四种线性代数模型

线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。

实验一 生物遗传模型

1.工程背景

设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?

2.问题分析

分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。

表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对

AA —AA

AA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa

1/4

1/2

1

3.模型建立与求解

设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。

则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ?? ?= ? ???，0(0)

00a x b c ?? ?= ? ???表示植物型的初始分布。依据上述基

因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，111

2

n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为

矩阵形式

11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---?????? ? ???= ? ??? ? ????????? 记1

1/200

1/21000M ??

?

= ? ??

?

，则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x Mx M x M x M x ---=====。

于是问题归结为如何计算n

M ，可将M 对角化。易于计算M 的特征值为1、1/2、0，其相应的特征向量为(1,0,0)T

，(0,1,0)T

-，(1,2,1)T

-。

令101012001P ?? ?=-- ? ???，则1

11/2001/21000M P P -?? ?= ? ???

。

于是()

(0)

1(0)11/2001/21000n

n n x

M x P P x -?? ?

== ? ???

1

(0)1011

001010120(1/2)0012001000001n

n x -?????? ? ? ?=---- ? ? ? ? ? ???????

11000001(0)100

11(1/2)1(1/2)(1/2)(1/2)01/21/2(1/2)(1/2)0000n n n n n n n n a b c b c x b c ----????--++-- ? ?==+ ? ? ? ?????

1001

001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --??-- ?=+ ? ???

。

当n →∞，1,0n n a b →→，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA

型。

实验二 员工培训问题 1.工程背景

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ??

???

。 2.问题

问题1：第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++??

???

与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ??

???

的关系。

问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ??

?

??= ? ? ?

?? ???

，求11n n x y ++?? ???。

3.模型建立与求解 依据题意，有1521()656

n n n n x x x y +=

++，131

()56n n n y x y +=+。

整理化简得119210513105n n n n n n x x y y x y ++?=+???

?=+??，

即119

21051

310

5n n n n x x y y ++?? ?????=

? ? ?

????? ???，记

9

21051310

5A ??

?= ? ? ???

，亦有11n n n n x x A y y ++????= ? ?????。 由问题1结果，有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-?? ???????===

= ? ? ? ? ???????

???

。 问题归结为求n

A ，可将A 对角化。易于计算1、1/2是矩阵A 的两个特征值，且相应的特征向量为()()4,1,1,1T

T

-。

记4111P -??

= ???

，则1921010511302105P P -??

??

? ?=

? ? ? ?????

11104()44()41111122

1111411550()1()14()22

2n n n n n n A ?

?+-?? ?

-???? ?==

? ? ? ?-???? ?-+ ?

??

??

。 因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++???

?- ? ???== ?

? ? ? ???

+ ? ?????。

实验三 多金属分选流程计算

1. 工程背景

设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率，%，100%γ=；

i α—原矿中第i 种金属品位，%；

ij β—第j 种产品中第i 种金属品位，%；

ij

β

ε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率，%；

按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。 金属平衡， 1

,1,2,

,n

i j

ij j i m γαγ

β==

=∑

产品平衡，

1

100%n

j

j γ

==∑

其中，尾矿产率及金属品位为,n i in θγγθβ== 解次多元线性方程组求出产品产率。

各产品任一金属回收率1

100%

ij

j ij

n

j

ij

j βγβγ

βε

=?=

∑。

2. 问题

某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见下表），试计算各产品产率和回收率。

表6-5各产品的化验品位

铅 71.04 3.71 15.70 锌 1.20 51.50 30.80 硫 0.38 0.35 42.38 尾矿

0.34

0.10

1.40

3. 模型建立与求解

设铅、锌、硫和尾矿的产率为123,,x x x 和4x ，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：

12341234

1234123471.04 1.200.380.34100 3.143.7151.500.350.10100 3.6315.7030.8042.38 1.4010015.41100

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=???+++=???

+++=???+++=? MATLAB 源代码：

A=[71.04 1.20 0.38 0.34;3.71 51.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1]

%创建系数矩阵

b=[314 363 1541 100]’; %常数列矩阵 x=A\b %利用x=inv(A)*b x =

3.8659 6.4590

28.2046

61.4706

又x0=repmat(x,[1,4]); %创建多维数组

B0=repmat(b,[1 4])’;

s=x0.*A’./B0 %计算各产品的理论回收率，最后一列为产率

s=

87.4623 3.9511 3.9386 3.8659

2.4684 91.6361 12.9096 6.4590

3.4133 2.7194 77.5671 28.2046

6.6560 1.6934 5.5846 61.4706

将计算结果填入下表

表6-6各产品产率及回收率计算结果

实验四交通流量模型

1. 问题

图6-8.

图6-8

假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量．

（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量．

2. 模型的建立与求解

由假设可知，所给问题满足如下线性方程组:

?????

???????

??

??

?=++==-==+=+=+=-=+=+-100

600200400100800

800200500

3006381091098751216754432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. Matlab 程序实现

A=[0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0] % 矩阵A b=[300;500,200;800;800;100;400;200;600,100] B=[A,b] % 增广矩阵B Rank(A) % 计算矩阵A 的秩

Rank(B) % 计算增广矩阵B 的秩，若秩相等，则有解 rref(B) % 将增广矩阵B 化为最简型

4.结果分析 增广矩阵

系数矩阵的秩Rank(A)=8

增广矩阵的秩Rank(B)=8<10，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解． 增广矩阵的最简型为:

其对应的齐次同解方程组为:

???

?????

????

?===+=+=+==-=+600400100800500

200080010

98786

5435

251x x x x x x x x x x x x x 以85,x x 做为自由变量，将最简形方程转化为

?????????????==+-=+-=+-==+=+-=600400100800500200080010

98786543525

1x x x x x x x x x x x x x 求得其通解为???????????

?

???? ??+???????????????? ??--+???????????????? ??--=?

??????????????

? ??6004000100080005002000800001110000000000110112110987654321C C x x x x x x x x x x