,0)cos(=+γx 则=
-αγ.3
4π 解：设),cos()cos()cos()(γβα+++++=x x x x f 由R x ∈，0)(≡x f 知，
,0)(,0)(,0)(=-=-=-βγαf f f 即+--=-+-)cos(,1)cos()cos(βααγαβ =
-=-=-∴-=-+--=-)cos()cos()cos(.1)cos()cos(,1)cos(αγβγαβγβγαβγ},3
4,32{,,,20.21π
πβγαγαβπγβα∈---∴<<<<- 又<--<-βγαγαβ, .αγ- 只有.3
4.32π
αγπβγαβ=-∴=-=-
另一方面，当,32πβγαβ=-=-有,,34,32R x ∈?+=+=π
αγπαβ记θα=+x ，由于
三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθθθ+++))34sin(π
θ+构成单位圆
122=+y x 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有
.0)3
4cos()32cos(cos =+++
+π
θπθθ 即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x
10.如图，四面体
DABC
的体积为
6
1
，且满足,32
,45=+
+?=∠AC BC AD ACB 则=CD 3.
解：,6
1)45sin 21(31=≥?????DABC V AC BC AD
即.12
≥?
?AC BC AD 又,32
2
33≥?
?≥+
+=AC BC AD AC BC AD
等号当且仅当12
==
=AC BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面ABC ，3=∴DC .
11.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2
x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .
解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、
),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得
.1122,12+±=?+=b x b x x
令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2
212
212
212
+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5
|
17|,b a a +=
∴②.
①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802
min 2=∴=a a
12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 55200.
解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为m
k m C 1-+.而使)2(0,11≥≥≥i x x i 的整数解个数为1
2--+m k m C .现取7=m ，可知，k 位“吉祥数”的个数为.)(6
5+=k C k P
∵2005是形如abc 2的数中最小的一个“吉祥数”，且,7)2(,1)1(6766====C P C P
,28)3(68==C P 对于四位“吉祥数”abc 1，其个数为满足6=++c b a 的非负整数解个数，即
286136=-+C 个。
∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即.200565=a 从而.3255,65==n n 又,210)5(,84)4(610
6
9
====C
P C P 而∑==5
1
.330)(k k P
∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即.520005=n a
三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2
36
457,12
10N n a a a a n n n ∈-+=
=+
证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 证明：（1）由题设得,51=a 且}{n a 严格单调递增.将条件式变形得,
3645722
1-=
-+n n n a a a 两边平方整理得0972
121=++-++n n n n a a a a ①
0972112=++-∴--n n n n a a a a ②
①-②得1111111()(7)0,,70n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-++=-+-=>∴+-=?
.711-+-=b n n a a a ③
由③式及5,110==a a 可知，对任意n a N n ,∈为正整数.…………………………10分 （2）将①两边配方，得.)3
(1),1(9)(2
1112
1n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=-∴-=+④ 由③119()n n n n n a a a a a +-+=-+≡()1()mod3n n a a --+ ∴1n n a a ++≡()10(1)n
a a -+≡0（mod3）∴
13
n n
a a ++为正整数 ④式成立.
11-∴+n n a a 是完全平方数.………………………………………………………………20分
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
2
!
8种. …5分 下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则
.8|91||)9()()1(||9|||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x 上式取
等号当且仅当9121<<<<因此1682=?=最小S .…………………………………………………………………10分 由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定. 在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的
一个子集共有6
372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应着圆周上使S 值达到最小的唯一排法，
即有利事件总数是6
2种，故所求概率.31512
!826==
P ……………20分 15.过抛物线2
x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足
1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FC
BF
，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.
解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,2
1
(),1,0(是线段AB 的中点. ………………5分
设),(y x P 、),(2
00x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由
1λ=EC
AE
知， ;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE
得.11,12
2
0222022λλλλ++-=+=x y x x
∴EF 所在直线方程为：,1111111111110
12021
0112
01220212
01λλλλλλλλλλλλ++-
+++-
=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2
020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…
①…………10分
当21
0≠x 时，直线CD 的方程为：1
2202020--=x x x x y …②
联立①、②解得02
13
3x x x y +?
=????=??
，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ………15分 当210=
x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：2
1
=x ，联立解得??
?
???????????
==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x
∴所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=
x x y ………………………………………………20分
解二：由解一知，AB 的方程为),0,2
1(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分 令,1,1,2211λλγ+==+===
CF
CB
t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ?的中线， .22CBD CAD CAB S S S ???==∴
而
,2
3,232)11(212212*********=∴=+=+=+==??=??????γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ?的重心. ………………………………………………………………………10分 设),,(),,(2
00x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为
,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(3
12-=x y
故所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分
2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。 证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。 （注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。 如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=
21
∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=
2
1
∠ABC.
∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+
21∠ABC ，∴∠ACI=2
1
∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。
（2）再证DF 过△ABC 的一个旁心. 连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1、B I 1、B I ，由（1）知，I 为内心， ∴∠IBI 1=90°=∠EDI 1，∴D 、B 、l 1、I 四点共圆， ∵∠BI l 1 =∠BDI 1=90°－∠ADI 1
=（
21∠BAC+∠ADG ）－∠ADI=2
1
∠BAC+∠IDG ，∴A 、I 、I 1共线. I 1是△ABC 的BC 边外的旁心
二、（本题满分50分）
设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+
求函数z
z y y x x z y x f +++++=111),,(2
22的最小值. 解：由条件得，0)()()(=-+--++-+a bz cy a c ay bx c b cx az b ，
即022
2
2
=--+c b a bcx ，
bc
a c
b x 22
22-+=∴，同理，得.2,2222222ab c b a z ac b c a y -+=-+=
a 、
b 、
c 、x 、y 、z 为正数，据以上三式知，
222222222,,c b a b c a a c b >+>+>+，
故以a 、b 、c 为边长，可构成一个锐角三角形ABC ，
C z B y A x cos ,cos ,cos ===∴，问题转化为：在锐角△ABC 中，
求函数A f (cos 、B cos 、C cos ）=C
C
B B A A cos 1cos cos 1cos cos 1cos 222+++++的最小值.
令,cot ,cot ,cot C w B v A u ===则,1,,,=++∈+
wu vw uv R w v u
且).)((1),)((1),)((122
2
w v w u w w v v u v w u v u u ++=+++=+++=+
1
)
1()
1(11
11
cos 1cos 2
222
2
2
2222+-+=
+++=
++
+=+∴u u u u u u u u u u u u A
A
),1
1(2))((1
32
3
2
232
w u v u u u w u v u u u u u u +++-≥++-+-=
同理，
).11(2cos 1cos ),11(2cos 1cos 32
2322w
v w u w w C C w u v u v v B B +++-≥++++-≥+
)[(2
1
)(21222223333332
2
2
v uv u w v u w u w u w v w v v u v u w v u f +--++=++++++++-++≥∴
+.2
1
)(21)]()(2
2
2
2
=++=
+-++-uw vw uv w uw u w vw v （取等号当且仅当w v u ==，此时，.2
1
)],,([),21,min ======z y x f z y x c b a
三、（本题满分50分）
对每个正整数n ，定义函数??
?
??=.]}{1[,0
)(不为平方数当为平方数当n n n n f
（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：
∑=240
1
)(k k f 的值.
解：对任意*
,N k a ∈，若2
2)1(+<≤-≤，设,10,<<+=θθk a
则
].2[]}
{1[,12211
}{1
2
222k a k
a k a k k a k k a k a k
a a -=∴+-<-+=-+=
-=
=
θθ
让a 跑遍区间2
2
)1(,(+k k ）中的所有整数，则∑∑+<<==22)1(21],2[]}
{1[k a k k
i i k
a
于是
∑
∑∑+====2
)1(1
121
]2[
)(n a n i k
i i
k a f ……①
下面计算
∑=k
i i
k
21
],2[
画一张2k×2k 的表，第i 行中，凡是i 行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共]2[i k
个，全表的“*”号共∑=k
i i k 21
]2[个；另一方面，按列收集“*”号数，第j 列中，若j
有T （j ）个正因数，则该列使有T （j ）个“*”号，故全表的“*”号个数共
∑=k
j j T 21)(个，因此∑=k
i i k
21]2[=∑=k
j j T 21)(.
则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1
121
n T n T T T n T T n j T a f n i n i k
j +-+++-++==∑∑∑===
……②
由此，
∑∑==+--=15
1
2561
)]()12()[16()(k k k T k T k k f ……③
记,15,,2,1),2()12( =+-=k k T k T a k 易得k a 的取值情况如下：
因此，
∑∑===-=15
1
161
783)16()(k k
k a
k k f n
……④
据定义0)16()256(2
==f f ，
又当)3016(15},255,,242,241{2
≤≤+=∈r r
k k 设 ，
30
1515311515151515222r r r r r r
r k <++
++=
-+=-，
231
}15{13012<<+<≤
r r r ，则}255,,242,241{,1]}
{1[
∈=k k ……⑤ 从则
.76815783)(783)(256
1
2401
=-=-=∑∑==i i k f k f
2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨
本文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。 题目：设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足 a bz cy =+；c ay bx ;=+=+b cx az ，求函数
z
z y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值。
一．几种迷茫思路的分析
这道题目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。
思路一：
由Cauchy 不等式知≥+++++=
z z y y x x z y x f 111),,(2
22 63
93)(33)(22-+++=++=+=+++++=u u z y x u u u z y x z y x 记 到此，在u ＞0的情况下，力图使用函数x
x x f 1
)(+
=的性质无法得到最小值。 思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x 、y 、z 用a 、b 、c 表达的式子：
2ab
c -b a z ;2b -a c y ;2222222222+=+=-+=ca bc a c b x
因为a 、b 、c ；x 、y 、z 都是正数，所以，
0b -a c 0;a -c b ;02
2
2
2
2
2
2
2
2
>+>+>-+c b a
即以a 、b 、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC ，令,cos ,cos ,cos C z B y A x ===从而，结合Cauchy 不等式有
C
B A
C B A C C B B A A z y x f cos cos cos 3)cos cos (cos cos 1cos cos 1cos cos 1cos ),,(2
222+++++≥+++++=
令 C B A u c o s c o s c o s ++=,则
63
933cos 1cos cos 1cos cos 1cos ),,(2222-+++=+≥+++++=u u u u C C B B A A z y x f
因为 12
sin 2sin 2sin
41cos cos cos >+=++=C
B A
C B A u 23cos cos cos ≤++=C B A u ，∴ 2
3
334+≤+到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间???
??29,4内使用函数x x x f 1
)(+=的性质，但
也无法得到最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值
2
1
（由于函数C C B B A A z y x f cos 1cos cos 1cos cos 1cos ),,(222+++++=的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=600
时达到2
1）
吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用Cauchy 不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自
拔的困境。
俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy 不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。
二．赛题的解答
为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。
引理：在△ABC 中，求证：
2
sin 2sin 2sin 822tan 2tan 2tan 222
C
B A
C B A -≥++ ①
等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。
证明：用向量方法证明如下
设k j i ,,是平面上的单位向量，且k j
与成角为π-A, i k 与成角为π-B, j i 与成角为π-C,
那么， 0)2
tan 2tan 2tan (2
≥++C k B j A i ,所以
2
22222tan tan tan 2222tan tan cos 2tan tan cos 2tan tan cos 222222
2tan tan (12sin )2tan tan (12sin )2222222tan tan (12sin )
222A B C A B B C C A
C A B
A B C B C A C A B ++≥++=-+-+
+-
.
2
sin 2sin 2sin 822
cos
2cos 2cos 2sin sin sin 2
sin 2sin 2sin 42)
2cos
2cos 2sin
2cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin (2
sin 2sin 2sin 42tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2C
B A
C B A C
B A
C B A B A C A C B C B A C B A A C C B B A -=?++?
-=++--
??? ?
?
++=
注意到，在△ABC 中有熟知的等式：12
tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan
=++A
C C B B A . 从而①得证。
有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。 解：同思路二得到，以a 、b 、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC ， 令,cos ,cos ,cos C z B y A x ===从而
2
cos 22cos 2sin 42cos 2sin 2cos 22cos 2sin 42cos 2sin 2cos 22cos 2sin 412cos 22cos 2sin 412cos 22cos 2sin 412
cos 2sin 12cos 2sin 12cos 2sin 1cos 1cos cos 1cos cos 1cos ),,(2
2
222222222
2
22222222
22222222B B B B B A A A A A C C
C B B B A A A C C
B B A A C
C B B A A z y x f -++-+=
-+-+-=
-+
-+-=+++++= 2
cos 22
cos 2sin 42cos 2sin 2
2222C C
C C C -++
21)2
sin 2sin 2sin 21(2)2sin 2sin 2sin 82(2123)2sin 2sin 2sin 21(2)2tan 2tan 2(tan 2123)2sin 2sin 2(sin 2)2tan 2tan 2(tan 2123222222222=---+≥--+++=++-+++=
C B A C B A C B A C B A
C B A C B A
等号成立的条件显然是A=B=C=600时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。
所以，z z y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值为2
1
. 显然，在0
60=∠=∠=∠C B A 时，等号成立，所以),,(z y x f 的最小值为2
1. 三．背景探索
早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题：
在△ABC 中，是否有：2
1
sin sin cos sin sin cos sin sin cos 222222222≥+++++B A C A C B C B A ②
后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明：分两种情况
（1）当△ABC 为钝角三角形时，此时不妨设A ＞900
， 于是 2
22c b a +>，
所以 C B C B A 22222c o s c o s 2s i n s i n s i n --=+>,∴ A C B 2
22cos 1cos cos +>+
再据 C A ＞B A ＞sin sin
, sin sin ，所以，
即此种情况②得证。
（2）当△ABC 为非钝角三角形时，
2
cos
2cos 1)cos(cos 1)
cos()cos(1sin sin 2
22A A C B A C B C B C B =+≤-+=-+-=+
所以，
2
sin 22tan 21212
cos 22
cos 2sin 42sin 2cos 2
cos 2sin 12cos 2cos sin sin cos 2
222222
22222
22A A A A
A A A A A
A A C
B A -+=-+=-=≥+
从而 B
A C
A C
B
C B A 2
22222222s i n s i n c o s s i n s i n c o s s i n s i n c o s +++++ )2
sin 2sin 2(sin 2)2tan 2tan 2(tan 2123③
2
cos
2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 222222222222C B A C B A C C B B A A ++-+++=++≥ 2
1)2sin 2sin 2sin 21(2)2sin 2sin 2sin 82(2123=---+≥
C B A C B A 即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在②的第2种情况的基础上增加了一个解方程组的程序（并由此判断△ABC 为锐角三角形）罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求），判断三角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个问题的简单合成（串联）。
顺便指出，①的证明曾经是上世纪1990年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。 四．条件等式的几何解释
对比条件等式 a bz cy =+； ;b cx az =+c ay bx =+（注意a 、b 、c 、x 、y 、z 为正数）与△ABC 中的斜射影定理 a C b B c =+cos cos
2
1sin 2cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos 2
22222222222222222222222=+>++
+>++
+>++
+++A C B B A C C A A B
A C C
B A B
A C
A C
B
C B A
b A
c C a =+cos cos c B a A b =+cos cos
以及余弦定理，可知，应有 , 2ca b -a c cos , 2cos 2
22222+==-+=
=B y bc a c b A x , 2ab
c -b a cosC z 2
22+==从而，求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结
果。另外，有了上边的余弦定理结构，解答中的构造三角形法已经水到渠成了。
参考文献
[1] 黄军华 两个猜想的证明 《湖南数学通讯》2（1996）P34。 [2] 黄汉生 简证 2
sin 2sin 2sin 822tan 2tan 2tan 222
C
B A
C B A -≥++ 《数学通讯》6（1991）P2
