弹塑性力学阶段性习题
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院
弹塑性力学课程作业2（共 4 次作业）
学习层次：专升本涉及章节：第3章——第4章
一、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。）
1．若物体内有位移u、v、w （u、v、w分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体_____ 。
A. 一定产生变形；
B. 不一定产生变形；
C. 不可能产生变形；
D. 一定有平动位移；
2．若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点位置坐标的函数），则在该点处的应变_________。
A. 一定不为零；
B. 一定为零；
C. 可能为零；
D. 不能确定
3．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系____________的关系式。
A．应力分量与应变分量; B. 面力分量与应力分量;
C．应变分量与位移分量; D. 位移分量和体力分量;
4．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的_________ 。
A. 线位移；
B. 角位移；
C. 刚性位移；
D. 变形位移；
5．直接反映和表征物体各点处变形程度的力学量是_________ 。
A. 位移；
B. 应变；
C. 应力；
D. 角应变；
6．当我们谈及线应变时，必须明确_________ 的线应变。
A. 该应变是受力物体内那一点；
B. 该应变是受力物体内那一点，那一个方向；
C. 该应变是受力物体内哪个单元体；
D. 该应变是受力物体内哪个方向；
7．当我们谈及剪应变时，必须明确_________ 。
A. 该剪应变是受力物体内那一点的角度改变量；
B. 该剪应变是受力物体内那一点，那一个方向的角度改变量；
C. 该剪应变是受力物体内那一点，那两个方向的角度改变量；
D. 该剪应变是受力物体内那一点，哪两个方向所夹直角的角度改变量；
8. 从一点应变状态的概念上讲，当我们谈及应变，必须表明的是。
A. 该应变的大小和方位；；
B. 该应变的大小，是线应变还是剪应变，并说明线应变和剪应变的产生方位；；
C. 该应变的大小，是线应变还是剪应变，并说明线应变和剪应变的产生方位，以及
该应变是哪一点处的应变；；
D. 该应变是哪一点处哪一微截面上的应变，是线应变还是剪应变；
9. 一点应变状态的主应变所指示方向，称为主方向。主方向彼此间所夹角度为___ __。 A. 2
π
；
B. 4π
； C. 6
π
； D. 零；
10．固体材料受力产生变形，当完全撤除载荷时，固体材料的弹性变形是 变形。
A ．可逆的和可部分恢复的；
B ．可逆的和可完全恢复的；
C ．不可逆的和可部分恢复的；
D ．不可逆的和完全不可恢复的；
11．固体材料受力产生了塑性变形。此变形过程 。
A ．必定要消耗能量；
B ．必定是可逆的过程；
C ．不一定要消耗能量；
D ．材料必定会强化；
12．关于固体材料，一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化阶段也愈明显，随着围
压的增大，屈服强度增大，塑性性质也明显增加。这种说法 。
A ． 正确；
B ．不正确；
C ．可能正确；
D ．对于岩土材料不正确；
13．一般认为在球应力张量作用下材料产生体变，体变只是弹性的，要产生塑性变形，只有 在偏斜应力张量作用下才能产生。这一说法通常适用于 。
A ． 固体材料 ；
B ．金属材料 ；
C ．岩土材料 ；
D ．强化材料 ； 14．固体材料的弹性模
E 和波桑比μ（即横向变形系数）的取值区间分别是： 。
A ． E ＜ 0 ， 0＜μ＜
1
2； B ． E ＞ 0， －1 ＜μ＜ 1； C ．E ＜ 0 ， －12＜μ＜12； D ． E ＞ 0， 0 ＜μ＜ 1
2
；
15. 极端各向异性体、正交各向异性体、横观各向同性体和各向同性体独立的弹性常数分
别为： 。
A. 81、21、15、9；
B. 21、15、9、6；
C. 21、9、5、2；
D. 36、21、9、2；
16. 主应力空间π平面上各点的 为零。 A. 球应力状态ij m δσ； B. 偏斜应力状态ij S ； C. 应力状态ij σ；；
D. 应变状态ij ε；
17．Tresca 屈服条件表达式中的k 为表征材料屈服特征的参数，其确定方法为：若用简单拉
伸试验来定，则为 。 A ． 2
s
k σ=
； B ．3
s
k σ=
； C ．2
s
k σ=
； D ． 3
s
k τ=
；
18．固体材料塑性应力应变关系的重要特征是它的 。
A ．线性和唯一性；
B ．非线性和唯一性；
C ．线性和不唯一性 ；
D ．非线性和不唯一性；
二、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：
1．a i b ij ; ( i , j = 1,2,3 )；
2．),,,( ; )(2
1
z y x j i u u εi j j i ij =+=''；
解：1、 ∑=++==3
1332211j i i i jj i jj i b a b a b a b a b a
331221111b a b a b a ++= ； 332222112b a b a b a ++ ； 333223113b a b a b a ++ ；
2、 ???
??
??
??+??=??=??+??=??=??+??=??=z
u
x w z w y w
v y v x
v y u x u zx z yz y xy x γεγεγε z ；；； 三、计算题
1. 试说明下列应变状态是否可能存在：
222()00000ij c x y cxy cxy cy ε??+??
=??????
；
（,,,ik xyz =）
上式中c 为已知常数，且0c ≠。
解：已知该点为平面应变状态，且知：22(),x k x y ε=+ 2,y ky ε= ;xy zkxy γ= k 为
已知常量。则将应变分量函数代入相容方程得：22
222y xy
x y x x y
εγε???+=????.
2k + 0 = 2k 成立，故知该应变状态可能存在。
2. 已知一半径为R ＝ 50 mm ，厚度为t ＝ 3 mm 的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作
用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持1Z z
θ
τσ=，
（采用or z θ柱 坐标系，r 为径向，θ为环向，z 为圆管轴向。）材料的屈服极限为s σ＝ 400 MPa 。试求此
圆管材料屈服时（采用Mises 屈服条件）的轴向载荷P 和轴矩M s 。
（ 提示：Mises 屈服条件：2222
122331()()()2s σσσσσσσ-+-+-= ；）
解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知z z θστ=，则：
max max 2z θσσσσ+=
2z z σ=±
13(12
z σσ
σ==， 且2σ= 0 。
代入Mises 屈服条件得：
222
21331
()2s σσσσσ++-=
即：2
2
2
2
(1(1(1(1222
2
z
z
z s σσσσ??
??????++-=???
?????
????
??
解得：2
s
z σσ=
=200 MPa ；
轴力：P = 2z rt πσ = 2π×50×10－
3×3×10－
3×200×106=188.495 kN 扭矩：M =22z r t θπτ = 2π×502×10－
6×3×10－
3×200×106= 9.425 kN · m
3. 一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为2
s
z σσ=
，环向剪
应力为θτz ，其余应力分量为零。若使用Mises 屈服条件，试求：
1） 材料屈服时的扭转剪应力θτz 应为多大？
2） 材料屈服时塑性应变增量之比，即：p θεd ∶p
r εd ∶p
z εd ∶p r θγd ∶p
rz γd ∶p
z θγd 。
已知Mises 屈服条件为：
()()()(
)[]
s zr
z r r z z r
στ
ττ
σσσσσσ
θθ
θθ=+++-+-+-2
12222
2
2
62
1
解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：
0,0,,;0.2
s
r z r zr θθσσσστττ===
==则miss 条件知：
12
2
2
2
2
2
2
()()()6()
r z z r r z zr θθθθσσσσσστττ?-+-+-+++? 1
2
2222(1)()6(6)
222s s s z z s θσσσττσ?=
-+++=??
解得：2
s
z θστ=
；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。
已知：1
();36s m r z θσσσσσ=++=则： ;6s m S θθσσσ=-=- ;6
s r r m S σσσ=-=-
;0;2
6
3
s
s
s
z z m r rz r rz S S S θθσσσσσττ=-=
-
=
==== ;2
s
z z z S θθθσττ===
由增量理论知：P
ij ij d d S ελ=? 则：
:::::():():
:0:0:
6
6
3
2
P p p p P
P s
s
s
s
r z r rz z d d d d d d θθθσσσσεεεεεε=-
-
即： :::::(1):(1):2:0:0:6P p p p P
P r z r rz z d d d d d d θθθεεεεεε=--
弹塑性力学试题
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
弹塑性力学习题题库加答案汇编
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 30106.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα= --=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+?=----+=-?+=-?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =500300800300 03008003001100-???? +-?? ??--? ? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。 题—图 16
应用弹塑性力学习题解答[精选.]
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62)
第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记
2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得
(完整版)弹塑性力学作业(含答案)
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
弹塑性力学复习思考题 (1).
研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题： （1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么？ （6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？ （9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别？ (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 二、计算题 1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n = 3 111 021 2 0ij σ?? ??=?????? 2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be 2 141 404 01ij σ-?? ??=????-?? Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.
弹塑性力学试题及标准答案(2015、16级工程硕士)
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
弹塑性力学课程作业 参考答案
弹塑性力学课程作业 1 参考答案 一．问答题 1. 答：请参见教材第一章。 2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。 3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问 题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意 义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材） 7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。 8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料 的塑性变形行为。 12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意 义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。 13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的 区别请参见教材。 14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程 详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。 二、填空题： 1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ； 三．选择题参考答案：
弹塑性力学习题及问题详解
实用标准文案 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
弹塑性力学习题及答案
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
弹塑性力学试题及答卷-2011
---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷（参考答案） 2010~2011 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟 32 学时， 2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 90 % 一、名词解释题（每小题3分，共15分） 1、应力强度因子： 2、弹塑性共存： 3、应力集中： 4、弹塑性体 5、
二、填空题 (每小题2分，共24分) 1、主应力平面上的切应力等于零；主切应力平面上的正应力 不一定等于零。 2、全量应变是 某时刻变形之后的应变量 ； 应变增量是 变形某时刻的应变微分量 。 3、在应力分量表达式σij 中，下标i 表示 应力分量所在平面的外法线方向 ， 下标j 表示 应力分量本身的作用方向 。 4、已知主应变ε1>ε2>ε3，则最大剪应变为：γmax = ε1-ε3 。 5、表征变形体内各应力分量之间相互关系的是 应力平衡微分 方程，表征各应变分量之间相互关系的是 应变连续/协调 方程。 6、在滑开型裂纹扩展模式中，应力的作用方向与裂纹扩展方向 平行 ，裂纹面与应力作用方向 平行 。 7、如图所示，受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，随着外载荷增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点，受压应力的是 b 点。 8、如图所示为变形体内某点处单元体的受力状态，已知σ=σs （屈服应力），用Tresca 屈服准则判别，该点处于 塑性变形 状态；用Mises 屈服准则判别，该点处于 弹性变形 状态。 9、圆柱体在Z 向受压缩，产生均匀塑性变形，则其塑性应变之比为：=p x p x p x εεε::。 10、 11、 12、 题二（8）图 题二（7）图 1.5σ σx
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
弹塑性力学试题
弹塑性力学试题Revised on November 25, 2020
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、 概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得： 则该问题的应力和位移分量的解分别为： 三、已知弹性半平面的o 量为： 这些力到所设原点的距离分别为y y
解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为： 四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。 解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2 02221???? ? ???== 外力做功为：?=-=l l x kw qwdx T 02|2 1 总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =??+-??????=-=∏|2 1 21202 022 第二步：由最小势能原理可知： 0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。 l x l l w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =??+-???? ????????=|0 22022δδδ （*） 其中=???? ?????????dx dx w d dx w d EI l 22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ????????? ? ????????δ022 将其代入（*）式并整理可得： y
弹塑性力学试题集锦(很全,有答案)
1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
弹塑性力学试题答案完整版
弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即
弹塑性力学试卷
一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分，共10分。） 1、简述固体材料弹性变形的主要特点。 2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。 二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、；
五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为： 式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图
(完整版)弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章 2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =?? ?? ??????1003100031001000000 （应力单位） 求出： （a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位； （c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。 解答： (a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n T i ，得 n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n T 3=σ3j n j =157.31 所以，应力矢量n T 的大小为 =n T [(n T 1 )2 +(n T 2 )2 +(n T 3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0 其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3 其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0） 注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算 σotc =1/3（0+100+300）=133.3 τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200
弹塑性力学题目
弹塑性力学试题 考试时间：2小时 考试形式：笔试，开卷 一﹑是非题（下列各题，你认为正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。每小 题3分，共21分） 1．应力状态不变量与坐标系的选取有关。（） 2．若受力物体中取出的微元体处于平衡状态，则整个物体也处于平衡状态。（） 3．在与三个应力主轴成相同角度的斜面上，正应力3/)(321σσσσ++=N 。（ ）4．弹性力学物理方程利用了连续性、线弹性、各向同性三个假设条件。（ ） 5．塑性力学假设屈服准则与静水压力无关。（ ）6．平面问题中应力函数?的量纲为[FL]。（）7．Ritz 法和Galerkin 法解薄板小挠度弯曲问题时，都设∑=m m m w C w ，但Ritz 法中m w 必 须满足全部边界条件，Galerkin 法中m w 只需满足几何边界条件。（ ）二﹑填空及简答题（填空每小题3分，共24分） 1.求解塑性问题，可将应力——应变曲线理想化，分为5种简单模型，它们分别是（ ）。2．空间问题物理方程：e G y y λεσ+=2，式中λ称为（ ），其值为（），e 称为（），其值为（）。3．图示弹性体（平面问题）边界12 在极坐标系中的应力边界条件为()。4．简述求解薄板小挠度弯曲问题的思路。（5分） 5．简述弹性力学中逆解法和半逆解法成立所依据的原理。（5分） 6．弹性力学空间问题，物体内任一点有6个应力、6个应变、3个位移共15个未知函数，弹性力学从哪些方面来建立这些未知函数之间的关系？（5分） 1o 301q 2q x y 243
三﹑计算题（共55分） 1．试求平面应变问题的Tresca 屈服条件的表达式。（8分） 2.一圆环内半径为a ，外半径为b 。在极坐标系中设函数2 21ln r C r C +=?，式中C 1，C 2均为常数。1）?是否可作为应力函数？2）写出应力分量表达式。3）内外边界上对应着怎样的边界条件？(10分) 3.图示矩形薄板，边长分别为a ，b ，取挠度222222)4/()4/(b y a x C w --=，（C 为常数）， 试求： （1）板面上的荷载),(y x q ； （2）板内的最大弯矩()()max max y x M M 、； （3）矩形薄板所应满足的边界条件。(12分) 4．圆形薄板，半径为a ，边界简支，在上板面中心受集中荷载P 作用，下板面中心有一刚度为k 的弹簧弹性支承，求挠度w 及内力r M 、θM 。(10分) 5．一均质空心厚壁圆筒内外半径分别为a 和b ，受内压q 作用，该圆筒由不可压缩的理想材料制成，处于平面应变状态，q 增加时满足简单加载定理，本构方程为3εσA =（A 为常数），求应力分布θσσ,r 。（15分）
弹塑性力学复习提纲和考试习题
《弹塑性力学》复习提纲 1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？ 研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究 研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。并可用来校核材料力学得出的近似解。 2. 弹性力学有哪些基本假设？ （1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的 3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。 (1)平面问题的平衡微分方程: 平面问题的几何方程： 平面应力问题的物理方程： (在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程) (2)空间问题的平衡微分方程;
空间问题的几何方程; 空间问题的物理方程： 4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？ (1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力 分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。 (2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移 分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。 5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平 面应变；逆解法与半逆解法。 位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件=，=（在 上） 应力边界条件：若在部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界 上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得
第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有
弹塑性力学作业
第一次作业 高轩 2014312070109 1.利用指标记法证明()φ???=0。 证明：()12,,...,n x x x ??= ,i i φ??=e ()(),,,,()i i i i j j ij i ij kji k j φe x ????????=??=? =?=?e e e e e e 将i,j 对换后值不变，即 ,,,ij kji k ji kij k ij kji k e e e ???==-e e e 所以()φ???=0。证毕。 2.证明im jm ij l l δ=和mi mj ij l l δ=。 证明：i m im i m im i m l δ?==?=e e e e e e ，同理可以得到：jm jm l δ= 故im jm ij l l δ=。同理可得mi mj ij l l δ=。证毕。 3.证明??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。 证明：设123(,,)r x x x 为曲面123(,,)x x x ?=常量上任一点123(,,)x x x 的矢径（从原点出发，到123(,,)x x x 的矢量）。那么对于123(,,)()i i i i dr x x x d x dx == e e ，其必然平行于此平面在123(,,)x x x 点处的切平面。对于123(,,)x x x ?=常量的平面，123(,,)0i i d x x x dx x ???==?，又i i x ????=?e ，所以123(,,)0i i j i ij i j j i dr x x x dx dx dx x x x ????σ?????=?===??? e e 。 故??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。证毕。