八年级数学上 分式的基本性质
一. 教学内容:
1. 分式的基本性质.
2. 分式的乘除.
二. 知识要点: 1. 分式
(1)分式的概念
一般地,A 、B 表示两个整式,A ÷B 表示成A B 的形式,如果B 中含字母,式子A
B 就叫做分
式.
(2)分式有意义的条件
分式的分母不能等于0,分母等于0时,分式没有意义. (3)分式值为零的条件
分式值为零必须在分式有意义的条件下,即保证分母不等于0,同时,还必须使分子等于0.
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是:A B =A ×M B ×M ,A B =A ÷M B ÷M
(M 为整式,M ≠0). 说明:
(1)运用分式的基本性质对分式进行变形时,只能进行乘、除两种运算,并且分子与分母乘都乘、除都除.
(2)运用分式的基本性质时,同时乘或除以的必须是同一个整式. (3)运用分式的基本性质时,乘或除以的整式一定保证不等于0. 3. 分式的约分
根据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分. 4. 分式的乘法法则
分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示是:b a ·d c =bd
ac .
5. 分式的除法法则
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示是:b a ÷d
c
=
b a ·
c
d =bc ad
.
三. 重点难点:
本讲的重点内容是分式的基本性质和分式的乘除法法则,难点是分式值为零必须在分式有意义的条件下,即保证分母不等于0,同时,还必须使分子等于0.
【典型例题】
例1. 下列式子中,哪些是分式?
-3x ,3x ,x 2y -xy 23,5+3y ,x x -y ,2π
.
分析:区分分式与整式的唯一标准是看分母中是否含有字母,有字母即为分式.
解:分式有:3x ,5+3y ,x
x -y .
评析:掌握分式与整式的本质区别:分母中含字母,同时注意“π”是一种符号,而非字
母.
例2. 填空题:
(1)若分式2x -4
x +1
的值为0,则x 的值为__________.
(2)若一个分式含有字母m ,且当m =5时,它的值为12,则这个分式可以是__________.(写出一个..即可) (3)写出一个含有字母x 的分式(要求:不论x 取何数,该分式都有意义)__________.
分析:(1)若分式2x -4
x +1的值为0,必须满足两个条件:2x -4=0且x +1≠0.由此可以
得出x =2.(2)这样的分式有很多,写出一个比较简单的.假如分母是m ,当m =5时,分式
的值是12,则分子为12×5=60,所以这个分式可以是60
m .(3)分式有意义的条件是分母不为
0,当然分母中必须含有字母x ,含有字母x 且不为0的整式很多,如:x 2+1,x 4+2等.
解:(1)2(2)60m (答案不唯一)(3):1
x 2+1
(答案不唯一)
评析:对于(2)(3)题这样开放型的题目,在解答时,尽量选择较为简单的答案.
例3. 下列分式的恒等变形是否正确,为什么? (1)y x =yg
xg ;(2)a -b a +b =a 2-b 2(a +b )2
.
分析:分式恒等变形主要是应用分式的基本性质,正确与否的关键是判断所乘(除)的整
式是否可以保证不等于0.
解:(1)由左边到右边的变形是将分子分母同时乘以字母“g ”,而作为字母“g ”有可能为零.故第(1)个变形不正确.
(2)由左边到右边的变形是将分子、分母同时乘以(a +b )得到,而在分式a -b
a +
b 中可以
保证a +b ≠0,故第(2)个变形正确.
例4. 约分:
(1)-4m 3n 22m 3n 6;(2)a 2+ab a 2+2ab +b 2
.
分析:约分主要应用分式的基本性质,约去公因式即可.
解:(1)-4m 3n 22m 3n 6=2m 3n 2·(-2)2m 3n 2·n 4
=-2
n 4; (2)a 2+ab a 2+2ab +b 2=a (a +b )(a +b )2=a
a +b
. 评析:由于约分约去的是公因式,而公因式只能在乘法运算中才出现,所以要想约分就必须把分式的分子、分母写成几个因式的积的形式,所以约分的步骤为:
(1)先将分子、分母分解因数或分解因式(分子、分母为单项式时分解因数,分子、分母为多项式时分解因式).
(2)约去公因式.
另外,作为分式中分子、分母的公因式在进行确定时应这样来完成: ①公因式的系数是分子、分母系数的最大公约数.
②公因式中的字母是分子、分母中都出现的字母因式或多项式因式.
③公因式中字母或多项式的指数应是相同的字母因式或多项式因式次数最低的.
例5. 计算:(1)a 2-4a 2-4a +3·a -3
a 2+3a +2
;
(2)3ab +a 2a 2-b 2÷a +3b a -b ;
(3)(x 2y -z
2)3
.
分析:(1)式中分子分母均为多项式,要想约分,应转化为因式形式.因此,需先将分子、分母分解因式.(3)先运用分式乘方的法则,将分子、分母分别乘方,再综合运用幂的乘方和积的乘方法则计算.
解:(1)a 2-4a 2-4a +3·a -3
a 2+3a +2
=
(a +2)(a -2)
(a -3)(a -1)
·
=a -2
(a -1)(a +1) =a -2a 2-1
. (2)3ab +a 2a 2-b 2÷a +3b a -b =a (3b +a )(a +b )(a -b )·a -b a +3b =a a +b
. (3)(x 2y -z 2)3=(x 2y )3(-z 2)3=x 6y 3-z 6=-x 6y 3
z 6.
评析:(1)由上例可知,进行分式乘法运算时,分子、分母有公因式的,先约分,使运算
尽可能的简单.当分式的分子分母是多项式时,为了约分的方便,应先将分子、分母分解因式.(2)分式除法应转化为乘法进行.在转化过程中,可同时将分子分母分解因式.(3)在分式的乘方运算中,一定要注意到符号问题,并且计算结果要使分子和分母的符号都为正号.
例6. 先化简,再求值:x 2-y 2x ·2x
x 2-2xy +y 2,其中x =2,y =1.答:原式=2(x +y )x -y =6 分析:这类问题一般不急于代入求值,而是先进行分式的运算,把分式化简,再代入求值.
解:x 2-y 2x ·2x x 2-2xy +y 2
=(x +y )(x -y )x ·2x (x -y )2
=2(x +y )x -y
当x =2,y =1时,原式=2(x +y )x -y =2(2+1)
2-1=6.
【方法总结】
1. 分式有意义的条件是分母不为零;分式的值等于零的条件是分子等于零,但同时要求分母不为零.
2. 分式的约分实际上是根据分式的基本性质把分子、分母中的公因式约去.分式的除法运算应转化成乘法运算,进行分式的乘除运算时,先把分子、分母分解因式,再约去公因式.
【模拟试题】(答题时间:70分钟)
一. 选择题
1. 在下列各式代数式中,分式的个数有( )
①a 3;②x π;③x 5+y 4;④2x x ;⑤a 2-b 2a -b ;⑥2
5+y . A .3个 B .4个 C .5个
D .6个
2. 使分式x -1
x +3有意义的条件是( )
A .x ≠0
B .x ≠-3
C .x =-3
D .x ≠1,且x ≠-3
3. 若分式x 2
-4
x -2的值为0,则x 的值是( )
A .±2
B .2
C .-2
D .不存在
4. 如果把分式2x
x +y 中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( )
A .扩大3倍
B .不变
C .缩小3倍
D .缩小6倍 5. 下列各式正确的是( )
A .-x +y -x -y =-1
B .-x +y x -y =-1
C .x -x -y =-x x -y
D .x +y x +y =0
6. 化简m 2-n 2
m 2+mn 的结果是( )
A .m -n 2m
B .m -n m
C .m +n m
D .m -n m +n
7. 计算(a 2-16)÷a +4
a -4的结果是( )
A .(a +4)2
B .(a -4)2
C .1
D .-1
8. 若a +b b =52,则a b 的值为( )
A .32
B .23
C .5
2
D .25
*9. 下列计算正确的有( )
①4m +4n 4m 2+8mn +4n 2=1m +n ,②x +y +1-x +y +1=-1,③(a +b )÷(a +b )·1a +b =a +b ,④--x +11-x 2=-1x +1.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 *10. 若a ≠b ,且2a -3b =0,那么分式2a +b
a -
b 的值为( )
A .-12
B .0
C .8
D .8或-12
二. 填空题
1. 当x =__________时,分式3
x -1无意义.
2. 当x =__________时,分式x -2
x +2
的值为零.
3. 分式1
3-x
的值为正数,则x 的取值范围是__________.
4. 在括号内填上适当的式子,使等式成立:y x =( )x 2;a 2
+a ac =( )c ;x +y x -y =( )
x 2-y 2
.
5. 计算:3y 10x ÷3y 2
5x
2=__________.
6. 已知一个分式乘以2x 3-y
所得的结果是-3x 2
2,那么这个分式是__________.
*7. 若A 9-m 2=-m
m +3,则A =__________.
**8. 已知正方形和圆的周长相等,那么它们的面积比为__________.
三. 解答题 1. 计算:
(1)8x 2y 4
·(-3x 4y 6)÷(-x 2z
6z
)
(2)3a -3b 10ab ·5a 2b 2
a 2-
b 2
(3)x 2-4y 2x 2+2xy +y 2÷x +2y
x 2+xy
(4)x 2-1x 2+2x +1÷2x 2-2
4x 2+8x +4
÷(x -1)2
2. 请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.
a 2-1,a
b -b ,b +ab
3. 把分式xy
2x 2-18
化成两个分式的乘积的形式.
4. 已知x -3y =0,求2x +y
x 2-2xy +y 2
·(x -y )的值.
5. 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西
瓜的皮厚都是d (定值).已知球的体积公式为V =4
3πR 3(其中R 为球的半径),那么,
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少? (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少? (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
试题答案
一. 选择题
1. A
2. B
3. C
4. B
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B 10. C
二. 填空题
1. 1
2. 2
3. x <3
4. xy ;a +1;x 2+2xy +y 2
5. x 2y
6. 3y
4x 7. m 2-3m 8. π4
三. 解答题
1. (1)原式=8x 2y 4·3x 4y 6·6z x 2z =36x
y 2;
(2)原式=3(a -b )10ab ·5a 2b 2(a +b )(a -b )=3ab
2a +2b
;
(3)原式=(x +2y )(x -2y )(x +y )2·x (x +y )x +2y =x (x -2y )x +y =x 2-2xy
x +y ;
(4)原式=(x +1)(x -1)(x +1)2·4(x +1)22(x +1)(x -1)·1(x -1)2=2(x -1)2=2
x 2
-2x +1 2. 答案不唯一,略.
3. x 2(x +3)·y
x -3
,不唯一. 4. 原式=2x +y (x -y )2·(x -y )=2x +y x -y ,因为x -3y =0,所以x =3y ,原式=6y +y 3y -y =7
2
.
5. (1)设整个西瓜的体积为V ,西瓜瓤的体积为V 1,则V =43πR 3,V 1=4
3
π(R -d )3.
(2)V 1V =(1-d R
)3
(3)因为d 为定值,R 越大,d R 越小,1-d
R 越大,从而可食用部分占整个西瓜的比例越大,
所以购买大西瓜合算.
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15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?
反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n 可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ? 分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1 四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 一、八年级数学分式解答题压轴题(难) 1.已知分式 A =2344(1)11 a a a a a -++-÷-- (1)化简这个分式; (2)当 a >2 时,把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ,问:分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了?试说明理由; (3)若 A 的值是整数,且 a 也为整数,求出符合条件的所有 a 值的和. 【答案】(1) 22a a +-;(2)原分式值变小了,见解析;(3)11 【解析】 【分析】 (1)根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得; (2)根据题意列出算式2622 a a A B a a ++-=--+,化简可得16(2)(2)A B a a -=-+,结合a 的范围判断结果与0的大小即可得; (3)由24122 a A a a += =+--可知,2a -=±1、±2、±4,结合a 的取值范围可得. 【详解】 解:(1)A=2344(1)11 a a a a a -++-÷-- =22 1311(2)a a a a ---?-- =2 (2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22 a a +-; (2)变小了,理由如下: ∵22 a A a += -, ∴62 a B a +=+, ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+; ∵2a >, ∴20a ->,24a +>, ∴0A B ->, ∴分式的值变小了; (3)∵A 是整数,a 是整数, 则24122 a A a a += =+--, ∴21a -=±、2±、4±, ∵1a ≠, ∴a 的值可能为:3、0、4、6、-2; ∴3046(2)11++++-=; ∴符合条件的所有a 值的和为11. 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则. 2.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当0a >,0b >时,∵2()20a b a ab b -=-+≥,∴2a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号.请利用上述结论解决以下问题: (1)当0x >时,1x x +的最小值为_______;当0x <时,1x x +的最大值为__________. (2)当0x >时,求2316x x y x ++=的最小值. (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,△AOB 、△COD 的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值. 【答案】(1)2,-2;(2)11;(3)25 【解析】 【分析】 (1)当x >0时,按照公式ab a=b 时取等号)来计算即可;x <0时,由于-x >0,-1x >0,则也可以按照公式ab a=b 时取等号)来计算; (2)将2316x x y x ++=的分子分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可; (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,用含x 的式子表示出S △AOD ,四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可. 【详解】 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册数学-分式的概念
八年级上册数学-分式练习题
八年级数学上册分式解答题(篇)(Word版 含解析)
(完整版)人教版八年级数学上分式教案