(数学)高三数学专题复习【排列组合与二项式定理】

高三数学专题复习【排列组合与二项式定理】

【考纲解读】

考纲是这样提到排列组合二项式定理的有关内容的：

(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．

(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 在上述说明几个字眼重复的出现：性质、解决、简单、应用问题，这其实都是这样的一个要求，能利用排列组合二项式定理的一些既得结论和性质解决一些简单的应用题或证明题.

我们在复习有关内容时，首先要理解排列组合二项式定理的有关概念、结论、性质，并将其应有在有关的问题上，重在“解决一些简单的问题”，由此，选择合适、足量的题目进行练习很重要，在题目的选择上，以中下难度为宜.

【真题回放】

1．（2012年广东理10）6

2

)1(x

x +的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答） 2．（2011年广东理10）7)2(x x x -的展开式中，4x 的系数是_________.（用数字作答） 3．（2010年广东理8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要是实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )

A ．1205秒

B ．1200秒

C ．1195秒

D ．1190秒

4．（2009年广东理7）2010年亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )

A ．36种

B ．12种

C ．18种

D ．48种

【启示】

近几年的广东高考（理科）试题中，排列组合与二项式定理出现的次数非常频繁，每年都至少一题，排列组合还经常作为概率计算的工具与概率计算一起考核.

广东的排列组合题并没有考察得非常复杂，常只需设计两三个解题步骤就可以完成。高考中这一类型问题学生的得分率，主要是学生对排列组合问题缺乏信心，也没有必要的练习量，对其问题的分析尚不够全面、透彻。对于求选择填空满分的同学，我们还是需要在平时的练习中加大练习量，务必能理解熟悉你遇到过的排列组合问题.

二项式定理常考察它的通项公式和定理的应用，对定理的应用又以“赋值法”运算居多。

【例题精析】

题型一：分类计数问题

例1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门

学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )

A ．120

B ．98

C ．63

D ．56

例2．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六

个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两

个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )

A ．288种

B ．264种

C ．240种

D ．168种

【规律总结】

许多的排列组合问题，往往需要找准切入点进行分类讨论，正确理清解决问题的“步骤”来解决问题.

题型二：二项式定理的应用

例3．若n

x x )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

例4．在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( )

A ．15-

B ．85

C ．120-

D ．274

例5．522)11)(2(-+x

x 的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2- C ．2 D ．3

【规律总结】

(1)熟练使用二项式定理的通项是解决此类问题的关键，计算时需仔细认真，尤其是系数与幂的运算；

(2)在遇到变量具有任意性的恒等式时，我们往往用赋值法得到特殊的结论，这就是“一般结论特殊化”.

【自主练习】

1．方程c x b ay +=22中的},3,2,1,0,2,3{,,--∈c b a 且c b a ,,互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )

A ．60条

B ．62条

C ．71条

D ．80条

2．设三位数,abc n =若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有( )

A ．45个

B ．1个

C ．165个

D ．216个

3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．

4．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案

中的1，2，3，4，5，6，7所处的位置上，其中3盆兰花不能

放在一条直线上，则不同的摆放方法有_______种．

5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是____．

6．若n x

x )21(+的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中4x 项的系数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 7．在5

2)1

2(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )

A ．10

B ．－10

C ．40

D ．－40

8．如图，将圆分成n 个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，

把不同的染色方法种数记为n a ，求：

(1)4321,,,a a a a ；

(2)n a 与)2(1≥+n a n 的关系式；

(3)数列}{n a 的通项公式n a ，并证明*).(2N n n a n ∈≥

9．设,)14(2002002210200x a x a x a a x ++++=- 求：

(1)展开式中二项式系数之和；

(2)展开式中各项系数之和；

(3)||||||||200210a a a a ++++ ；

(4)展开式中所有偶数项系数之和；

(5)展开式中所有奇数项系数之和.

参考答案

【真题回放】 1．20 2．84 3．C 4．A

【例题精析】 例1．B 例2．D 例3．D 例4．A 例5．D

【自主练习】1．B 2．C 3．36 4．4320 5．96 6．B 7．D

8．解：(1)当1=n 时，不同的染色方法种数,31=a

当2=n 时，不同的染色方法种数,62=a

当3=n 时，不同的染色方法种数,63=a

当4=n 时，分区域1，3同色与异色两种情形，

不同的染色方法种数.181********=???+???=a

(2)依次对区域1,,3,2,1+n n 染色，不同的染色方法种数为,23n ?

其中区域1与1+n 不同色的有1+n a 种，区域1与1+n 同色的有n a 种. ).2(231≥?=+∴+n a a n n n

(3)),2(231≥?=++n a a n n n

,23232?=+∴a a ,23343?=+a a , ,2311--?=+n n n a a

将上述2-n 个等式两边分别乘以),1,,3.2()1(-=-n k k

再相加，得1132122)1(32323)1(---?-?++?+?=-+n n n n a a )

2(1])2(1[2322---?=-n ,)1(22n n n a -?+=∴ 从而???≥-?+==)

2(,)1(22)1(,3n n a n n n ，证明： 当1=n 时，,1231?>=a

当2=n 时．2262?>=a ，

当3≥n 时，n

n n n n a )1(2)11()1(22-?++=-?+=

n n n n n n C C C n )1(211232-?++++++++=-

-?++≥(222n ,2)1n n ≥

故*).(2N n n a n ∈≥

9．解：令,)14()(200-=x x f 则：

(1)展开式中二项式系数之和为.2200200200220012000200=++++C C C C

(2)展开式中各项系数之和为.3)1(200=f

(3).5)1(||||||||200200210=-=++++f a a a a

(4)=+++19931a a a 2532

)1()1(200200-=--f f . (5)=+++200

20a a a .2532)1()1(200

200+=-+f f