牛顿迭代法解元方程组以及误差分析matlab实现

举例，给定方程组为：

先用matlab 自带函数solve 解此方程组，确定牛顿迭代时的初值范围，得到根为：

?

??==8493476.0848937.108y x 作图验证： 此组值确为方程的根。

通过观察我们可以发现y 的取值必须大于0。这在程序中必须说明，如果迭代过程中y 小于0，则此迭代法发散。

误差分析：因为范数等价的原因，我们选择2范数。将两次相邻迭代差差范数的比值，即相对误的与，2x x n n 1+n x 的2范数作为误差，存储与一个向量或矩阵中，并作出曲线图，观察迭代过程中误差的变化情况。

如选初值为(12，0.3)，得到误差图形为：

选初值为(12，1.2)，误差图为：

我们可以发现误差在前3-5次迭代的时候迅速下降，但是中间会有上升的过程，直至最后误差达到我们设定的误差值。由此猜想迭代过程可能漏掉了一些根，利用作图，得到曲线如下：

可以发现还有两组根，用牛顿迭代法只能得到一组值，可能是因为所给方程比较特殊，它的定义域中x,y 均不能为0，导致函数不连续。 另外，也可能因为函数不连续，导致初值只能在根的附件变化时才能得到收敛的结果。

因此我们不妨将初值选的稍微小一些，如:[1,2]，得到根为

选初值为[-1,4]，得到根为

综上所述，此方程组有三组根，不同的初值，会得到不同的解的情况，也会有不同的误差情况。初值选得越接近真值，误差变化程度越小，迭代次数也越少。

程序在另三个附件中。

同理，对于n元函数方程组，我们有：