线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

数学系数052 蒋春

摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。

关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性

引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。

1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系

设线性方程组：1111

2

222a x b y c l a x b y c l +=?????????+=????????

因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）：

()11

22

1a b a b ≠??????? ○2平行的充分必要条件是：

()111

222

2a b c a b c =≠??????? ○3重合的充分必要条件是：

()111222

3a b c

a b c ==??????? 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为

1122a b A a b ??=????，111222a b c B a b c ??=????

现记线性方程组增广矩阵的列向量

112a a α??=????，122b b α??=????，132c c α??

=????

则

○1：由条件（1）相交的充分必要条件是（不重合）：

1α与2α线性无关，

即[]1112220a b A a b αα??==≠????

或则Rank(A)=2 几何图形：

○

2由条件（2）平行的充分必要条件是： 1α与2α线性相关，1α、2α、3α线性无关，

Rank(A)=1, Rank(B)=2 几何图形：

○

3由条件（3）重合的充分必要条件是： 1α、2α、3α线性相关，

即Rank(A)= Rank(B)=1 几何图形：

例：直线1l 与2l 的方程分别为

269x y +=，4127x y +=确定他们的位置关系。

解：2626,41200????→ ? ????? 26926941270011????→ ? ?-????

262691,24124127Rank Rank ????∴== ? ?????即26412?? ???线性相关，2694127??

???

线性无关

∴直线1l 与2l 是相互平行（不重合的）

。 2：三元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系

设线性方程组

11111222223

3333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ

++=?????????

++=?????????++=???????? 由解析几何知i i i i a x b y c z d ++=是空间内一个平面i π 两平面相交的充要条件是[]1

：

111222::::a b c a b c ≠ 平行的充要条件是

1111

2222

a b c d a b c d ==≠ 重合的充要条件

1111

2222

a b c d a b c d === 即相交的充要条件是

1

112

2

22a b c rank a b c ??=

???

平行的充要条件是

1

112

2

21a b c rank a b c ??= ???且1

1

112

22

22a b c d rank a b c d ??= ???

重合的充要条件

即1

1112

22

21a b c d rank a b c d ??=

???

设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为

11

12

223

3

3a b c A a b c a b c ????=?????? 1

1

1122223

33

3a b c d B a b c d a b c d ????=?

?????

现记线性方程组增广矩阵的列向量

1123a a a α????=?????? 1223b b b α????=?????? 1323c c c α????=?????? 1423d d d α??

??=??????

现记线性方程组系数矩阵的行向量

[]1111a b c β=[]2222a b c β=[]3333a b c β=

线性方程组增广矩阵的行向量

[]11111a b c d γ= []22222a b c d γ= []33333

a b c d γ= 由《高等数学》第五版 []2

我们知1β，2β ，3β是平面1π ，2π，3π的法向量

(1): 当()1233Rank ααα=时，()12343Rank αααα=。这时方程组有唯一解。

几何意义：三个平面相交于一点。 几何图象：

A

图形说明：三个1π ，2π，3π交于一点。 （2）当()1232Rank ααα=即()1

232Rank βββ=时

○1当()1

2342Rank αααα=时，参考《线性代数》[]3

方程组有无数个解，且导出组的基础解系只有一个解向量。 几何意义：三个平面交于一条直线。

1 ，()1232Rank γγγ=且123γγγ中有两个向量相关。

几何意义：两个平面重合与第三个平面相交于一条直线。 几何图形：

图形说明：有两个平面（不访设为1π ，2π）重合与第三个平面（3π）相交于一条直线。 2 ，()12

32Rank γγγ=且123γγγ中两两向量无关。

几何意义：三个平面两两交于一条直线。 几何图形：

A

B

图形说明：三个平面1π ，2π，3π两两交于一条直线。

○2当()1

2343Rank αααα=时 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组没有解。

1 123,,βββ中有两个相关

几何意义：其中两个平面平行，他们和第三个平面相交。 几何图形：

图形说明：平面1π ，2π平行与平面3π相交。 2 123,,βββ中有两两无关

几何意义：三个平面两两相交，围成一个三棱拄 几何图形：

图形说明：三个平面1π ，2π，3π两两相交，围成一个三棱拄 （3）当()1231R ank ααα=时，即()1231Rank βββ=，此时三个平面的法向量平行，

就有三个平面平行。

○1当()12341Rank αααα=时，方程组有无数多个解，导出组的基础解系有两个解向量，此时三个平面代表同一个平面。 几何意义：三个平面重合 几何图形：

图形说明：三个平面1π ，2π，3π重合。 ○

2()12342Rank αααα=时，方程组无解

1 ，123γγγ中有两个向量相关。

这时有两个平面重合，第三个平面与他们平行。

几何意义：两个平面重合，第三个平面与他们平行。 几何图形：

图形说明：两个平面（设为1π ，2π）重合与第三个平面（3π）平行。 2 ，123γγγ中有两两向量无关。这时，三个平面相互平行不重合。

几何意义：三个平面相互平行不重合。 几何图形：

图形说明：三个平面1π ，2π，3π相互平行不重合。 例： 11

2

3()T a a a α=，()2123T

b b b α=()312

3T c c c α=，()4123T

d d d α=

1123()a a a β=，()2123b b b β=，()3123c c c β=，则三个平面

0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==相交成三条平行的直线的充分条件是[

] []4

（A ）123()2rank a a a =，1234()3rank a a a a = （B ）123a a a 任两个线性无关，且4a 不能由123a a a 线性表出 （C ）1

2

3a a a 任两个线性相关，且4a 不能由1

2

3a a a 线性表出

（D ）123,,βββ任两个线性无关，但123,,βββ线性相关，且4a 不能由12

3a a a 线性表出

解：由题意得，线性方程组

111122223

333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

++=-??

++=-??++=-? 根据条件三个平面相交成三条平行的直线，则根据上面讨论满足条件的图形为：

其相应的条件为

12

3()2rank a a a =()12343Rank αααα=，123,,βββ中有两两无关

对应为（D ）选项，即123,,βββ任两个线性无关，但123,,βββ线性相关，且4a 不能由12

3

a a a 线性表出。

3，空间直线与空间平面的位置关系：

11111

2

2222..............a x b y c z d l a x b y c z d ππ++=?????????

++=???????? 如果111222::::a b c a b c ≠即1112

2

22a b c rank a b c ??

=

???

则平面1π，2π相交成一条直线设为l 。根

据解析几何知识可化为直线的标准方程[5]

000

x x y y z z X Y Z

---==

式中112201122b d b d x a b a b --=，11

22

01122

d a d a y a b a b --=，00z =，1

122b c X b c =，1122c

a Y c a = ，11

22

a

b Z a b = 设空间平面π方程33333a x b y

c z

d π++=??????? 根据解析几何知识直线l 与平面3π的位置关系[6]

1 相交的充要条件：

3330a X b Y c Z ++≠

2 平行的充要条件：

3330a X b Y c Z ++= 3030303a x b y c z d ++≠

3 直线在平面上的充要条件：

3330a X b Y c Z ++= 3030303a x b y c z d ++=

设方程组11111222223

3333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ

++=?????????

++=?????????++=????????

同前面一样设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为

1

1

12

222

3

3a b c A a b c a b c ????=?????? 1

1

1122223

33

3a b c d B a b c d a b c d ????=?

?????

现记线性方程组增广矩阵的列向量

1123a a a α????=?????? 1223b b b α????=?????? 1323c c c α????=?????? 1423d d d α??

??=??????

现记线性方程组系数矩阵的行向量

[]1111a b c β=[]2222a b c β=[]3333a b c β=

线性方程组增广矩阵的行向量

[]11111a b c d γ= []22222a b c d γ= []33333

a b c d γ=

○

1相交的充要条件：3330a X b Y c Z ++≠ 几何意义：直线l 与平面3π相交，此时只有一个交点。则满足三个平面相交与一点的条件。 既有唯一解 几何图形：

A

图形说明：直线l （平面1π，2π的交线）与平面3π相交于一点。 ○

2平行的充要条件： 3330a X b Y c Z ++=

3030303a x b y c z d ++≠

几何意义：直线l 与平面3π平行，即1π，2π的交线与3π平行。

1 1π，2π相交，1π，3π平行或则2π，3π平行。 等价条件为：

1

112

2

22a b c rank a b c ??

= ???

()1232Rank ααα=，()12343Rank αααα=且123,,βββ中有两个相关。 几何图形：

图形说明：直线l （平面1π，2π的交线）与平面3π平行，且平面1π或者2π与平面3π平行。

2 1π，2π， 3π两两相交 等价条条件：()1232Rank ααα=，()12343Rank αααα=且123,,βββ中有两两无

关。

几何图形：

图形说明：直线l （平面1π，2π的交线）与平面3π平行，且平面1π、 2π与平面3π相交。

○

3直线在平面上的充要条件： 3330a X b Y c Z ++= 3030303a x b y c z d ++=

几何意义：直线l 在平面3π上，即1π，2π的交线在3π上。此时三个平面相交与一条直线。 等价条件：

()1232Rank ααα=，()12342Rank αααα=，且123γγγ中两两向量无关。

几何图形：

A

B

图形说明：直线l （平面1π，2π的交线）在平面3π平行上。 4，空间直线间位子关系

设直线1l 是平面1π与2π的交线，2l 是3π与4π的交线，即

11111

122222

......a x b y c z d l a x b y c z d ππ++=?????????

++=???????? 33333

24

4444......a x b y c z d l a x b y c z d ππ++=?????????

++=???????? 此时有1112

2

22a b c rank a b c ??=

??? 与3

3

34

4

42a b c rank a b c ??

= ???

（否则将有平面1π与2π平行或者平面3π与4π平行，此时属于空间直线与空间平面的位置关系，上已经讨论）。则1l 与2l 的位置关系有：异面、平行、相交与重合，现分别分析如下。

○1异面：由条件直线1l 是平面1π与2π的交线，2l 是3π与4π的交线（此时1π与2

π不可能重合，3π与4π不可能重合），故有

1 若有两个平面重合，不访设1π与3π重合既

111111133

333331a b c a b c d rank rank a b c a b c d ????

==

? ?????

，此时1l 与2l 是不可能异面。 因为

121342112113,l l l l ππππππππ?=?

?

?=?∈∈??=?

既1l 与2l 同在一个平面上，此时不可能异面。

2 若有两个平面平行，不访设平面1π与3π平行既

11

13331a b

c rank a b c ??= ???，11

1133332a b c d rank a b c d ??

= ???

，则1l 与2l 异面的充要条件是方程组111122224444a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??++=??++=?与方程组222233334

444a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

++=??

++=??++=?均有唯一解。 几何图形：

图形说明：直线1l （平面1π，2π的交线）与直线2l （平面3π，4π的交线）异面，且平面1π与3π平行。

3 若1π与3π平行且2π与4π平行。

11

13331a b

c rank a b c ??

= ???，11

1133332a b c d rank a b c d ??= ???，且2

22

444

1a b c r a n k a b c ??=

???，2

2224

4

442a b c d rank a b c d ??

= ???

时，显然有1l 与2l 平行，不可能异面。 几何图形：

图形说明：1π与3π平行且2π与4π平行，此时1l 与2l 平行。

4 若1π与3π相交，此时不在考虑2π与4π平行的情况（在2 中已经讨论）则必有1π，2π，

3π与4π两两相交（否则将有平面平行）。

则1l 与2l 异面的充要条件是方程组11112222

33334444

a x

b y

c z

d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??++=??++=??++=?无解，但存在其中的某3个方程构成

的方程组有唯一解。

其等价条件是：

ⅰ[]1111a b c β=，[]2222a b c β=，[]3333a b c β=，[]4444a b c β=中两两无关。

ⅱ1112

223334

4

43a b c a b c rank a b c a b c ?????

?=??

????，且1

1

11222233334

44

44a b c d a b c d rank a b c d a b c d ??????=??????

此时在分两种情况：

○

A 有四种可能性使某3个方程构成的方程组有唯一解。 此时不访设

1

1

12

223

3

33a b c rank a b c a b c ????=??????

几何意义：三个平面交于一点，且与第四个平面两两相交既为四面体形状。

几何图形：

图形说明：任意三个平面交于一点，且均与第四个平面相交构成四面体。 ○

B 只有三种可能性使某3个方程构成的方程组有唯一解。 几何图形：四个平面分别为平面AB

C ，平面ABFE ，平面BCF ，平面ACE 。

A

C

B

E

D

F

图形说明：三个平面ABC ，平面ABFE ，与平面ACE 相交与A 点；三个平面ABC ，平面ABFE ，与平面BCF 相交与B 点；三个平面ABC ，ACE 与平面ABC 相交于C 点。

○

1平行：现由条件直线1l 是平面1π与2π的交线，2l 是3π与4π的交线（此时1π与2π不可能重合，3π与4π不可能重合），故有1

112

2

22a b c rank a b c ??= ??? 与3

3

34

4

42a b c rank a b c ??= ???

1 若有两个平面重合，不妨设1π与3π重合，则1l 与2l 平行的充要条件是2π与4π平行或者2π与4π的交线与1π平行。

既11113

3

331a b c d rank a b c d ??

=

???

且1l 与2l 平行 ?2224441a b c rank a b c ??= ???且22

2244

442a b

c d rank a b c d ??= ???或则2

2

24

4

42a b c rank a b c ??

=

???

且1π，2π与4π两两相交且无公共点既是：

1

1

12

224

4

42a b c rank a b c a b c ????=?????? 1

1

1122224

44

43a b c d rank a b c d a b c d ????=?

?????

且[]1111a b c β=，[]2222a b c β=，[]4444a b c β=中两两无关。 几何图形：

或者

图形说明：左图1π与3π重合， 1l 与2l 平行且2π与4π平行；右图1π与3π重合， 1l 与2l 平行且2π与4π的交线与1π平行。

2 若有两个平面平行，不妨设1π与3π平行，则1l 与2l 平行的充要条件是2π与4π平行或者2π与4π的交线与1π平行。

既11

13331a b c rank a b c ??=

???，11

1133332a b c d rank a b c d ??

= ???且1l 与2l 平行 ?2224441a b c rank a b c ??= ???且22

2244

442a b

c d rank a b c d ??

= ???

或则2

224

4

42a

b c rank a b c ??

= ???

且1π，2π与4π两两相交且无公共点既是： 1

1

12

224

4

42a b c rank a b c a b c ????=?????? 1

1

1122224

44

43a b c d rank a b c d a b c d ????=?

?????

且[]1111a b c β=，[]2222a b c β=，[]4444a b c β=中两两无关。 几何图形：

或者

图形说明：左图1π与3π平行，1l 与2l 平行且2π与4π平行；右图1π与3π平行，1l 与2l 平行且2π与4π的交线与1π平行。

3 若1π与3π平行，且2π与4π，则1l 与2l 平行（上面已经讨论）。

几何图形：

图形说明：1π与3π平行且2π与4π平行，此时1l 与2l 平行。

4 若1π与3π相交，此时不在考虑2π与4π平行的情况（在2 中已经讨论）则必有1π，2π，

3π与4π两两相交（否则将有平面平行）。

则1l 与2l 平行的充要条件是则1l 与2l 异面的充要条件是方程组

1111

2222

33334444

a x

b y

c z

d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??++=??

++=??++=? 无解，但对任意其中某3个方程构成的方程组没有唯一解（与1π，2π，3π与4π两两相交，

1l 与2l 异面的条件相反）。

其等价条件是：

1111222233334444ⅱ1112

223334

4

42a b c a b c rank a b c a b c ?????

?=??

????，且1

1

11222233334

44

43a b c d a b c d rank a b c d a b c d ??????=??????

此时有两种情况：

○

A 对任意其中某3个方程构成的方程组没有解 等价条件：[]11111a b c d γ=，[]22222a b c d γ=，[]33333a b c d γ=，

[]44444a b c d γ=中任意三个都线性无关

几何图形：（截平面图）

图形说明：平面1π，2π，3π与4π中任意三个没有交点，四个平面围成一个没有上下底的四面拄。

○

B 对任意其中某3个方程构成的方程组没有唯一解，但却有含有一个解向量的基础解系。 等价条件：[]11111a b c d γ=，[]22222a b c d γ=

[]33333a b c d γ=，[]44444a b c d γ=中某三个都线性相关

几何图形：（截平面图）

图形说明：平面1π，2π，3π与4π中的某三个平面交于一条直线，并均与第四个平面相交。 ○C 相交：由于1l 与2l 的交点只有一个，既1π与2π的交线与3π与4π的交线的交点只有一个， 也既是平面1π，2π， 3π与4π的交点只有一个。 相交的充要条件：

1

111

1

112

22222233333334

4

44

44

43a b c a b c d a b c a b c d rank rank a b c a b c d a b c a b c d ????????????==??

??????????

1111222233334444时：

几何意义：两两平面相交，且四个平面相交到一点。 几何图形：

A

图形说明：四个平面1π，2π，3π与4π两两相交于一点。

2 []1111a b c β=与[]3333a b c β=线性相关或则[]2222a b c β=与[]4444a b c β=线性相关时，则必有两个平面重合。

几何意义：此时相当于三个平面相交到一点。 几何图形：

A

图形说明：平面1π，2π，3π两两交于一点（假设平面1π与4π重合）。

○

D 重合：由于1l 与2l 重合，既1π与2π的交线与3π与4π的交线重合，也既是平面1π，2π， 3π与4π的交点在一条直线上。

重合的充要条件：

1

111

1

112

22222233333334

4

44

44

42a b c a b c d a b c a b c d rank rank a b c a b c d a b c a b c d ????????????==??

??????????

1π，2π， 3π与4π四个平面两两相交于直线1l （没有平面重合）

等价条件：

[]1111a b c β=，[]2222a b c β=，[]3333a b c β=，[]4444a b c β=中两两线性无关。

几何图形：

图形说明：1π，2π， 3π与4π四个平面两两相交于直线1l 参考文献

[]1：吕林根.许子道等.解析几何第三版[M]. 高等教育出版社

[]2：同济大学应用数学系.高等数学第五版上册[M]. 高等教育出版社

[]3：同济大学应用数学系.线性代数第四版[M].高等教育出版社

[]4：俞正光.刘坤林.谭泽光.葛余博.线性代数通用辅导讲义》[M].清华大学出版社2007.4 []5：吕林根.许子道等编.解析几何第三版[M]. 高等教育出版社

[]6：吕林根.许子道等编.解析几何第三版[M]. 高等教育出版社