解 二 元 一 次 方 程 — — — 拓 展 欧 几 里 得 算 法

二次同余方程的解

今天要讨论的问题是解方程，其中是奇质数。

证明：由费马小定理，

引理：方程有解当且仅当

定理：设满足不是模的二次剩余，即无解，那么是二次

?剩余方程的解。

证明：由，前面的等号用二项式定理和，后面的等

? 号用了费马小定理和是模的二次非剩余。然后

在算法实现的时候，对的选择可以随机，因为大约有一半数是模的二次非剩余，然后快速幂即可。

题目：http:--acm.timus.ru-problem.aspx?space=1num=1132 题意：求二次同余方程的解。

#include stdio.h

#include stdlib.h

#include string.h

#include algorithm

#include iostream

#include math.h

using namespace std;

typedef long long LL;

LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)

LL ans = 1;

while(b)

ans = ans * a % m;

a = a * a % m;

return ans;

--二次域乘法

T multi_er(T a, T b, LL m)

ans.p = (a.p * b.p % m + a.d * b.d % m * w % m) % m; ans.d = (a.p * b.d % m + a.d * b.p % m) % m;

return ans;

--二次域上快速幂

T power(T a, LL b, LL m)

ans.p = 1;

ans.d = 0;

while(b)

ans = multi_er(ans, a, m);

a = multi_er(a, a, m);

return ans;

--求勒让德符号

LL Legendre(LL a, LL p)

return quick_mod(a, (p-1)1, p);

LL mod(LL a, LL m)

if(a 0) a += m;

return a;

LL Solve(LL n,LL p)

if(p == 2) return 1;

if (Legendre(n, p) + 1 == p)

return -1;

LL a = -1, t;

while(true)

a = rand() % p;

t = a * a - n;

w = mod(t, p);

if(Legendre(w, p) + 1 == p) break; tmp.p = a;

tmp.d = 1;

T ans = power(tmp, (p + 1)1, p); return ans.p;

int main()

scanf("%d", t);

while(t--)

scanf("%d %d",n,p);

int a = Solve(n, p);

if(a == -1)

puts("No root");

continue;

int b = p - a;

if(a b) swap(a, b);

if(a == b)

printf("%d",a);

printf("%d %d",a,b);

return 0;

接下来我们来解另一个二次同余方程的解，其中，并且是奇质数。方法如下

先求出方程的一个解，那么进一步有

我们知道

那么也就是说

可以证明和，那么最终得到

这里由于不是素数，所以求逆元用扩展欧几里得算法即可。

例如：求方程的解

分析：利用上述方法求得，最终解得。

例题1：http:https://www.360docs.net/doc/864246064.html,-showproblem.php?pid=2669

58 else cout"ZenMeZheMeDuo"endl;

int exgcd(int a,int b,int x,int y){

得到a*(a,b)-cx+b(a,b)-c*y=(a,b) 。

int t = x; x = y; y = t - a-b*y;

注意：这题一开始wrong，是因为输出y值的时候应该用调整过解范围的x来计算，而不应该用扩展欧几里得得到的x计算。

scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",a,b,c,x1,x2,yy1

,y2);

方程组aix≡ci(modmi)(i=1,2,3,…,n)a_ix equiv c_i pmod{m_i} quad (i=1, 2, 3, ldots, n)ai?x≡ci?(modmi?)(i=1,2,3,…,n)整理得x1a+y1b=y2a+(x2?a-b?y2)bx_1a+y_1b = y_2a+(x_2-lfloor a-brfloor y_2)bx1?a+y1?b=y2?a+(x2?a-b?y2?)b 若要求 x 的最小正整数解可在求出ax+by=n的解(x,y)后，令 x = (x%b + b) % b , y = (n - a*x) - b