《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
?复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题(A )
一.填空题(每小题3分,共计15分)
1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ );3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 );
4.0=z 是 4sin z
z z -的(一级)极点;5. z z f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每小题3分,共计15分)
1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( B );
(A )
y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.
2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=?C z z f .
{
(A ) 23-z ; (B )2
)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n n n
z c 在2=z 点收敛,则级数在( C )
(A )2-=z
点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.
4.下列结论正确的是( B )
(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析, 则0)(=?C dz z f
(C )如果0)(=?C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;
(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.
/
5.下列结论不正确的是( D ). (A) 的可去奇点;为z
1sin ∞ (B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1
的孤立奇点为z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)
(1)设)()(2
222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算?-C z z z z e d )
1(2其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算?=++33
42215
d )2()1(z z z z z (4)函数3
2
32)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级.
四、(本题14分)将函数)
1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<- [ 五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ???='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x 六、(本题6分)求 )()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换,并由此证明: t e d t ββπωω βω-+∞=+?2022cos 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a 解:因为)(z f 解析,由C-R 条件 y v x u ??=?? x v y u ??-=?? y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+ ~ ,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=, 1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。 (2).计算?-C z z z z e d )1(2其中C 是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数z z e z f z 2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内 ???-+-=-21d ) 1(d )1(d )1(222C z C z C z z z z e z z z e z z z e i z e i z e i z z z z πππ2)1(2)(202 1=-+'=== 无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。 (3).?=++33 42215 d )2()1(z z z z z 解:设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在:3 ]),([Re 2d )2()1(3342215 ∞-=++?=z f s i z z z z z π -----(5分) } ]1)1([Re 22z z f s i π= ----(8分) 2342215 21))1(2()11()1(1)1(z z z z z z f ++= 0,z ) 12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220 202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ?==++∴33 42215 2d )2()1(z i z z z z π --------(10分) (4)函数233 2)3() (sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级. 解 : ∞±±±==-+-=,的奇点为 ,3,2,1,0,) (sin )3()2)(1()(32 32k k z z z z z z z f π(1)的三级零点,)为(032103=±±±==z k k z πsin ,,,,, (2)的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,z f z z f z z 210-=±== (3)的一级极点,为)(3z f z = (4)的三级极点;,为)(4,3,2z f z ±-= · (5)的非孤立奇点。为)(z f ∞ 备注:给出全部奇点给5分 ,其他酌情给分。 四、(本题14分)将函数) 1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<- 解:(1)当110<- ]) 11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f 而])1()1([])11(1[0 '--='+-∑∞=n n n z z ∑∞ =---=01)1()1(n n n z n ∑∞ =-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分 (2)当10< } ) 1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞=-021n n z z ∑∞=--=0 2n n z -------10分 (3)当∞< )11(1)1(1)(32z z z z z f -=-= ∑∑∞=+∞===03031)1(1)(n n n n z z z z f ------14分 每步可以酌情给分。 五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题: ???='===+'-''-1 )0(1)0()(4)(5)(y y e x y x y x y x 解:对)(x y 的Laplace 变换记做)(s L ,依据Laplace 变换性质有 11)(4)1)((51)(2+= +----s s L s sL s s L s …(5分) > 整理得 )4(151)1(65)1(101 1 1)4(151)1(61)1(101 1 1)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+= s s s s s s s s s s s s L …(7分) x x x e e e x y 415165101)(++= - …(10分) 六、(6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换,并由此证明: t e d t ββπωωβω-+∞=+?20 22cos 解:)()(0>=-+∞∞--?βωβω dt e e F t t i --------3分 )()(00 0>+=-+∞-∞--??βωβωβω dt e e dt e e F t t i t t i )()()(000>+=??+∞ +-∞--βωβωβ dt e dt e t i t i )()()(000>+--=+∞+-∞ --βωβωβωβωβ i e i e t i t i )()(02112 2>+=++-=βωββωβωβω i i F ------4分 < )()()(021>=?+∞∞ -βωωπω d F e t f t i - -------5分 )(022122>+=?+∞ ∞-βωω ββπω d e t i )()sin (cos 0122>++=?+∞ ∞-βωωωωββπ d t i t )(sin cos 0222022>+++=??+∞ ∞-+∞ βωωβωβπωωβωπβ d t i d t )(cos )(02022>+=?+∞ βωωβωπβ d t t f , -------6分