2第二讲 集合中的计数问题

第二讲 集合中的计数问题

知识要点：n 个元素的集合的子集个数；容斥原理。

1. 已知集合,,A B C (不必相异)的并集{},,,A

B C a b c d =，求满足条件的有序三元组(,,)A B C 的个数.

2. 求满足{}1

2312,,,m n A A A A a a a =的集合组12(,,,)m A A A 的个数.

3. 称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”，给定数集111,,

,23100M ??=????, ①求 M 的所有非空子集的“积数”之和

②求集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和

4. 对于集合{}1,2,,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把集合中的

数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如{}1,2,4,6,9的交替

和是964216,-+-+=而{}5的交替和就是5）.对于7n =，求所有这些交替和的总和.

5.设集合{}1,2.1000M =,现对于M 的任一非空子集x .令x ?表示x 中最大数与最小数

之和，那么所有这样的x ?的算术平均值为多少？

6． 设集合{}1,2,3,

,100A ?,且对,x y A ?∈，有2x y ≠，求子集A 中所含元素个数的

最大值.

7.已知集合{}7,6,5,4,3,2=A 对于,X A ?定义()S X 为X 中所有元素之和，求全体()

S X 的总和.

8.设{}1995,,2,1 =M ,,M A ?且当A x ∈时，A x ?15,求)(A card 的最大值.

9.设{

}B n n A ,12,2,,3,2,1+= 是A 的一个子集，且B 中的任意三个不同元素z y x ,,，都 有z y x ≠+，求B 的最大值.

10.设A 是{

}2000,,2,1 的子集，)(A card ,1000≥证明：要么A 中有一个数为2的幂，要么A 中存在两个数b a ,，使b a +为2的幂.

11. 已知集合S 中有10个元素，每个元素都是两位数，求证：一定可以从S 中取出两个无

公共元集的子集，使两个子集的元素和相等.

12. 集合A 的元素都是正整数，其中最小的是1，最大的是100，除1以外，每一个元素都

等于集合A 中的两个数（可以相同）的和，求集合A 的元素个数的最小值.

13. 设{}4,3,2,1=S ，n 项的数列：n a a a ,,,21 有下列性质，对于S 的任一非空子集B B

(的元素个数记为B ),在该数列中有相邻的B 项恰好组成集合B ，求n 的最小值.

14.集A 由100个非负整数组成，集S 由所有形如y x +的数组成，A y x ∈,（允许y x =）， 问S 最多有几个数？最少有几个数？

15.设Z 是平面上由(3)n n >个点组成的点集，其中任三点不共线，又设正整数k 满足不 等式2

n k n <<.如果Z 中的每个点都至少与Z 中的k 个点有线段相连，证明：这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边.

16.一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证：可以找到4位数学

家，他们中每两人都合作过.

17.设{}100,,3,2,1 =S ,求最小的正整数n ，使得S 的每个n 元子集都含有4个两两互质 的数.

18.设集合{}m A ,,2,1 =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个-14分划1421,,,A A A ,一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素,,b a 满足4.3

b a b <<

19.在某次竞选中，各个政党共作出P 种不同的诺言(0)P >,任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党做出完全相同的诺言，证明：政党的数目不多于12

-p 个.

20.（1）如果存在n ,,2,1 的一个排列n a a a ,,,21 ，使得),,2,1(n k a k k =+都是完全平方数，则称n 为“好数”，问在集合{}19,17,15,13,11中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”，

说明理由.

（2）如果存在n ,2,1的一个排列n a a a ,,,21 使),2,1(n k a k k -=+都是完全平方数，则称n 为“好数”，问在正整数集中，哪些是“好数”，那些不是“好数”，说明理由.