中考数学总复习课时热身训练29 全等三角形
课时29．全等三角形
【课前热身】
1．如图1所示，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．
（第1题） （第2题）
（第3题）
2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去 3．如图，已知AE ∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE ≌△BCF,可添加的条件是________.
4. 在⊿ABC 和⊿A /B /C /中，AB=A /B /，∠A=∠A /，若证⊿ABC ≌⊿A /B /C /还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠B=∠B /
B. ∠C=∠C /
C. BC=B /C /，
D. AC=A /C /， 【考点链接】
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 【典例精析】
例1 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点
F. 求证：AB=CF.
B A E
F
C D
O
E
A
B
D C
例2 如图所示，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，
且AE∥BC ．求证：（1）∥AEF∥∥BCD ；（2）EF∥CD ．
【中考演练】
1. 如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠
等于（ ）
A ．60
B ．50
C ．45
D ．30
2. 如图，点P 在AOB ∠的平分线上，AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是
（第1题） （第2题） （第3题）
3. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ?沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若
50B ∠=?，则BDF ∠= __________度．
4. 如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，
DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
F
5. 如图，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 交于点E ，由这些条件你能推出哪些结论？ （不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）
﹡6.如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小.
C
B
O D
A
E
E
B
C
D
A
(完整)八年级上册数学全等三角形练习题
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 课时训练(二十)全等三角形 夯实基础 1.[2020·岳阳平江模拟]如图K20-1,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出A'B'的长等于内槽宽AB的长,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是() 图K20-1 A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 2.[2018·南京]如图K20-2,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为() 图K20-2 A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 3.[2019·三明]如图K20-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,DE⊥AB于点E,下列四个结论:①DE=DC;②BE=BC;③AD=DC;④△BDE≌△BDC.其中正确的有() 图K20-3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.[2020·北京]如图K20-4,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD,这个条件可以是.(写出一个即可) 图K20-4 5.[2020·伊春]如图K20-5,Rt△ABC和Rt△EDF中,BC∥DF,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件(答案不唯一),使Rt△ABC和Rt△EDF全等. 图K20-5 6.[2018·荆州]已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC,射线OC即M,N;②分别以点M,N为圆心,大于1 2 为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是. 图K20-6 7.[2020·齐齐哈尔]如图K20-7,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可) 图K20-7 8.[2019·广州]如图K20-8,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证:△ADE≌△CFE. 全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）. 全等三角形 一、选择题 1. (?年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（） A．如果a2=b2，那么a=b B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 考点：命题与定理． 分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项． 解答：解：A、错误，如3与﹣3； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题； C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题； D、正确，是真命题， 故选D． 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质． 2．（?四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 考点：角平分线的性质． 分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选A． 点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（?四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1） 分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出 ∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题 1．（?福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB， AC的中点，延长BC到点F，使 1 CF BC 2 ..若AB=10，则EF的长是． 教学过程： 我们上学期学习了三角形本身的一些性质，如边角之间关系等。我们把问题更深入一步想：三角形之间有什么样的关系呢？要研究这个问题，首先我们从两个完全一样的三角形去研究，也就是今天要讲的全等三角形。 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用?表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ABC? DEF ? ? ABC? DEF 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 练习：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 o O B A C D A B C D A B C D C A B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ B C A D F E （3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。 A B C D E （4）拓广探索： 如下图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN=___cm, NM=___cm, ∠ NAB=___. 5、如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． D C A B E 寻找对应元素的规律（一般地说） （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 七年级全等测试 ?选择题（共3小题） 1. 如图，EB交AC于M，交FC于D, AB交FC于N,/ E=Z F=90° / B=Z C, AE=AF,给出下列结论：①/ 1 = /2;②BE=CF③厶ACN^A ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P，BF丄AE于点F.若BP=4则PF的长（） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 二 3. 如图，OA=OC OB=OD且0A丄OB, OCX OD,下列结论：①△ AOD^A COB ②CD=AB③/ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（） D A.①② B.①②③ C?①③D.②③ 二.解答题（共11小题） 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD / EAD=Z BAC （1）求证：/ ABD=/ ACD (2)若/ ACB=65，求/ BDC的度数. B C 5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是/ BAD 的平分线，试探究AB, AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC 的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB，AF, CF之间的等量关系，证明你的结论. 6 .已知：在△ ABC中，AB=AC D为AC的中点，DE丄AB, DF丄BC,垂足分别为点E, F,且DE=DF求证：△ ABC是等边三角形. 7. 已知，在△ ABC中，/ A=90°, AB=AC点D为BC的中点. (1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE丄DF,求证：BE=AF (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE丄DF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由. 圍①图 图圏 全等三角形（三）AAS 和ASA 【知识要点】 1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 【典型例题】 例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD 例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE. 例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF. 例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE. A E B D C F O A D E B C A B O D C D F C O B A E A B D C E O 1 2 3 例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？ 【经典练习】 1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 . 3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ） ①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ） A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论： ①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN 其中正确的结论是_________ _________。(注：将你认为正确的结论填上) A B C D O 图2 图3 6．如图3所示，在△ABC 和△DCB 中，AB =DC ，要使△ABO ≌DCO ，请你补充条件________________(只填写一个你认为合适的条件). 7. 如图，已知∠A=∠C ，AF=CE ，DE ∥BF ，求证：△ABF ≌△CDE. A F D O B E C 1 2 A B C F E D M N A C B D 全等三角形第一课时教学设计 学习者特征分析 (1)起点能力水平：此阶段的学生已知道三角形的一些概念和基本性质，如边，角，顶点，角平分线，中线，高等，同时也认识一些基础图形：线、圆、正方形、长方形等。 (2)认知结构特点：大部分学生对以前所学内容掌握的比较扎实，只有少部分学生学习能力较差，跟不上教学进度。 (3)学习动机及态度：此阶段学生好奇心强，尤其在成绩较好、能力强的人身上体现更加明显，但此时期的学生叛逆心理增强，会有不少学生不再以长者的赞许为学习动力。 教材分析 本节课是新人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十一章第一课时的内容，本章围绕全等三角形，主要学习全等三角形的有关概念和性质，三角形全等的条件以及角平分线的性质，学生在七年级教材中学过了线段、角、相交线等与三角形有关的知识和一些简单的说理内容，这为全等三角形的学习奠定了基础，并且在今后学习等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等内容中都要通过证明两个三角形全等来加以解决。 教学设计理念 在教学过程中，有意创设诱人的知识情景，增加学生的好奇心、求知欲，产生自觉学习的内在动机，不断提高学生的智慧，发挥其潜力，促进学生的智能发展。 教学目标 1.知识与技能目标 (1)了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。 (2)能用符号正确表示两个三角形全等，能找出全等三角形的对应元素。2. 过程与方法目标 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，通过全等三角形有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力，通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。 3.态度价值观目标 通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神，通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，培养学生科学的学习态度及自信，互相尊重的健全人格。 教学重点和难点 重点：全等三角形的概念和性质． 难点：找出全等三角形的对应边、对应角． 教学内容本节课提出了全等形、全等三角形、全等三角形的对应顶点、对应边、对应角等概念以及利用全等三角形的概念得到全等三角形的性质，是一节基础课，是以以前学过的三角形知识为基础，根据全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等是今后证明线段和角相等的基本方法。 教学方法和手段：以互动中探究，比较中认知，组织教学，激发学生求知欲。 教学过程 一．提出问题，创设情境 1、展示生活图片（全等图形），提出问题：①指出图案中形状与大小相同的图形。 ②你还能再举出生活中的一些实例吗？ 【活动】将展示的两个图形（全等三角形）重叠在一起，要求学生观察同时引入全等形、全等三角形的概念。要求学生动手剪一剪 2．学生自己动手（每小组四名同学自主探讨） 剪出一个三角形，找两个学生到黑板上演示将三角形平移、翻折、旋转后的图形画出来。并观察与原三角形有何联系（引导学生观察图形，得出结论） 3．获取概念 一、填空题（每小题4分,共32分）. 1．已知：///ABC A B C ??≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=?，15AB cm =，则/ C ∠=_________，//A B =__________． 2．如图1，在ABC ?中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三 角形_______对． 图1 图2 图3 3． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)． 5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________． 6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________． 8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为 ______． 二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E O B 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850 10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm 11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( ) A ．A 、F B ． C 、E C ．C 、A D ． E 、F 12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10 2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案） A组基础题组 一、选择题 1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) 4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( ) A. B.4 C.2 D.5 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( ) A.6 B.6 C.9 D.3 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为. 第十四章第二节全等三角形课时训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，ABC A BC '≌，110A '∠=?，30ABC ∠=?，则ACB =∠( ) A ．40? B ．20? C ．30 D ．45? 2．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90?得到EDC △，点A 、D 、 E 在同一条直线上．若20ACB ∠=?，则ADC ∠的度数是（ ） A ．60? B ．65? C ．70? D ．75? 3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=?，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作C E l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE ∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 4．如图，点B ， E ，C ， F 在一条直线上，ABC DFE ?，则下列结论正确的是（ ） A ．ABE GEC ∠=∠ B ．AB DE = C ．ACB DFE ∠=∠ D ．AG DG = 5．根据下列已知条件，不能唯一画出ABC 的是（ ） A ．5A B =，3B C =，6AC = B ．50A ∠=?，60B ∠=?，5AB = C ．5AB =，3BC =，60B ∠=? D ．50A ∠=?，60B ∠=?，70C ∠=? 6．如图，//AD BC ，AD BC =，AC ，BD 交于点O ， 则图中的全等三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 7．如图，点 C ，D 在线段 AB 的同侧，如果∠CAB ＝∠DBA ，那么下列条件中不能判定△ABD ≌△BAC 的是（ ） A ．∠D ＝∠C B ．∠CAD ＝∠DB C C ．A D ＝BC D ．BD ＝AC 8．如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥A E ，AB =AC ，AD =AE ，则∠BFD 的度数是（ ） A ．60° B ．90° C ．45° D ．120° 9．如图，在OAB 和OAC 中，AOB AOC ∠=∠，点O ，A ，D 三点在同一条直线上．则再添加一个条件，仍不能证明OAB OAC ≌的是（ ） 《全等三角形》 一、教材分析 本节课的教学内容是人教版数学八年级上册第十一章《全等三角形》的第一节.这是全章的开篇，也是全等条件的基础.它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的.通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础，具有承上启下的作用. 教材根据初中学生的认知规律和特点，采用由浅入深、由易到难、抓联系、促迁移的方法.通过生活中的实例创设情景，形成概念，再通过平移、翻折、旋转说明变换前后的两个三角形全等，进而得出全等三角形的相关概念及其性质. 二、教学目标分析 知识与技能 1.了解全等三角形的概念，通过动手操作，体会平移、翻折、旋转是考察两三角形全等的主 要方法. 2.能准确确定全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的性质. 通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力. 2.能利用全等三角形的概念、性质解决简单的数学问题. 出问题，乐于探索问题，同时注重培养学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度. 三、教学重点、难点 重点：全等三角形的概念、性质及对应元素的确定. 难点：全等三角形对应元素的确定. 四、学情分析 学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识，并学习了一些简单的说理，已初步具有对简单图形的分析和辨识能力，但八年级的学生仍处于以形象思维为主要思维形式的时期.为了发展学生的空间观念，培养学生的抽象思维能力，本节课将充分利用动画演示，来揭示图形的平移、翻折和旋转等变换过程，以便让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而达到对全等三角形的理性认识. 五、教法与学法 本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“人人都能获得必需的数学”的原则，博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长，借助多媒体手段引导学生观察、猜想和探究，促进学生自主学习，努力做到教与学的最优组合. 全等三角形判断一 一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB 二、填空题 7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C ＝______． 全等三角形的复习（第1课时） 一、教材分析： 本节课是全等三角形的全章复习课，首先协助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形的概念，理解性质、判定和使用；其次对学生所学的全等三角形知识实行查缺补漏，再次通过拓展延伸以的习题训练，提升学生综合使用全等三角形解决问题的水平，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步的感知，为以后的复习指明方向。在练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯. 二、学情分析 在知识上，学生经历全等三角形全章的学习，对全等三角形性质、判定以及应用基本掌握，初步具有整体理解，但因为间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何的基础和工具也是中考必考内容。对全等三角形的综合应用以及全章知识脉络的形成正是以上各种水平的综合体现，教学中要充分发挥学生的主体作用，通过复习学生在全等三角形的计算、证明对学生的推理水平、发散思维水平和概括归纳水平将有所提升. 三、教学目标 1.进一步了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决相关问题. 2.在题组训练的过程中，引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的水平，使学生体会数形结合思想、转化思想 在解决问题中的作用. 3.培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。 四、教学重难点 重点：全等三角形性质与判定的应用. 难点：能理解使用三角形全等解题的基本过程。 五、教法与学法 以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的. 六、教具准备 多媒体课件， 七、课时安排 2课时 八、教学过程 本节课是全等三角形全章的复习课，本节课我主要采用学生“练后思”的模式，协助学生搜整《全等三角形》全章知识脉络，建构知识网络，通过基础训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动实行查缺补漏和拓展延伸；借助“基础了题目-变式题目-典型题目-拓展题目”五个梯次递进的教学活动达成教学目标，使用多媒体课件 12.1 全等三角形 一、选择题 1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（） A. AB＝CE B. ∠A＝∠E C. AC＝DE D. ∠B＝∠D 2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm， BC＝5cm，则AD的长为（） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 以上都不对 3. 下列说法中正确的有（） ①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角 形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP， △ABC≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于（） A.120° B.70° C.60° D.50° 5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（） A.60° B.75° C.90° D.95° 二、填空题 7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______ ＜______＜_______(填边). F E D C B A 8. 如图，△ABC≌△AED，AB＝AE，∠1＝27°，则∠2＝___________. 9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF 的边中必有一条边等于______. 10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________. 全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的 距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. (2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证： 图4 练习三：如图5，,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ， 交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ． 图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。 A D E C B P 2 1 4 3 A B E C D （第5题） A B C D E （第4题） A C F E D A O D B C （第1题） A B F E D C （第6题） （第7题） 新课标人教版八年级数学上第十一章全等三角形全章课时练习及答案 第1课时 全等三角形 一、选择题 1．如图，已知△ABC ≌△DCB ，且AB=DC ，则∠DBC 等于（ ） A ．∠A B ．∠DCB C ．∠ABC D ．∠ACB 2．已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、填空题 3．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝． 4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED ，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________． 三、解答题 5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE ，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角． 6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ． 求证：AC ∥DF 。 7．如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长． A D B C （第2题） A F E C D B （第3题） A B C （第4题） 一、选择题 1． 如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这两个三角形全等， 则x 等于（ ） A ． 7 3 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题 2．如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需知道的一个条件是________． 3．已知AC=FD ，BC=ED ，点B ，D ，C ，E 在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件___________，得△ACB ≌△_______． 4．如图△ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C ，若证三角形全等所用的公理是SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_____________________． 二、解答题 5． 如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=FD ，BC =DE ，AE=FC ． 求证：△ABC ≌△FDE ． 6．如图，AB=AC ，BD=CD ，那么∠B 与∠C 是否相等？为什么？ 7．如图，AB=AC ，AD = AE ，CD=BE ．求证：∠DAB=∠EAC ． D C F B A （第5题） （第6题） A C D D C E B A （第7题） 《全等三角形》教学设计 一、创制教具让学生在兴趣中导入。回顾已有的知识，给学生以模型，尽量多地给他们表现的机会,对他们好的表现及时给予肯定和鼓励，充分发挥评价的激励作用,激发他们的参与热情和学习的积极性,教学中真正实现面向“全体学生”。 二、揭示课题明确目标很高兴今天这节课和同学们一起来探索第十章《三角形的有关证明》，第一节《全等三角形》，本节课有三个学习目标。 【设计意图】借助学习目标，让学生学有所本，胸中有“目标”，才能动静皆有“得”。三、自主学习 你还记得上学期我们探索过哪些全等三角形的相关知识？ 1、上一学期，我们学习了《探索三角形全等的条件》，你还记得三角形全等的条件 有哪些吗？哪些是基本事实，哪些是判定定理？ 【设计意图】唤醒旧知，体会知识的内在联系及整体性，为本节课的学习做好铺垫，并渗透研究一个几何图形可从三方面入手：定义、性质、判定。 2、请你运用三个基本事实（ ASA SAS SSS ），证明下面的定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（即：AAS）。 【设计意图】引导学生准确理解题意，写出已知、求证，并自主思考证明方法，利用问题“你选用哪条基本事实证明这个结论？为什么选用ASA加以证明？”，引发学生思考，感 悟猜想、证明的必要性，以及相辅相成的关系。 四、积极探究。 探究一由易到难，逐渐提升，学生在积极思考中相互合作 合作探究一：三角形全等的条件 例1、已知：如图，线段AB 和CD 相交于点O，线段 OA=OD，OC=OB。求证：△AOC≌△DOB 想一想： 1、还有一个隐含条件是什么呢？ 2、你能规范的证明吗？ 例2、已知：如图，∠ACB=∠DBC，AC=DB 求证：△ABC≌△DCB 想一想： 1、还有一个隐含条件是什么呢？ 2、你能规范的证明吗？ 全等三角形提高练习精选27题及答案 1.如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°， ∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。 2.如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′， 边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO 的度数为多少？ 3.如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点， 若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数是多少？ 4.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′ 交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A= 5.已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ， 则AD 是多少？ 6.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线 BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ， 交AD 于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。 A B' C A B 8.如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面 积是28cm 2 ,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。 9.已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF ⊥CD 10.如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？ 为什么？ 11.如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC 12.△ DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ， 求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）△CMN 为等边三角形 （4）MN 13.已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ， BM 交CN 于点F （1） 求证：AN=BM （2）求证：△CEF 为等边三角形 14.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD ； ②BF=BG ； ③BH 平分∠AHD ； ④∠AHC=60°； ⑤△BFG 是等边三角形； ⑥FG ∥AD ， 其中正确的有（ ） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 C B B A A2021年湖南省中考数学一轮复习课时训练(20) 全等三角形
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