高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）

一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.

1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.

（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 (

)g x =（C ）()f x x = 和 (

g x =

（D ）()||

x f x x

和 ()g x =1 2．函数(

)()2

0ln 10x f x x a x -≠?

=+??

在0x =处连续，则a =（）.

（A ）0 （B ）1

（C ）1 （D ）2

3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.

（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.

（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微

5．点0x =是函数4

y x =的（）.

（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点

6．曲线1

y x =

的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线

（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线

（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．

211

f dx x x

??' ????

的结果是（）. （A ）1f C x ??

-+ ???

（B ）1f C x ??

--+ ???

（C ）1f C x ??

+ ???

（D ）1f C x ??

-+ ???

8．

x x dx

e e -+?的结果是（）.

（A ）arctan x

e C + （B ）arctan x

e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++

9．下列定积分为零的是（）.

（A ）4

24arctan 1x dx x π

π-+? （B ）44

arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x

e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设()

f x 为连续函数，则()1

2f x dx '?等于（）.

（A ）()()20f f - （B ）

()()11102f f -????（C ）()()1

202

f f -????（D ）()()10f f -

二．填空题（每题4分，共20分）

1．设函数()21

00x e x f x x a x -?-≠?

=??=?

在0x =处连续，则a =

2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5

π，则()2f '=.

3．21

y x =-的垂直渐近线有条. 4．

()21ln dx

x x =

+?.

5．

()4

sin cos x

x x dx π

三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限

①

lim x x

→∞

②()2

sin

lim

x x

x e

→

2．求曲线()

y x y

=+所确定的隐函数的导数

y'.

3．求不定积分

①

()()

x x

?②()

x a

?③x xe dx

四．应用题（每题10分，共20分）

1．作出函数32

y x x

=-的图像.

2．求曲线22

y x

=和直线4

y x

=-所围图形的面积.

《高数》试卷1参考答案

一．选择题

1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2

．３．２４．arctanln x c + ５．２三．计算题１①2

e ②

2.11x

y x y '=+- 3. ①

ln ||23

x C x +++

②ln |x C + ③()1x e x C --++

四．应用题

１．略２．18S =

《高数》试卷2（上）

一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).

(A) ()f x x =和(

)g x =()21

x f x x -=-和1y x =+

(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2

ln f x x =和()2ln g x x =

2.设函数()()

2sin 21112111x x x f x x x x -?

-??

==?

?->???

，则()1

lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在

3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()

00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)

2?? ??? (B) 12,ln 2??- ??? (C) 1,ln 22?? ??? (D) 1,ln 22??- ???

5.函数2x

y x e

-=及图象在()1,2内是( ).

(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的

6.以下结论正确的是( ).

(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12x

x e ,则()f x =( ).

(A) ()1

21x

x e

- (B)

x e

- (C)

()1

21x

x e

+ (D)

8.若()()

f x dx F x c

?,则()

sin cos

xf x dx=

?( ).

(A) ()

sin

F x c

+ (B) ()

sin

F x c

-+ (C) ()

cos

F x c

+ (D) ()

cos

F x c

9.设()

F x为连续函数,则1

f dx

' ?

?=( ).

(A) ()()

f f

- (B)()()

210

f f

?? (C) ()()

220

f f

?? (D)

()

f f

10.定积分

?()

a b

<在几何上的表示( ).

(A) 线段长b a

- (B) 线段长a b

- (C) 矩形面积()1

a b

-? (D) 矩形面积()1

b a

二.填空题(每题4分,共20分)

1.设()

()2

ln1

1cos

f x x

a x

?≠

=?-

, 在0

x=连续,则a=________.

2.设2

sin

y x

=, 则dy=_________________sin

d x.

3.函数

的水平和垂直渐近线共有_______条.

4.不定积分ln

x xdx=

?______________________.

5. 定积分

sin1

x x

?___________.

三.计算题(每小题5分,共30分)

1.求下列极限:

①()

lim12x

→

+②

arctan

lim

→+∞

2.求由方程1y

y xe

=-所确定的隐函数的导数

y'.

3.求下列不定积分:

①3

tan sec

x xdx

?②()

x a

?③2x x e dx

四.应用题(每题10分,共20分)

1.作出函数3

y x x

=-的图象.(要求列出表格)

2.计算由两条抛物线：22

y x y x

==所围成的图形的面积.

《高数》试卷2参考答案

一.选择题：CDCDB CADDD

二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.

2211

ln 24

x x x c -+ 5.2π

三.计算题：1. ①2

e ②1 2.2

x e y y '=

- 3.①3sec 3

c +

②)

ln x c + ③()222x x x e c -++

四.应用题：1.略 2.13

S =

《高数》试卷3（上）

一、填空题(每小题3分, 共24分)

函数y =

的定义域为________________________.

2.设函数()sin 4,0,

x f x x a x ?≠?

=??=?, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.

3. 函数221

()32

x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.

4. 设()f x 可导, ()x

y f e =, 则____________.y '=

5. 22

lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321

21sin 1

x x

dx x x -+-?=______________. 7. 20_______________________.x t

d e dt dx -=? 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.

二、求下列极限(每小题5分, 共15分)

1. 01lim sin x x e x →-;

2. 233

lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2x

x x -→∞

??+ ???

三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)

1. 2

y x =

+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dy

四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)

1. 12sin x dx x ??

+ ???

?. 2. ln(1)x x dx +?.

3. 1

x e dx ?

五、(8分)求曲线1cos x t y t

=??=-?在2t π=处的切线与法线方程.

六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.

八、(7分)求微分方程x y

y e x

=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案

一．1．3x

< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e

5.12

6.0

7.22x xe -

8.二阶

二.1.原式=0

lim 1x x

→= 2.3

11lim

x x →=+ 3.原式=1

122

21lim[(1)]2x x e x

--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2

y y x ==+

2.cos sin x dy xe dx =-

3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+

'x y x y e y xy y

y x e x xy

++--?==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+

2.原式=2

21lim(1)()lim(1)[lim(1)]22

x x x d x x d x x +=+-+??

2111

lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++??

=22

1lim(1)[lim(1)]222

x x x x x C +--+++

3.原式=1

221

0111

(2)(1)2

x x

e d x e e ==-? 五.sin 1,122

dy dy t

t t y dx

dx ππ

=====且切线：1,1022

y x y x ππ

-=---+=即法线：1(),102

y x y x ππ

-=--+--=即

六.1

2210013(1)()2

S x dx x x =+=+=?

22420

5210(1)(21)228()5315

V x dx x x dx

x x x ππππ=+=++=++=

七.特征方程:23126130

32(cos 2sin 2)

x r r r i

y e C x C x -++=?=-±=+

八.1

()dx

x x y e

e e

dx C -

??=+?

1[(1)]x x e C x

=-+ 由10,0y x C ==?=

x y e x

-∴=

《高数》试卷4（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++

-=x x y 的定义域是（）.

A []1,2-

B [)1,2-

C (]1,2-

D ()1,2-

2、极限x

x e ∞

→lim 的值是（）.

A 、 ∞+

B 、 0

C 、∞-

D 、不存在

3、=--→2

11)

1sin(lim

x x x （）.

A 、1

B 、 0

C 、 21-

D 、2

4、曲线 23

-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.

A 、)(2x d xdx =

B 、)2(sin 2cos x d xdx =

C 、)5(x d dx --=

D 、2

)()(dx x d =

6、设

?+=C x

dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x

7、?=+dx x

x ln 2（）.

A 、C x x

++-22ln 212 B 、 C x ++2

)ln 2(21

C 、 C x ++ln 2ln

D 、 C x x

++-2

ln 1

8、曲线2

x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、?

dx x π B 、

ydy π

C 、?

-1

)1(dy y π D 、?

-1

)1(dx x π

9、?=+1

01dx e e x

（）. A 、21ln

e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、2

21ln e + 10、微分方程 x

e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.

A 、x e y 273=*

B 、x e y 73=*

C 、x xe y 272=*

D 、x e y 27

2=*

二、填空题（每小题4分）

1、设函数x

xe y =，则 =''y ； 2、如果3

2sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .

3、

-1

3cos xdx x ；

4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .

5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0

； 2、求x x y sin ln cot 2

+= 的导数；

3、求函数 1133+-=x x y 的微分；

4、求不定积分?++1

1x dx

；

5、求定积分

dx x 1ln ； 6、解方程

1x y x

dx dy -=

；

四、应用题（每小题10分）

1、求抛物线2

x y = 与 2

2x y -=所围成的平面图形的面积.

2、利用导数作出函数3

3x x y -= 的图象.

参考答案

一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；

二、1、x

e x )2(+； 2、9

4 ； 3、0 ； 4、x

e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0

三、1、 1； 2、x 3

cot - ； 3、dx x x 2

32)

1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2

212 ；四、1、

； 2、图略

《高数》试卷5（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数)

1lg(1

2++

x x y 的定义域是（）.

A 、()()+∞--,01,2

B 、 ()),0(0,1+∞-

C 、),0()0,1(+∞-

D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.

A 、 x x cos lim 0

→ B 、x x arctan lim ∞

→ C 、x x sin lim ∞

→ D 、x

x 2lim +∞

→

3、=+∞

→x

x x

x )1(

lim （）. A 、e B 、2

e C 、1 D 、

1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.

A 、dx x x )3sin 33cos (+-

B 、dx x x x )3cos 33(sin +

C 、dx x x )3sin 3(cos +

D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.

A 、?++=

-C x dx x 1

1αα

α B 、?+=C x a dx a x x ln C 、?+=C x xdx sin cos D 、?++=C x

xdx 2

tan 7、计算?

xdx x e

cos sin sin 的结果中正确的是（）.

A 、C e x

+sin B 、C x e x +cos sin

C 、C x e

+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin

8、曲线2

x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、?

dx x π B 、

0ydy π

C 、?-1

)1(dy y π D 、?-10

)1(dx x π

9、设 a ﹥0，则 =-?

dx x a a

22（）.

A 、2

a B 、

22a π

C 、24

a 0 D 、241a π

10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln

=+'x

y x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2

=-'+y y y x D 、0)6(2

=-+'dy x y dx y x

二、填空题（每小题4分）

1、设???+≤+=0

,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+

→)(lim 0x f x ；

2、设 x

xe y = ，则 =''y ；

3、函数)1ln()(2

x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；

4、

-1

3cos xdx x ；

5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2

311(

lim 21

-+--→x x x x ；

2、求 x x y arccos 12-= 的导数；

3、求函数2

x y -=的微分；

4、求不定积分?+dx x

ln 21 ；

5、求定积分 ?

dx x 1ln ；

6、求方程y xy y x =+'2

满足初始条件4)2

1(=y 的特解.

四、应用题（每小题10分）

1、求由曲线 2

2x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.

2、利用导数作出函数 4962

3-+-=x x x y 的图象.

参考答案（B 卷）

一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.

二、1、 2 ，b ； 2、x

e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x

e C e C 221+.

三、1、

31 ； 2、1arccos 12---x x

x ； 3、dx x x 221)1(1-- ；

4、C x ++ln 22 ；

5、)1

2(2e

- ； 6、x e x y 1

22-= ；

四、1、 2

； 2、图略