二次函数讲义 详细

第一讲 二次函数的定义

知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的

二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0

考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式

例1、 函数y=（m ＋2）x

2

2-m

＋2x －1是二次函数，则m= ．

例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2

；④y=21x

＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．

例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．

训练题:

1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．

2、若函数y=(m 2

+2m －7)x 2

+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

3、已知函数y=(m －1)x 2m +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．

5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2

为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限

6．下列不是二次函数的是（ ）

A ．y=3x 2＋4

B ．y=－3

1x 2

C ．y=52-x

D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）

A ．m 、n 为常数，且m ≠0

B ．m 、n 为常数，且m ≠n

C ．m 、n 为常数，且n ≠0

D ．m 、n 可以为任何常数

8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．

9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．

10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．

（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；

（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．

第二讲 二次函数的图像和性质

知识点归纳：

1、求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

??? ?

?

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

2、二次函数的图象及性质：

（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．

（2）二次函数c bx ax y ++=2

的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。

3、图象的平移：左加右减，上加下减 例1、

抛物线 y=－2x 2

＋6x －1

y=2x 2

＋6x －1

对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性

例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．

（1）求a 、m 的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．

例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：

（1）y=ax 2经过（1，2）；

（2）y=ax 2

与y=2

1x 2

的开口大小相等，开口方向相反；

（3）y=ax 2与直线y=2

1

x ＋3交于点（2，m ）．

例4、抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．

例7、已知二次函数y=（m －2）x 2

＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）

（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

例5、二次函数y=a(x －h)2

的图象如图：已知a=12

，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

例6、试写出抛物线y=3x 2

经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

3

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例7、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2

－3x+5，试求b 、c 的值。

训练题:

1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x

m

m +2－3m 是关于x 的二次函数．

3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x

m

m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；

在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．

5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．

6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为

．

7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）

A ．y=1x 2

B ．y=－1x 2

C ．y=－2x 2

D ．y=－x 2

A ．y=4

1x 2

B ．y=4x 2

C ．y=－2x 2

D ．无法确定

9．对于抛物线y=31x 2和y=－3

1x 2

在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）

A ．两条抛物线关于x 轴对称

B ．两条抛物线关于原点对称

C ．两条抛物线关于y 轴对称

D ．两条抛物线的交点为原点

10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）

11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．2

1

D ．4

1

12.已知二次函数y=41x 2－2

5

x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．

13．抛物线y=2x 2

向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为

．

14．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

15．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

16．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0.

17.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

18.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

19.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .

20.将抛物线y ＝ax 2

向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _. 21、右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，?观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

22、函数y=ax2 (a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）

（1)求a和b的值

（2）求抛物线y=ax2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2 中的y随x的增大而增大？

（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。

23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

24、某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式；

(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

第三讲 函数的图象特征与a 、b 、c 的关系

知识点：a 看开口方向，c 看与y 轴的交点位置，b 结合a 、看对称轴的位置。

例1、已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：

2

0040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例2、已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤

训练题

1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 0

3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2

-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( ) 1

1 1- O

x y

6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2

－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

7.二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

8、在同一坐标系中，函数y=ax 2

＋bx 与y=x

b

的图象大致是图中的（ ）

9.已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11.已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

12、二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）

A ．0

B ．0

C ．0

D ．042

<-ac b

13、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0 第13题图

y

x

O

1 －1

第四讲 二次函数的交点问题

知识点：二次函数与x 轴、y 轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.

例1、已知抛物线y ＝x 2

-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。 （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积

例2、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：

（1）△AOC 的面积；

（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．

例3、.如图，抛物线2

y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ?：ACD S ?=5 ：4的点P 的坐标。

例4、已知抛物线y=1

2

x2+x-

5

2

．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

训练题

1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为

．

3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 经过 象限．

4．抛物线y=x 2

－2x ＋3的顶点坐标是

．

5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=

．

6．抛物线y=2x 2

＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=

．

7．已知抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y=kx 2

＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围

．

9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2

的顶点在直线y=2上，则a 的值是

．

10．抛物线y=3x 2

＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．无

11．如图1所示，函数y=ax 2

－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）

A ．－3

B ．3

C ．21

D ．－21

12．已知二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）

A ．0＜－

a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b

2=1

13．已知二次函数y=x 2

＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．

14．已知二次函数y=x 2

－2kx ＋k 2

＋k －2． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

第五讲函数解析式的求法

例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x －h)2+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

例4、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．

（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

例5、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）

训练题

1．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

2．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝ .

3．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。4．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式

（1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

2

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

5．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

6．已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

7．知二次函数图象顶点坐标（－3，12 ）且图象过点（2，11

2

），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。

8．已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)， (－1,0)与y 轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

9．若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x= 1

2

对称，那么图象还必定经过哪一点？

10．y= －x 2+2(k －1)x+2k －k 2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

1

第六讲一元二次函数的应用

例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．

(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)

(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润＝售价－进价)．

(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．

(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

例3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

训练题：

1、y=3x 2

-x ＋2, 当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 有最大值 2、周长为60cm 的矩形，设其一边为xcm ，则当x=_____时，矩形面积最大，为_______. 3、若抛物线的对称轴是x=3，函数有最小值为8，且过（0,26），则其解析式为____________.

4、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

5、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量

的y 倍，且10

7

107102++-

=x x y 。如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？

6、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。（墙体的

最大可用长度a=10米）设AB=xm ，长方形ABCD 的面积为2s m

（1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB 的长是多少米？ （3） 能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

D C

B F E A 件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系。 （1） 求y 关于x 的函数关系式； （2） 试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3） 若公司希望这种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图像，请你帮助该公司确定销售

单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大你认为销售单价应定为多少元？ 8、如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求（1）四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.（2）当x 取何值时，四边形CGEF 的面积S 取得最小值

9、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =4，AC =8，点D 在斜边AB 上， 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE =x ，DF =y . (1)用含y 的代数式表示AE . (2)求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围.

(3)设四边形DECF 的面积为S ，求出S 的最大值.

x x B F A C D E x G

一、填空题：

1.二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是x=_______.

2、对于二次函数 ，当x= ______ 时，y 有最小值，其值是 ______ 。

3、把抛物线 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的解析式为____________。

4、抛物线 的开口向 ______ ，对称轴是x= ______ ，当x______ 时，y 随 x 的增大

而减小。

5、抛物线 的对称轴是直线 ，则a= ______ 。

6、抛物线 的顶点是（

），则a= ______，c= ______ 。

7、已知二次函数 的最小值为1，那么m 的值为______ .

8、已知二次函数

，当x>5时，y 随x 增大而增大；当x<5时，y 随x 增大而减小，则 a=

______ 。

9、二次函数y=－x 2－2x+2的最大值是____________ 。

10、一个关于x 的二次函数，当x=2时取得最小值－7,则这个二次函数图象的开口一定向____________ ，顶点坐标为____________ 。

11、如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为（－2,4）且过点（－3,0），那么a 的值为____________。 12.如果把第一条抛物线向上平移

a 49个单位（a >0），再向左平移2

5个单位，就得到第二条抛物线2

ax y =，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 .

13、若抛物线

与x 轴有一个交点坐标是（－1,0），则k= ____________ ，与x 轴另一个交点

坐标是____________ 。 14、抛物线 与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交点为C ，则S ΔABC ＝______。

15、二交函数

的图象如右图所示，则a _____ 0, b____ 0 ,c____ 0,b-4 a+b+c ______ 0

16．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标

是_________·

17、抛物线

与坐标轴有且只有两个公共点，则m 的值为____________ 。

18.已知直线12-=x y 与抛物线

k x y +=2

5交点的横坐标为2，则k=____________ ，交点坐标为 ____________ .

7)1(82

-+--=m x m x y

1、设a≠0，则在同一平面直角坐标系中画出一次函数和二次函数的图象只可能是下图中的（）

2、二次函数的顶点在x轴上，则c的值为（）。

A．4 B．8 C．-4 D．16

3、无论k取何值时，二次函数的图象的顶点所在直线是（）。

A．y=x B．y=-x C．y=ax D．y=kx

4、若（2，5），（4，5）是抛物线上的两点，那么它的对称轴方程是（）。

A． B． C． D．

5、与抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式是（）。

A． B．

C． D．

６、抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（如图）与y轴相交于点C，如果OB=OC= OA,那么b的值为（）。

A. －2

B. －1

C. －

D.

７、如果二次函数y=ax2+bx+a（a≠0）的最大值是0，那么代数式化简的结果是（）。

A. a

B. 1

C. －a

D. 0

８、已知二次函数y=－x2+bx+c的图象的最高点是（－1，－3），则b与c的值是（）。

A. b=2 c=4

B. b=2 c=－4

C. b=－2 c=4

D. b=－2 c=－4

9.在抛物线

1

3

22+

-

=x

x

y

上的点是（）

A.（0，-1）

B.

?

?

?

?

?

0,

2

1

C.（-1，5）

D.（3，4）

10.直线

2

2

5

-

=x

y

与抛物线

x

x

y

2

1

2-

=

的交点个数是（）