C语言程序设计漫谈之从“杨辉三角形”谈起

从“杨辉三角形”谈起

杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623~1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。

如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列，就可以得到下面的等式：

(a+b)0=1 ，它只有一项，系数为1；

(a+b)1=a+b ，它有两项，系数分别是1，1；

(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别是1，2，1；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别是1，3，3，1；

……

由此，可得下面的图表，这个图表就是杨辉三角形。

观察上图表，我们发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数中间，且等于它们的和，可以按照这个规律继续将这个表写下去。

【例1】杨辉三角形。

输入n（1<=n<=30)，输出杨辉三角形的前n行。

（1）编程思路1。

用一个二维数组y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。

例如：

由上表知：当row＝5时，y[5][1] = 1，

y[5][2] = y[4][1] + y[4][2]，y[5][3] = y[4][2] + y[4][3]，

y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ，y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]

一般的，对于第row（1～30）行，该行有row＋1个元素，其中：

y[row][1]=1

第col（2～row+1)个元素为：y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。（2）源程序1。

#include

int main()

{

int n,i,j,y[31][31]={0};

for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1

y[i][1]=y[i][i]=1;

for (i=3;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值

for (j=2;j

y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];

while (scanf("%d",&n)!=EOF)

{

for (i=1;i<=n;i++)

{

for (j=1;j<=i;j++)

{

if (j!=1) printf(" ");

printf("%d",y[i][j]);

}

printf("\n");

}

printf("\n");

}

return 0;

}

（3）编程思路2。

用一个一维数组y[30] 来保存杨辉三角形某一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。

由上表知：当row＝4时，y[4] = y[4]+y[3]， y[3] = y[3]+y[2]，

y[2] = y[2]+y[1] ， y[1] = y[1]+y[0]，

y[0]=1

一般的，对于第row（0～9）行，该行有row＋1个元素，

第col（row～1)个元素为：y[col]=y[col]+y[col-1]，

y[0]=1

（4）源程序2。

#include

#include

int main()

{

int y[30],row,col,n;

while (scanf("%d",&n)!=EOF)

{

memset(y,0,sizeof(y)); // 数组元素初始化为0

y[0]=1;

printf("%d\n",y[0]);

for (row=1;row

{

for (col=row;col>=1;col--)

y[col]=y[col]+y[col -1];

for (col=0;col<=row;col++)

{

if (col!=0) printf(" ");

printf("%d",y[col]);

}

printf("\n");

}

printf("\n");

}

return 0;

}

将上面的两个源程序提交给HDU 2032“杨辉三角”，均可以Accepted。

下面我们进一步讨论一下杨辉三角形。

我们根据杨辉三角形前16行中每个数的奇偶性决定是否输出一个特定字符。比如如果是奇数，输出一个“*”号；是偶数，输出一个空格。编写如下的程序：

#include

int main()

{

int n,i,j,y[17][17]={0};

for (i=1;i<=16;i++) // 赋行首与行尾元素值为1

y[i][1]=y[i][i]=1;

for (i=3;i<=16;i++) // 每行中间元素赋值

for (j=2;j

y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];

for (i=1;i<=16;i++)

{

for (j=1;j<=i;j++)

if (y[i][j]%2==1) printf("* ");

else printf(" ");

printf("\n");

}

return 0;

}

运行上面的程序，可以得到如下的运行结果。

运行结果的图形是一个递归深度为4的三角形。通过这个图形，我们感觉杨辉三角形中每个数字的奇偶应该满足一定的规律。

组合数C(n,m)是指从n个元素中选出m个元素的所有组合个数。其通用计算公式为：

C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!] C(0,0)=1 C(1,0)=1 C(1,1)=1

从n个元素中取m个元素，考虑第n个元素，有两种情况：（1）不取。则必须在前n-1个元素中取m个元素，方案数为C(n-1,m)；（2）取。则只需在前n-1个元素中取m-1个元素，方案数为C(n-1,m-1)。因此， C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

这正好符合杨辉三角形的递推公式。即杨辉三角中第i行第j列的数字正是C（i,j）的结果。因此，下面对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。

【例2】组合数的奇偶性。（POJ 3219）

二项式系数C(n, m)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。二项式系数可以如下递归的定义：

C(1, 0) = C(1, 1) = 1；

C(n, 0) = 1 对于所有n > 0；

C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 对于所有0 < m ≤ n。

给出n和k，确定C(n, m)的奇偶性。

（1）编程思路1。

对于给定C(n,m)，检查n！中2因子的个数与m！和(n-m)！中2因子个数和的关系，假设n!中2因子个数为a，m!中2因子个数为b，(n-m)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。

（2）源程序1。

#include

int getTwo(int x) // x!中2的因子的个数

{

int cnt=0;

while (x/2!=0)

{

cnt += x/2;

x=x/2;

}

return cnt;

}

int main()

{

int n,k;

while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)

{

if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0)

printf("0\n");

else

printf("1\n");

}

return 0;

}

（3）编程思路2。

前面通过杨辉三角形中数字的奇偶性输出“*”图时，我们感觉其数字的奇偶性与数字所在的行号和列号有一定的关系，即组合数C(n,m)的奇偶性与n和m有对应关系。

根据网络上的资料，给出结论如下：

组合数的奇偶性判定方法为:

对于C(n,m)，若n&m == m 则C(n,m)为奇数，否则为偶数。

这个结论可以采用数学归纳法进行证明，在这里省略证明方法。感兴趣的读者可以查阅相关资料。在此知道结论好了！

（4）源程序2。

#include

int main()

{

int n,k;

while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)

{

if ((n&k)==k)

printf("1\n");

else

printf("0\n");

}

return 0;

}

根据组合数的奇偶性判定方法: 对于C(n,m)，若n&m == m 则C(n,m)为奇数，否则为偶数。

可以写出如下一个程序。

#include

int main()

{

int n,i,j;

while (scanf("%d",&n) && n!=0)

for (i=0;i<(2<<(n-1));i++)

{

for (j=0;j<=i;j++)

if ((i&j)==j) printf("* ");

else printf(" ");

printf("\n");

}

}

return 0;

}

运行这个程序，输入4，可以得到前面所示的星号图形。有一次，我在网上随意浏览时，发现上面这个程序，当时觉得有些奇妙，有些小神奇。因为，要输出一个递归形式的星号图形，我习惯性地采取递归的方法。例如，为达到上面程序的功能，根据输入的n，输出相应的递归图形，我会编写如下的程序：

#include

#define N 64

void draw(char a[][N], int n, int row, int col)

{

if(n==1)

{

a[row][col] = '*';

return;

}

int w = 1;

int i;

for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2;

draw(a, n-1, row, col);

draw(a, n-1, row+w, col+w);

draw(a, n-1, row+w,col);

}

{

char a[N][N];

int n,w,i,j;

while (scanf("%d",&n) && n!=0)

{

for(i=0;i

for(j=0;j

a[i][j] = ' ';

w=1;

for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;

draw(a,n,0,0);

for(i=0; i

{

for(j=0; j

printf("%c ",a[i][j]);

printf("\n");

}

}

return 0;

}

一个简单的二重循环即可完成递归图形的描绘，我当时还琢磨半天，怎么会这样？怎么想出来的？怎么会这样，我现在明白了，组合数的奇偶性判断规则。怎么想出来的，也只能归结于小神奇了，毕竟组合数的奇偶性恰好和一个递归图形完美结合起来，单靠想是难想出来的。

【例3】一个递归图形。

小明在X星球的城堡中发现了如下图形：

编写一个程序，实现该图形的打印。

（1）编程思路。

设row代表行号，col代表列号。用组合数的奇偶性判断规则，如果是奇数（row & col ==col），输出“*”；如果是偶数，就输出空格。

输入n（代表度，即递归深度，题干中给出的两个图形的都分别为4和6），输出的行数row=2n-1。由于最后一行抵左端，从下往上每行向后缩进一个位置（通过输出空格实现）。因此，第row行应先输出的空格数为 2n-1-row-1。

（2）源程序。

#include

int main()

{

int n,i,w,row,col;

while (scanf("%d",&n) && n!=0)

{

w=1;

for (i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;

for (row=0; row

{

for (col=1; col

printf(" ");

for (col=0;col<=row;col++)

if ((row & col)==col)

printf("* ");

else

printf(" ");

printf("\n");

}

}

return 0;

}

杨辉三角形作为二项式系数有着重要的应用价值。熟练地构造出杨辉三角形的各项（见例1的源程序），可以用来解决实际问题。

【例4】新生晚会（HDU 2519）。

Problem Description

开学了，杭电又迎来了好多新生。ACMer想为新生准备一个节目。来报名要表演节目的人很多，多达N个，但是只需要从这N个人中选M个就够了，一共有多少种选择方法？

Input

数据的第一行包括一个正整数T，接下来有T组数据，每组数据占一行。

每组数据包含两个整数N（来报名的人数,1<=N<=30），M（节目需要的人数0<=M<=30）Output

每组数据输出一个整数，每个输出占一行

Sample Input

5

3 2

5 3

4 4

3 6

8 0

Sample Output

3

10

1

1

（1）编程思路。

本题实质求组合数C(n,m)的值。构造一个杨辉三角形即可。

（2）源程序。

#include

int main()

{

int n,m,i,j,t,y[31][31]={0};

for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1

y[i][0]=y[i][i]=1; // 注意列标从0开始

for (i=2;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值

for (j=1;j

y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];

scanf("%d",&t);

while (t--)

{

scanf("%d%d",&n,&m);

printf("%d\n",y[n][m]);

}

return 0;

}

【例5】Code （POJ 1850）。

Description

Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is that one where a number is associated to a character sequence. It is considered that the words are made only of small characters of the English alphabet a,b,c, ..., z (26 characters). From all these words we consider only those whose letters are in lexigraphical order (each character is smaller than the next character).

The coding system works like this:

? The words are arranged in the increasing order of their length.

? The words with the same length are arranged in lexicographical order (the order from the dictionary).

? We codify these words by their numbering, starting with a, as follows:

a - 1

b - 2

...

z - 26

ab - 27

...

az - 51

bc - 52

...

vwxyz - 83681

...

Specify for a given word if it can be codified according to this coding system. For the affirmative case specify its code.

Input

The only line contains a word. There are some constraints:

? The word is maximum 10 letters length

? The English alphabet has 26 characters.

Output

The output will contain the code of the given word, or 0 if the word can not be codified.

Sample Input

bf

Sample Output

55

（1）编程思路。

题目的意思是：已知26个英文字母的组合和数值的对应关系，如a~z表示第1~26列，ab~az表示第27~51，…。输入字母组成的字符串str，问它对应的整数为多少。

首先判断输入的str是否是升序序列，如果不是升序序列，则输入不合法，直接输出0。

如果是升序序列，则先计算比str长度少的所有字符串个数。

假设str为vwxyz ，其长度为5。则

长度为1的字符串有a,b,c,…，y,z 共C(26,1)=26 个。

长度为2的字符串

以a开头的有ab,ac,ad,…,ay,az共C(25,1)=25个；

以b开头的有bc,bd,…,by,bz共C(24,1)=24个；

以x开头的有xy,xz 共C(2,1)=2个；

以y开头的有yz 共C(1,1)=1个。

由数学公式：

知，长度为2的字符串共有C(1,1)+C(2,1)+…+C(24,1)+C(25,1)=C(26,2) 个。

同理，长度为3的字符串共有C(26,3) 个。

长度为4的字符串共有C(26,4) 个。

因此，长度比5小的字符串的总数

为： C(26,1)+C(26,2)+C(26,3)+C(26,4)=26+325+2600+14950=17901。

然后，从高位到低位处理长度为5，但比str小的字符串的个数。

首位为”v“，因此，首位为a,b,…,u的字符串均比str小。

首位为a 的字符串有abcde,abcdf, …，awxyz，共C( 25,4)个，即后4个字母可以在b~z这25个字母中任取4个。

首位为b 的字符串有bcdef,bcdeg, …，bwxyz，共C( 24,4)个，即后4个字母可以在c~z这24个字母中任取4个。

……

首位为u 的字符串有uvwxy，uvwxz，uvwyz，uvxyz，uwxyz，共C(5,4)个，即后4个字母可以在v~z这5个字母中任取4个。

因此，考虑首位后，比str小的字符串个数有

C(25,4)+C(24,4)+……+C(6,4)+C(5,4)=12650+10626+8855+7315+5985+4845+3876+30 60+2380+1820+1365 +1001+ 715+ 495+ 330+ 210+ 126+ 70+ 35+ 15+ 5=65779

次位为”w“，因为首位为v，次位为w，后3位的又都要比w大，否则不满足升序，因此只有xyz可选，考虑次位后，比str小的字符串个数为0。

同理，考虑第3位、第4位及最后1位，比str小的字符串个数均为0。

故vwxyz 对应的数字为：17901+65779+1（代表自身）=83681。与题干一致。

（2）源程序。

#include

#include

int main()

{

char s[15],ch,t;

int c[27][27],len,ans=1,flag;

int i,j;

for (i=1;i<=26;++i)

{

c[i][0]=1; c[i][i]=1;

for (j=1;j

c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];

}

scanf("%s",s);

len=strlen(s);

flag=1;

for (i=1;i

if (s[i]<=s[i-1])

{

flag=0;

break;

}

if (flag==0)

printf("0\n");

else

{

for (i=1;i

ans+=c[26][i];

for(i=0;i

{

ch=(i==0? 'a':(s[i-1]+1));

for (t=ch;t

ans+=c['z'-t][len-1-i];

}

printf("%d\n",ans);

}

return 0;

}

POJ 1496 “Word Index”与本题类似，在理解了本题后，可以顺手通过POJ 1496。