分值的估计;积分不等式的证明;反常积分的计算和收敛

性判断.

2.教学难点:积分值的估计;积分不等式;反常积分的收敛性判断;反常积分的极限.

第五章级数

(一)主要教学内容

第一节(数项级数.

第二节(函数项级数.

第三节(幂级数.

第四节(Fourier级数.

(二)学习目的要求

1.掌握级数的敛散性判断的基本方法.

2(掌握函数项级数的一致收敛的判断及应用. 3(掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法;求和问题. 4(掌握求Fourier展开式的基本方法.

(三)重点和难点

1.教学重点:级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断;求幂级数的收敛域及求和

问题.

2.教学难点: 级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断. 第六章多元函数微分学

(一)主要教学内容

第一节(多元函数的极限与连续.

第二节(多元函数的偏导数.

第三节(极值.

第四节(方向导数与梯度.

(二)学习目的要求

1. 掌握多元函数的极限存在性的判断及连续性的判断.

2. 掌握多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断.

3. 掌握利用多元函数偏导数的性质解决极值问题.

4. 掌握方向导数的与梯度的概念及计算.

(三)重点和难点

1.教学重点:多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断;极值问题.

2.教学难点:多元函数可微性的判断;极值问题. 第七章多元函数积分学

(一)主要教学内容

第一节(含参变量积分.

第二节(重积分.

第三节(曲线积分与Green公式.

第四节(曲面积分Gauss公式及Stokes公式. 第五节(场论.

(二)学习目的要求

1. 掌握含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断.

2. 掌握反常积分的常用计算方法.

3. 掌握重积分及曲线积分与曲面积分的计算.

4. 掌握场论的一些基本概念.

(三)重点和难点

1.教学重点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;

重积分及曲线积分与曲面积分的计算.

2.教学难点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;重积分及曲线积分与曲面积分的计算.

五、各教学环节学时分配

其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节

6 1

7 (一)一元函数极限

4 4 (二)一元函数的连续性

7 1 8 (三)一元函数微分学

6 1

7 (四)一元函数积分学

7 1 8 (五)级数

(六)多元函数微分学 6 1 7

8 1 9 (七)多元函数积分学

总计 44 6 50

六、推荐教材和教学参考书

教材:《数学分析中的典型问题与方法》(第二版), 裴礼文编,高等教育出版社,2006. 参考书:

1(《数学分析》(第二版)，陈传璋等编,高等教育出版社，2006. 2.《分析中的基本定理和典型方法》，宋国柱编,科学出版社，2004. 3.《微积分教程》(第八版)，F.M.菲赫金哥尔茨著,高等教育出版社，2006.

大纲制订人:阮建苗

制订日期:2007年9月