指数函数经典例题问题详解

指数函数

1．指数函数の定义：

函数)1

(≠

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2。指数函数の图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

,y=x

10，y=

の图象。

我们观察y=x2，y=

,y=x

10，y=

图象特征，就可以得到)1

(≠

y x且の图象和性质。

a〉1 0

图

象

-1

-4-2246

-1

-4-2246

性

质

（1)定义域:R

(2)值域：（0,+∞）

（3)过点（0,1），即x=0时，y=1

(4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例 1 已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=,则()x

f b与

()x f c の大小关系是_____．

分析:先求b c ，の值再比较大小,要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间内．

解:∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =,∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．

评注:①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中

间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式

例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值范围是___________．分析：利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值范围．解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥,

∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数,

∴31x x >-，解得1

4x >．∴x の取值范围是14

??+ ???

，

∞．评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则y =，

又∵2x ≤,∴20x -≤． ∴2061x -<≤,即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数の值域是[)01，

．评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．

4．最值问题

例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14,则a の值是_______．

分析:令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值范围．

解：令x t a =，则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为

1t =-．

∴当1a >时,∵[]11x ∈-，，

∴1

x a a a ≤≤,即1t a a

≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-(舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1

x a a a ≤≤,即1a t a

≤≤，

∴ 1

t a =时，2

max 11214y a ??=+-= ???

，解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13

．

评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如:换元法，整体代入等． 5．解指数方程

例5 解方程223380x x +--=．

解：原方程可化为29(3)80390x x ?-?-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为

298090t t --=，解得9t =或1

t =-（舍去）,∴39x =，∴2x =，经检验原方程の

解是2x =．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x y =?+の图象，可以把函数3x y =の图象( ）． A ．向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数935x y =?+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进行判断．

解：∵293535x x y +=?+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度,可得到函数935x y =?+の图象，故选（C ）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题

1、比较下列各组数の大小： (1)若，比较

与；（2）若，比较与；（3）若，比较

与

；

（4）若 ,且

，比较a 与b ；（5）若，且

，比较a 与b ．

解:（1)由，故，此时函数

为减函数．由

故．

（2)由，故

．又，故．从而． (3）由

，因

，故

．又

，故

．从而

．

（4）应有

．因若

,则

．又

,故，这样

．又因

,故．从而，这与已知矛盾．（5）应有

．因若

，则

．又

，故

，这样有

．又因 ,且，故．从而 ,这与已知

矛盾．

小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．

2，曲线分别是指数函数

和

の图象,

则与1の大小关系是 ( ).

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

,在轴右侧令

，对应の函数值由小到大依次为，故应选 .

小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目，第(1)题是由数到形の转化,第(2）题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识。求最值

3，求下列函数の定义域与值域。

（1)y ＝2

1-x ；（2）y ＝4x +2x+1+1。

解:（1)∵x-3≠0，∴y ＝2

1-x の定义域为｛x|x ∈R 且x ≠3｝.又∵

-x ≠0，∴23

1-x ≠1，

∴y ＝23

1-x の值域为｛y ｜y 〉0且y ≠1｝.

（2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R 。∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝（2x )2+2·2x +1＝（2x +1）2

>1.

∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y 〉1}。

4，已知—1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1—9x の最大值和最小值

解：设t=3x ，因为—1≤x ≤2，所以93

≤≤t ，且f(x ）=g(t)=-(t-3）2+12，故

当t=3即x=1时，f(x ）取最大值12，当t=9即x=2时f(x ）取最小值—24。

5、设，求函数の最大值和最小值．分析：注意到

，设

，则原来の函数成为

,利用闭区间上二次函数の值域の求法,可求得函数の最值．

解：设

，由

知，

，函数成为

，

，对称轴，故函数最小值为

，因端点较

距对称

轴远,故函数の最大值为

．

6．（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间［－1,1]上の最大值是14,求a の值.

．解: )1(122>-+=a a a y x x , 换元为)1(122a t a

t t y <<-+=，对称轴为1-=t .

当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略解得 a =3 （a = －5舍去)

7．已知函数（且）（1）求の最小值；（2）若，

求の取值范围．．解：（1)

，当即时，

有最小值为

（2） ,解得

当时, ; 当

时,

．

8（10分）（1)已知m x f x

+-=

)(是奇函数,求常数m の值；（2）画出函数|13|-=x y の图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无

解?有一解？有两解?

解: （1）常数m =1

（2）当k 〈0时,直线y =k 与函数|13|-=x y の图象无交点，即方程无解;

当k =0或k ≥1时，直线y =k 与函数

|13|-=x

y の图象有唯一の交点，所以方程有一解;

当0

．解：为奇函数,

，

即，

则

， 10. 已知9x —10.3x +9≤0,求函数y=（41）x-1—4·（2

）x +2の最大值和最小值

解：由已知得（3x ）2—10·3x +9≤0 得（3x —9）（3x

—1)≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2

而y=（41)x-1—4·(21）x +2= 4·（21）2x -4·（21

)x +2

令t=（21）x （14

≤≤t )

则y=f （t ）=4t 2—4t+2=4(t —2

)2+1

当t=2

即x=1时,y min =1

当t=1即x=0时,y max =2 11．已知 ,求函数の值域．解：由得，即

，解之得

，

于是

，即

，故所求函数の值域为

12。（9分）求函数

222

++-=x x y の定义域，值域和单调区间

定义域为R 值域（0，8〕。(3）在（-∞， 1〕上是增函数在〔1，+∞)上是减函数.

13 求函数y ＝2

3231+-?

??x x の单调区间。

分析这是复合函数求单调区间の问题

可设y ＝u ??? ??31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u

??31为减函数

∴u ＝x 2—3x+2の减区间就是原函数の增区间（即减减→增）

u ＝x 2-3x+2の增区间就是原函数の减区间(即减、增→减)

解:设y ＝u

??31,u ＝x 2—3x+2，y 关于u 递减，

当x ∈(—∞,

）时,u 为减函数, ∴y 关于x 为增函数；当x ∈[23

，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.

14 ，已知函数f （x ）＝1

+-x x a a (a 〉0且a ≠1).

（1)求f(x)の定义域和值域；（2）讨论f(x)の奇偶性；（3）讨论f(x)の单调性。

解:(1）易得f(x ）の定义域为｛x|x ∈R ｝。

设y ＝1

1+-x x a a ，解得a x ＝—11-+y y ①∵a x 〉0当且仅当—11-+y y >0时，方程①有

解。解—

-+y y 〉0得-1

(2）∵f(-x ）＝11+---x x a a ＝x x

a a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x ）是奇函数。

(3)f(x ）＝12)1(+-+x x a a ＝1—1

+x a 。

1°当a 〉1时,∵a x +1为增函数，且a x +1〉0.

∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1—12

+x a ＝11+-x x a a 为增函数。2°当0〈a 〈1时，类似地可得f(x ）＝1

1+-x x a a 为减函数.

15、已知函数f (x ）=a －

+x （a ∈R ），（1）求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2）若f （x ）为奇函数时，求a の值。

（1）证明:设x 1＜x 2

f (x 2）－f （x 1)=)21)(21()

22(22

112x x x x ++-＞0 故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2）x R ∈，又f (x ）为奇函数

(0)0f ∴= 得到10a -=.即1a =

16、定义在R 上の奇函数)(x f 有最小正周期为2,且)1,0(∈x 时，1

42)(+=

x x f

（1）求)(x f 在[－1，1]上の解析式；（2)判断)(x f 在(0,1）上の单调性；（3）当λ为何值时，方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解。解（1）∵x ∈R 上の奇函数 ∴0)0(=f

又∵2为最小正周期 ∴0)1()1()12()1(=-=-=-=f f f f 设x ∈(－1,0），则－x ∈（0，1），)(1

421

42)(x f x f x x x x -=+=

+=---

∴1

42)(+-=x x x f

（2）设0

1122212221++-+-=-++x x x x x x x x x x f x f =0)

14)(14()21)(22(2

12121>++--+x x x x x x ∴在(0,1)上为减函数.

(3)∵)(x f 在（0,1）上为减函数。 ∴)0()()1(f x f f << 即)2

1,52()(∈x f 同理)(x f 在（－1，0）时,)5

2,21()(--∈x f

又0)1()0()1(===-f f f

∴当)2

1,52()52,21(?--∈λ或0=λ时

λ=)(x f 在[－1，1]内有实数解。

?????????∈+∈∈+-=(0,1)

x 142{-1,0,1} x 0 (-1,0)

x 142)(x

x x x

x f

函数y ＝a |x ｜（a 〉1)の图像是( ）

分析本题主要考查指数函数の图像和性质、函数奇偶性の函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.

解法1：（分类讨论）：

去绝对值，可得y ＝???

??<≥).0()1(),

0(x a

x a x x

又a 〉1，由指数函数图像易知，应选B.

解法2：因为y ＝a ｜x|是偶函数,又a>1,所以当x ≥0时,y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a —x 是减函数.

∴应选B 。