合工大超越版概率习题副本

概率期末作业题（出题人：余丙森）

1.设,,A B C 是任意三个事件,则下列各命题正确的是

A.若A C B C +=+,则A B =;

B.若()(),P A P B =则A B =;

C.若A B A -=,则AB =?;

D.若()0P AB =,则AB =?.

2．设随机事件,A B 满足()()1/2P A P B ==和()1P A B ?=，则

...()1

.()0A A B B AB C P A B D P A B ?=Ω=?

?=-=

3．若()()()E XY E X E Y =,则:

A ． ()()()D XY D X D Y =; B. ()()()D X Y D X D Y -=+; C. ,X Y 不独立; D. ,X Y 独立.

4.设随机变量X 的概率密度为1

,2061

(),133

0,

x f x x ?-<

的概率密度()Y f y =

A

. B

C

. D

5．.12100,,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的简单随机样本，则

201002

2121

11()()80320i i i i X X ==+∑∑服从的分布为： A ．2(2)χ；B.2(100)χ；C.(0,2)N ；D.(0,400)N

6．设129,,...,X X X .为来自正态总体2(,)N μσ 的简单随机样本, X 是样本均值,2S 是样本方差,则以下正确的是

A .2

9~(9,)X N μσ; B 2

2

2

9~(8)S χσ;C .3()~(9)X t S μ-;D 2

2

9()~(1,8)X F S

μ-

7．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，123(,,)X X X 为样本，则下列统计量中，（ ）为μ的无偏估计，且方差最小.

123111A.

236X X X ++ 123111

B.333

X X X ++ 123122

C.555X X X ++ 123123

D.777X X X ++

8．设,A B 独立，()0.6,()0.2,(|)0.4,P A P B A P C AB =-==则

()P A B C ??=

9.设随机变量,X Y 均服从2(0,)N σ分布，且1

{0,0}3

P X Y ≤≥=

，则{0,0}________.P X Y ><=

10． 设随机变量X 的概率密度函数为2,01

()0,x x f x <

其它，用Y 表示对X 的3

次独立重复观察中事件1

{}2

X ≤出现的次数，则{2}_____.P Y ==

11．(,)X Y

,则____,____a b ==

并求{0}P X Y -=

12．设随机变量X 和Y 独立同正态分布1

(0,)2

N ,则

()______,______E X Y E X Y -=-=

13．设X 服从参数为2λ=的指数分布,则)12(23+--X e E X =______,(21)D X -=

14．.设来自正态总体2

(,0.9)N μ的样本均值9

1

159i i x x ===∑,则未知参数μ的置信水

平为0.95的置信区间是 .

15．设总体2~(,)X N μσ,由来自总体X 的容量为16的简单随机样本,测得样本均

值31.645,X =,样本方差24S =,则检验假设0:30H μ≤使用的统计量_________其值等于____________,在显著性水平0.05α=下_______假设

0H

.(附:0.025(16) 2.1199t =,0.025(15) 2.1315t =,0.05(16) 1.7459t =,0.05(15) 1.7531t =)

16．在区间(0,1)中随机地取出两个数,求两数之差的绝对值小于

1

2

的概率.

17． 商店出售10台洗衣机，其中3台次品，现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品，试求原先售出一台为次品的概率.

18.已知随机变量,X Y 相互独立,其分布函数分别为

0,

01

(),014

1,

1X x F x x x

=≤

求Z X Y =+的分布函数.

19.设二维随机变量(,)X Y 在区域:02,01G x y ≤≤≤≤上服从均匀分布，记

0,,1,2,,

k X Y k X k k X Y k +≤?==?+>?，求：

（Ⅰ）12(,)X X 的联合分布； （Ⅱ）当20X =时1X 的概率分布； （Ⅲ）1X 与2X 的相关系数ρ.

20.设,X Y 的联合概率密度函数为,0

1

,0,

c x

y y x f x y

其他

（1）求c; （2）讨论X Y 与的独立性； (3)求Z X Y =+的分布函数()Z F z .

21. 汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车,,A B C 同时进入该加油站,假设,A B 首先开

始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C 加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立的且都服从参数为的指数分布.

（I ）求第三辆车在加油站等待加油时间T 的分布函数()T F t .

（II ）证明：对任意的0,0a b ， {|}{}P T a b T a P T b ; （III ）求第三辆车在加油站度过时间H 的方差()D H .

22.设随机变量X 的密度函数为2

,

11,

0,

ax bx c x f x

其他.

若已知

7

()0,()

,15

E X D X 求（Ⅰ）常数,,a b c 的值；（Ⅱ）数学期望E X ；（Ⅲ）协方差cov ,X X .

23. 某生产线上生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，每箱的平均重量为50千克，标准差为5千克。现用最大载量为5吨的汽车来承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装载多少箱产品才能保障不超载的概率大于0.975?

24.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，对)1,0(∈?c ，问2)1(S c X c -+是否为λ的无偏估计？

25. 设总体X 在区间[0,]θ上服从均匀分布, n X X ,,1 是来自总体的简单随机样

本, 1

1n

i i X X n ==∑,()1max(,

,)n n X X X =,

(1)求θ参数θ的矩估计量,最大似然估计量;

(2)求常数,a b 使12(),n aX bX θθ==均为θ的无偏估计,并比较其谁更有效

26. 已知总体X 可能的取值为0,1,2,12,,n X X X 是来自总体X 的样本，如果

2

2

1

.21P X

EX 01,

（I ）求X 的概率分布； （II ）求的矩估计量?M ，并讨论其无偏性； （III ）若样本观测值为0,1,1,2，求的极大似然估计值L θ.

27.设某种农作物的亩产量2~(,)X N μσ，今随机抽取9块田，测得其平均亩产量258x kg =，标准差9s kg =.

（Ⅰ）问可否认为250μ=？（0.05α=） 附：（0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t = ，0.025(9) 2.2622t =，0.05(9) 1.8331t =） （Ⅱ）问可否认为10σ<？（0.05α=） 附：（20.95(8) 2.733χ=，20.05(8)15.507χ=，20.975(8) 2.180χ=，20.025(8)17.535χ=）