圆锥曲线的经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型
例题、已知椭圆C ：13
42
2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两
点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
3412
y kx m
x y =+??
+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->
2121222
84(3)
,3434mk m x x x x k k
-+=-?=++ 222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，
1212122
y y
x x ∴
?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7
k
m k m =-=-
，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-
时，2
:()7
l y k x =-，直线过定点2(,0)7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点
))(,)((2
222022220b
a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）
此模型解题步骤：
Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；
Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练
练习1：过抛物线M:px y 22=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）
练习3：过1222=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考答案：)5
1,51
(-）
练习:4：设A 、B 是轨迹C ：22(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4
π
αβ+=时，证明直线AB 恒过
定点，并求出该定点的坐标。（参考答案()2,2p p -）
【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4
παβ+=，故0,4
π
αβ<<
，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的
倾斜角之和为π从而设AB 方程为y kx b =+，显然22
12
12,22y y x x p p
==，
将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pb
y y y y k k
+=
?=
① 由4
π
αβ+=，得1＝tan
tan()4
π
αβ=+=
tan tan 1tan tan αβαβ
+-=122122()
4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：
212p
b pk
=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--= 所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.
练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C
2222,2
),,(EC ME CM CA MN
ME E MN y x +===
，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=?+=+-?（
(Ⅱ) 点B (-1,0),
22
212
1212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.
080)()(88
811211221212222112211=+?=+++?+-=+?+-=+?
y y y y y y y y y y
y y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(2
11
21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-?---=
- 1,088)(8)()(122
112112==?=++?-=+-+?x y x y y y y x y y y y y y
所以,直线PQ 过定点(1,0)
练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且
AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 （5分）
).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线
）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D
4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x AE AD
5)(2)4
4(4421212
2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(24
2)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y
m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4
)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得 )1(23)1(43484962222+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即
0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线
）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）
练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.
（I ）证明: OM OP ?为定值;
（II ）若△POM 的面积为2
5
，求向量OM 与OP
的夹角；
（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.
第22题
解：（I ）设点P y y P y y M ),,4
(),,4(22
2
121、M 、A 三点共线，
,4
414
,2
2
212
12
11y y y y y y k k DM AM --=
+=∴即
4,1
4212
12
11=∴+=+y y y y y y 即
.54
4212
2
21=+?=?∴y y y y OM
(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM
.5sin ||||,2
5=??∴=
?αS ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα
(Ⅲ)设点M y y Q ),,4
(32
3
、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴
3
1332222
331313
2
3133131311
,,41444
(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+=
=-++-∴++=-+++=即
即即分
,044
4,4,432
322121=+++?∴=
=y y y y y y y y 即 即.(*)04)(43232=+++y y y y
,44
432232
2
32y y y y y y k PQ +=--=
)4
(4
2
2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线
即.4)(,4))((32322
2
322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即 由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）. 模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为
2
00r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(10022
22y x P b a b
y a x 上一点>>=+处的切线
方程为12020=+b
y y a x x ”，过椭圆C ：1422
=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C
的两条切线，切点为 A 、B.
（1）求证：直线AB 恒过一定点；
（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。 【解】（1）设M 14
),,(),(),)(,33
4(
11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴
13311=+ty x ① 同理可得13
3
22=+ty x ② 由①②知AB 的方程为
)1(3,13
3
ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）
（2）把AB 的方程0167,14
)1(322
=--=+-=y y y x y x 化简得代入
∴7167283631||=+?+=AB 又M 到AB 的距离3323
1|
33
4|
=+=d ∴△ABM 的面积21
3
16||21
=
??=d AB S ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？
参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
练习1：已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为
32
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由
02
32
2
2
c --=
结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.
(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即21
4y x =,求导得12
y x '=
设()11,A x y ,()22,B x y (其中22
1212,44
x x y y ==),
则切线,PA PB 的斜率分别为11
2x ,212
x ,
所以切线PA ：()1
112
x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=
同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++ 联立方程002
220
4x x y y x y
--=??
=?,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
22200000019
21225222
y x y y y y ??+-+=++=++ ??? 所以当012y =-时, AF BF ?取得最小值,且最小值为92
.
练习2：如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为1
2
-.
(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方.(),,.A B O O 重合于时中点为
【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
例题：如图，已知直线L ：)0(1:122
22>>=++=b a b
y a x C my x 过椭圆的右焦点F ，
且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、B 在直线2:G x a =上的射影依次为点D 、E 。连接
AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
法一：解：)0,(),0,1(2a k F = 先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED
为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 中点N ,且)0,21
(2+a N 。猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,2
1
(2+a N 证明：设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A ，当m 变化时首先AE 过定点N
2222222
222222
2222212
22
12121222121212
2221()2(1)0 (80)
4(1)0(1)
,1122
1
()2011
()22
1
(()212(2AN EN AN EN x my a b m y mb y b a b x a y a b a b a m b a y y K K a a my a y y my y K K a a my a y y my y a mb a =+?+++-=?+-=??=+->>--==
----+--==----+--=?-+即分又而这是2222
2
22222222
(1))(1)()0)b a m m b a m b a mb mb a m b --?+-?-==+
∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线 同理可得B 、N 、D 三点共线
∴AE 与BD 相交于定点)0,21
(2+a N
法2：本题也可以直接得出AE 和BD 方程，令y=0，得与x 轴交点M 、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
例题、已知椭圆C ：2
2
14
x y +=，若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直
线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
方法1：点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1
和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为
1(2)y k x =+，由122(2)
44
y k x x y =+??+=?消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=
12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则2
11
2
12814k x k -=+，1121414k y k =+，
即点M 的坐标为211
22
11284(,)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-
12122
k k k k t -∴
=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4
x t
=
又2t >，∴402t <<
椭圆的焦点为
4t ∴=
3
t =
故当t =
时，MN 过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程
222121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合韦达定理，得到点M 的横纵坐标：
2112
12814k x k -=+，1121414k y k =+；其实由222(2)44
y k x x y =-??+=?消y 整理得222
222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2
222
28214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。不过如果看到：将21121164
214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到12122
k k k k t -=-+，由直线MN 的方程121121
y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =
，由4
t
=
t =
，到此不要忘了考察t =是否满足2t >。 ◆方法2：先猜想过定点，设弦MN 的方程，得出N A M A 21、方程，进而得出与T 交点Q 、S ，两坐标相减=0.如下：
时，猜想成立。显然，当韦达定理代入整理）（：易得、相较于若分别于得直线方程：）（）（设求出范围；）（联立椭圆方程，整理：设3
3
4)]
)(43()43(44-[)2)(2(1)
2)(2()
)(43())(3(24)2(2
)2(2))2(2
,(,)2(2,
);2(2
:),2(2:,,,,;01324,3:212
21212121212211221122
1122112221=
--+-++-=+---++-+-=
-----=-------=--=
?=-+++=t y y t t m m
x x x x y y t y y t y my t x y
t x y y y t x y t S t x y t Q S Q l x x y y l x x y y l y x N y x M my y m my x l S Q T N A M A MN
◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。
练习：已知椭圆E 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ??
???
三点．过椭圆的右焦点F 任做一与坐标轴不平行的直线l 与椭圆E 交于M 、
N 两点，AM 与BN 所在的直线交于点Q.
（1）求椭圆E 的方程：
（2）是否存在这样直线m ，使得点Q 恒在直线m 上移动？若存在,求出直线
m 方程,若不存在,请说明理由.
解析：（1）设椭圆方程为221(0,0),mx my m n +=>> 将(2,0)A -、(2,0)B 、3
(1,)2
C 代入椭圆E 的方程，得
41,
9
14
m m n =??
?+=??解得11,43m n ==. ∴椭圆E 的方程22143x y += （也可设标准方程，知2=a 类似计分） （2）可知：将直线:(1)l y k x =-
代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理．得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=
设直线l 与椭圆E 的交点1122(,),(,)M x y N x y ，
由根系数的关系，得2121222
14(3)
,3434k x x x x k k
-+==++ 直线AM 的方程为：1111(1)(2),(2)22y k x y x y x x x -=
+=+++即 由直线AM 的方程为：22(2)2y y x x =
--，即22(1)
(2)2
k x y x x -=-- 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
121212122121222(3)2[23()4]
34()24
x x x x x x x x x x x x x x x -+-++=
=+-++-
22222222222
222
8(3)24462443434344846423434k k k x x k k k k k x x
k k ????-+-+-+ ???+++????==
=+-+-+++ ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 故这样的直线存在
模型四：动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。 例题
1.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。（I ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点)3
1
,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（I ）由0)42(:4222
=+-+???=+=b x b x y x
y b x y 得消去
因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(22=--=?∴b b 1=∴b
22222
2
1,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.12
22=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)3
4()31(=++y x
当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12
2
=+y x ,由??
?==??
???=+=++101
)34()31(22222
y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。
当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）
若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3
1
-=kx y
由01612)918(:12
312222
=--+???????
=+-=kx x k y y x kx y 得消去 记点),(11y x A 、???
???
?
+-=
+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-又因为 1212121244
(1)(1)()()33
TA TB x x y y x x kx kx ?=+--=+--所以
916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09
16
918123491816)1(222=++?-+-?+=k k k k k
∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.
◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。
例题2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率是2
，12,A A 分别是椭圆C
的左、右两个顶点，点F 是椭圆C 的右焦点。点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足
12112
2A D A D FD
+==。 （1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；
（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx
=与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线Q 。求证：以线段PQ 点的坐标。
解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ， 由
1211
2A D A D
+=有112x a x a +=+-，
又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是
11
211c a c a
+=+++- 1(1)(1)c c a c a ?+=+++-
，又22
c a a
=?
=， 1(1)(1)c c c ∴+=+++-
2
0c c
?-=，又0c >，1,1c a b ∴=∴=，椭圆2
2:12
x C y +=，且(2,0)D 。
（2）方法1：(2,2)Q k m +，设00(,)P x y ，由22
22
()121
2
y kx m
x kx m x y =+???++=?+=?? 222()2x kx m ?++=222(21)4220k x kmx m ?+++-=，
由于22222222164(21)(22)021021k m k m k m m k ?=-+-=?-+=?=+（*），
而由韦达定理：*00222
422222121km km km k x x k k m m ---=?===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21
(,)k P m m
∴-，
设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ?=有
2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k
x x y y k m x y x k m y m m m m m
+
-+--+=?++-++++-=由
对称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。
法2：本题又解：取极值，PQ 与AD 平行，易得与X 轴相交于F （1,0）。接下来用相似证明PF ⊥FQ 。
;22,,0000=+y y x x PQ y x P 切线方程为易得）（设)1,
0(0
y x D -易得 FD PH ⊥设
0090,;1;1;1;=∠??==-=
-==PFQ FDQ PHF FD
DQ
PH HF DF y x DQ x HF y PH ，易得相似于固
问题得证。
练习：已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点2F 与抛物线22:4C y x =的焦点重
合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25
||3
PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线
2C 上的动点,圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.
（1）解法1：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0). ∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵25
3PF =,∴1513x +=，解得123
x =.由211843y x ==
，且10y >,
得1y =.∴点P 的坐标
为23,? ?. 在椭圆1C :22
221(0)x y a b a b
+=>>中，
1c =
.122||||4a PF PF =+=+=
∴2,a b ===∴椭圆1C 的方程为22
143
x y +=.
解法2：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线
2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,
∵25
3PF =,∴1513x +=，解得123x =.由211843y x ==，且10y >
得1y =
∴点P
的坐标为2(3.在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中，1c =.
由222
221424
199c ,a b c ,.
a
b ?
?=?=+???+=?
解得2,a b ==∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.
（2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，
∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴
||4MN ==.
∴r =∴圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()*
∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥).∴2001
4
x y =. 把20014x y =代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()02
4x y yy x y +---+=.()**
方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.
x
y x y ?-=??-=??+-=??
解得2,
0.x y =??=?
∵点(2,0)在椭圆1C :22
143
x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上
一定点()2,0.
证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ， ∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥).
∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴
||4MN ==.∴
r =∴ 圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()***
令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为224x y +=.
由222
24,
1,4
3x y x y ?+=??+=??解得2,0.x y =±??=?∴圆3C :224x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-.
分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线的定值问题
第一章圆锥曲线中的定点定值问题 【序言】： 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【思维导图】： 【考纲解读和命题预测】： 浙江高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体
运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【知识清单】：
【题型讲解】： 第一节：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线? 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型: 模型一：“手电筒”模型 8mk x x 4(m 2 3) 2 , x i x 2 2~ 3 4k 2 3 4k 2 定点张直角的一组性质”） 例题、（07山东）已知椭圆C ： 2 X 2 y 1若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A , B 两点 4 3 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证: 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设 A(x i , yJ,B(X 2, y 2)，由 y 3x 2 kx 4y 2 m + 2 2 得(3 4k 2)x 2 12 8mkx 4( m 2 3) 0 , 2 2 2 2 64m k 16(3 4k )(m 3) 0 , 3 2 2 4k m (A , B 考。如果大家能够熟识这些常见的结论, X i y i 2 y 2 (kx-i m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),且 k AD k B D 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1 , y i y 2 x 1 2 x 2 2 1 , y i y 2 X i X 2 2(X i X 2) 4 0， 3(m 2 4k 2) 4(m 2 3) 3 4k 2 3 4k 2 整理得 :7m 2 16mk 4k 2 当m 2k 时, l:y k(x 当m 2k 亠 时 l:y k(x 16mk 3 4k 2 0 ,解得：m i 2），直线过定点 ―），直线过定点 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（彳,0）. 2k,m 2 空，且满足3 4k 2 7 （2,0）,与已知矛盾; (2,0) ?方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 X )(a 2 b 2) y °(a 线交圆锥曲线于 AB,则AB 必过定点（ a 2 b 2 2 b 2 ） 2 T 1 ） o （参考百度文库文章: a b “圆锥曲线的弦对 7
圆锥曲线经典练习题及答案(供参考)
圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（ ） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。
圆锥曲线定值定点问题【最新】
圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好, 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012*荷泽一模〉已知直线1：y=x+AZ&. I.!a|O：x-+y-=5.椭圆E：牛+牛二i过圆O上任 意一点P作椭换1E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之枳为宦值. 2. （2012?自贡三模）：过点0）作不打y轴垂直的直线1交该椭于M、 5 4 N两点，A为椭圆的左顶点-试判断ZMAN的大小是否为怎值，并说明理由? 2 2 3.（2013?川山二模〉设A（XI，yi）. B （x?, y2> 是椭PilA;+^=b（a>b：>0）上的两点, 己知向量二（:丄竺），二（二2竺）.且W恳二0?若椭圆的离心率巴出.短轴长为2, ba ba 2 O为坐标原点： （I）求椭岡的方程： （11 ）若直线AB过椭鬪的焦点F （0, C）, Cc为半焦距），求直线AB的斜率k的值：（llf）试问：△AOB的iflf枳是否为怎值？如果是，请给予证明；如果不是.请说明理由. 4.已知椭鬪C的中心在原点，傑点在X轴上，长轴长是短轴长的近倍.且椭圆C经过点M（2, V2）. （1）求椭鬪C的标准方程：
(2》过鬪0： 二3卜的任意一点作圆的一条切线椭鬪C 交于A 、B 两点.求证: 3 5.已知平面上的动点P(x, y)及两定点A ( -2, 0), B (2, 0).直线PA. PB 的斜率分 ki* k2 且k J ? k 2= - 求动点P 的轨迹C 的方程： 设直线h 戸kx+m 仃曲线C 交于不同的两点M. N ? ②若直线BM. BN 的斜率都存在并满足kBM.kBif-亍 证明直线I 过定点，并求出这个 富点. 2 2 - 6. (2011>新疆模拟)已知椭圆C ；青+丫5二1(a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭 a D 2 圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切. (I )求椭圆C 的方程； (II)设P(4, 0), A. B 是椭圆C 上关于X 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点E,证明直线AE 与X 轴相交于窪点Q ： 7.已知椭圆Q 的离心率为2,它的一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合. (1)求椭鬪Q 的方程； 2 + y ― 1 (a>b>0)上过点(xo ，yo>的切线方程为 X2 ygy 2 —+ ~72 a b ① 过直线1： x=4上点M 引椭圜Q 的两条切线，切点分别为A, B.求证：直线AB 恒过是 点C ； ② 是否存在实数入使得iAq+|BC|=x>jACHpC!>若存在，求出入的值：若不存在，说明理由? 2 c 过椭圆c ：刍+y2=i 的右焦点F 作直线I 交椭圆C fA 、B 两点，交y 轴于M 点，若 5 亦二X 1万，旋二X 2丽，求证：入1+入2为定值. 别是 (1) (2) ①若OM 丄ON <0为坐标原点).证明点O 到直线I 的距离为定值，并求出这个定值 =1-
(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D)
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线专题——定值问题解析版
圆锥曲线中的定值问题 1.平面内动点P(x ，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于1 4 -，若点P 的轨迹为曲线 E ，过点 6 (,0)5 Q -直线 l 交曲线E 于M ，N 两点． （Ⅰ）求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； （Ⅰ）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值 【答案】（Ⅰ）2 21(2)4 x y x =≠±＋（Ⅰ）16 试题解析：（Ⅰ）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得： 22y y x x ?=-+１ －４，化简得221(2)4x y x =≠±＋ 曲线E 的方程为，2 21(2)4 x y x =≠±＋, 4分 （说明：不写2x ≠±的扣1分） 由题可设直线 的方程为 ,联立方程组可得 ,化简得： 设,则， （6分） 又 ,则 , 所以090MAN ∠=,所以的大小为定值 （8分） 2. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由； MAN ∠
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）令()1,0A x ，()2,0B x ，C(0，1)， x ， 为2 20x mx +-=的根1212 2x x m x x ?>??+=-??=-?， 假设AC BC ⊥成立，所以0AC BC ?=u u u r u u u r ，()1,1AC x =-u u u r ，()2,1BC x =-u u u r ， 所以1110AC BC x x ?=+≠u u u r u u u r ，所以不能出现AC BC ⊥的情况. 3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 120-+=相切. （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别交直线16 3 x = 于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【解析】（1 ）由题意得22212 42 c a a b b c a b c ?=?=?? ?=∴=??=??=+??C 的方程为2211612x y + =． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+， 由()2222341821016123x y m y my x my ?+ ?∴++-=??=+?
圆锥曲线历年高考题附答案解析
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
圆锥曲线经典结论总结(教师版)
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法
寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题）
高二圆锥曲线经典练习题含答案
一．求离心率问题 1．已知椭圆和直线，若过C的左焦点和下顶点的 直线与平行，则椭圆C的离心率为（） A．B．C．D． 2．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为（） A．﹣1B．C．D．+1 3．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE 交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（） A．B．C．D． 4．过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[）B．[]C．[）D．[] 5．设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径 的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（） A．B．C．2D． 6．已知双曲线的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（） A．B．C．D．
7．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲 线的离心率为（） A．2B．C．D．2 8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐 近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D． 二、圆锥曲线小题综合 9．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．8 10．已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点 P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（） A．5B．7C．9D．11 11．已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（） A．B． C．D． 12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p＝（） A．2B．C．3D．6 13．已知椭圆与双曲线
圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =-
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）